Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:07:06Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29568600; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:41:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29568600; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Nilai desimal dari [[logaritma natural]] dari [[2 (angka)|2]] (urutan kira-kira

:<math>\ln 2 \approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458</math>.

Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan [[Identitas logaritma|rumus]]

:<math>\log_b 2 = \frac{\ln 2}{\ln b}</math>

[[Logaritma umum]] secara khusus adalah

:<math>\log_{10} 2 \approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195</math>.

Invers dari bilangannya ini adalah [[logaritma biner]] dari 10:

:<math>\log_2 10 =\frac{1}{\log_{10} 2} \approx 3.321\,928\,095</math>

Dengan menggunakan [[teorema Lindemann–Weierstrass]], logaritma natural dari setiap [[bilangan asli]] selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif [[bilangan aljabar]] selain 1) adalah sebuah [[bilangan transenden]].

== Wakilan deret ==

=== Faktorial bolak-balik menaik ===

* <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots</math>. Ini dikenal "[[Deret harmonik (matematika)#Deret harmonik bolak-balik|deret harmonik bolak-balik]]".
* <math>\ln 2 = \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{5}{8} +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{2}{3} +\frac{3}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{131}{192} +\frac{3}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{661}{960} +\frac{15}{4}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}</math>.

=== Faktorial konstanta menaik biner ===

* <math>\ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}</math>.
* <math>\ln 2 = 1 -\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{1}{2} + 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{5}{6} - 6 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}</math>
* <math>\ln 2 = \frac{7}{12} + 24 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{47}{60} - 120 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}</math>.

=== Wakilan deret lainnya ===

* <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\frac{3}{2}</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} = \ln 2</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} = \ln 2</math>.
* <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+1} = \frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>.
* <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{3n+2} = -\frac{\ln 2}{3}+\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math>.
* <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)} = \frac{2\ln 2}{3}</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sum_{k=1}^n k^2} = 18 - 24 \ln 2</math> menggunakan <math>\lim_{N\rightarrow \infty} \sum_{n=N}^{2N} \frac{1}{n} = \ln 2</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4k^2-3k} = \ln 2 + \frac{\pi}{6} </math> (jumlah timbal-balik dari [[bilangan dekagonal]]).

=== Melibatkan fungsi zeta Riemann ===

* <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\frac{1}{2}</math>.
* <math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2}{2}</math>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n-1}(2n+1)}\zeta(2n) = 1-\ln 2</math>.

(<math>\gamma</math> adalah [[konstanta Euler−Mascheroni]] dan <math>\zeta</math> adalah [[fungsi zeta Riemann]].)

=== Wakilan tipe-BBP ===
:<math>\ln 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty \left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right) \frac{1}{16^k}</math>

(Lihat lebih banyak mengenai [[wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe]] (BBP).)

Menerapkan ketiga deret umum untuk logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan:

* <math>\ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}</math>.
* <math>\ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^{n}n}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{9^{k}(2k+1)}</math>.

Menerapkannya untuk <math>\textstyle{2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}}</math> memberikan:

* <math>\ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n n} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{3^n n}</math>.
* <math>\ln 2 = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{3^n n} + \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{4^n n}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{2}{5} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{25^{k}(2k+1)} + \frac{2}{7} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{49^{k}(2k+1)}</math>.

Menerapkannya untuk <math>2 = \left(\sqrt{2}\right)^2</math> memberikan:

* <math>\ln 2 = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(\sqrt{2} + 1)^n n}</math>.
* <math>\ln 2 = 2 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(2 + \sqrt{2})^n n}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{4}{3 + 2 \sqrt{2}} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{(17 + 12 \sqrt{2})^{k}(2k+1)}</math>.

Menerapkannya untuk <math>\textstyle 2 = { \left( \frac{16}{15} \right) }^{7} \cdot { \left( \frac{81}{80} \right) }^{3} \cdot { \left( \frac{25}{24} \right) }^{5}</math> memberikan:

* <math>\ln 2 = 7 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{15^n n} + 3 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{80^n n} + 5 \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{24^n n}</math>.
* <math>\ln 2 = 7 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{16^n n} + 3 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{81^n n} + 5 \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{25^n n}</math>.
* <math>\ln 2 = \frac{14}{31} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{961^{k}(2k+1)} + \frac{6}{161} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{25921^{k}(2k+1)} + \frac{10}{49} \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{2401^{k}(2k+1)}</math>.

== Wakilan sebagai integral ==
Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk

* <math>\int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2</math>.

* <math>\int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2</math>.

* <math>\int_0^\frac{\pi}{3} \tan x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \tan x \, dx = \ln 2</math>.

== Wakilan lainnya ==
[[Pengembangan Pierce]]<nowiki/>nya adalah

:<math>\ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots</math>

[[Pengembangan Engel]]<nowiki/>nya adalah

:<math>\ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots</math>

Pengembangan kotangennya adalah

:<math>\ln 2 = \cot({\arccot(0) -\arccot(1) + \arccot(5) - \arccot(55) + \arccot(14187) -\cdots})</math>

Pengembangan [[pecahan berlanjut]]<nowiki/>nya adalah

:<math>\ln 2 = \left[ 0; 1, 2, 3, 1, 6, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 10, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 3, 1,...\right]</math>

yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah <math>0</math>, <math>1</math>, <math>\textstyle{\frac{2}{3}}</math>, <math>\textstyle{\frac{7}{10}}</math>, <math>\textstyle{\frac{9}{13}}</math>, dan <math>\textstyle{\frac{61}{88}}</math>.

[[Pecahan berlanjut yang digeneralisasi]] ini:

:<math>\ln 2 = \left[ 0;1,2,3,1,5,\tfrac{2}{3},7,\tfrac{1}{2},9,\tfrac{2}{5},...,2k-1,\frac{2}{k},...\right]</math>, dapat diekspresikan sebagai

:<math>\ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}}
= \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}}</math>

== Bootstrap logaritma lainnya ==
Diberikan sebuah nilai dari <math>\ln 2</math>, sebuah skema menghitung logaritma dari [[bilangan bulat]] lainnya adalah untuk mentabulasi logaritma dari [[bilangan prima]] dan di lapisan berikutnya, logaritma dari bilangan [[komposit]] <math>c</math> berdasarkan [[Tabel faktor bilangan prima|faktorisasi]]<nowiki/>nya

:<math>c=2^i3^j5^k7^l\cdots\rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots</math>

Ini memakai

DI lapisan ketiga, logaritma bilangan rasional <math>r = \frac{a}{b}</math> dihitung dengan menggunakan <math>\ln(r) = \ln(a) - \ln(b)</math>, dan logaritma akar melalui <math>\ln \sqrt[n]{c} = \frac{1}{n} \ln c</math>.

Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari <math>2^i</math> yang mendekati dengan pangkat <math>b^j</math> dari bilangan <math>b </math> lainnya relatif mudah, dan representasi deret <math>\ln b</math> dengan menggabungkan <math>2</math> ke <math>b</math> dengan [[Identitas logaritmik|perubahan logaritmik]].

=== Contoh ===
Jika <math>p^s = q^t + d</math> dengan beberapa <math>d</math>, maka <math>\frac{p^s}{q^t} = 1 + \frac{d}{q^t}</math> dan karena itu

:<math>s\ln(p)-t\ln(q) = \ln\left(1+\frac{d}{q^t}\right) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1}\frac{(\frac{d}{q^t})^m}{m} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} {\left(\frac{d}{2 q^t + d}\right)}^{2n+1}</math>

Memilih <math>q = 2</math> mewakili <math>\ln(p)</math> oleh <math>\ln 2 </math> dan sebuah deret dari sebuah parameter <math>\frac{d}{q^t}</math> yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil <math>3^2 = 2^3 + 1</math>, sebagai contoh, menghasilkan

:<math>2\ln(3) = 3\ln 2 -\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^k}{8^{k}k} = 3\ln 2 + \sum_{n=0}^\infty \frac{2}{2n+1} {\left(\frac{1}{2 \cdot 8 + 1}\right)}^{2n+1}</math>:

Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini:

Dimulai dari logaritma natural dari <math>q = 10</math>, salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:

== Digit yang diketahui ==
Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit <math>\ln 2 </math>. Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap logaritma natural dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.

== Lihat pula ==

* [[Aturan 72#Penggabungan kontinu]], di mana <math>\ln 2 </math> sangat menonjol
* [[Waktu-paruh#Turunan|Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial]], di mana <math>\ln 2 </math> sangat menonjol
* [[Persamanan Erdős–Moser]], semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari <math>\ln 2 </math>.

== Referensi ==

*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritma+alami+dari+2&oldid=29568600 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29568600 (2026-08-13T00:20:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Logaritma alami dari 2 - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29568600; atribusi sumber disertakan.