Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:05:48Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28736072; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:39:05Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28736072; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Logaritma biner''' () dalam [[matematika]] adalah, adalah [[logaritma]] dengan [[Sistem bilangan biner|basis 2]], yang biasanya dilambangkan dengan <math>\log_2 n</math> atau <math>^2\!\log n</math>. Logaritma biner merupakan [[fungsi invers]] dari [[fungsi kuadrat|fungsi kuadrat atau fungsi pangkat dua]]. Logaritma biner <math>n</math> adalah kepangkatan bilangan [[2 (angka)|dua]] untuk mendapatkan nilai <math>n</math>. Jadi:
:<math>x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.</math>
Misalnya logaritma biner 1 adalah 0, logaritma biner 2 adalah 1, logaritma biner 4 adalah 2, logaritma biner 8 adalah 3, logaritma biner 16 adalah 4, logaritma biner 32 adalah 5 dan seterusnya.

Logaritma biner terkait erat dengan [[sistem bilangan biner]]. Dalam sejarahnya, aplikasi pertama logaritma biner adalah dalam [[teori musik]], oleh [[Leonhard Euler]]: logaritma biner dari perbandingan frekuensi antara dua nada menghasilkan perbedaan [[oktaf]] antara nada-nada tersebut. Bidang lain yang sering menggunakan logaritma biner di antaranya adalah [[teori informasi]], [[kombinatorika]], [[ilmu komputer]], [[bioinformatika]], desain turnamen olahraga, dan [[fotografi]].

== Sejarah ==

Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh [[Michael Stifel]] pada tahun 1544 dan dapat ditafsirkan (dengan membalikkan baris-barisnya) sebagai tabel logaritma biner. Aplikasi logaritma biner pada teori musik dilakukan oleh [[Leonhard Euler]] pada tahun 1739, jauh sebelum teori informasi dan ilmu komputer menjadi bidang studi. Sebagai bagian karyanya dalam bidang ini, Euler menyertakan suatu tabel logaritma biner untuk [[bilangan bulat]] dari 1 sampai 8, sampai dengan tujuh desimal untuk keakuratannya.

== Notasi ==
Dalam matematika, logaritma biner suatu bilangan ''n'' ditulis sebagai <math>\log_2 n</math> atau <math>^2\!\log n</math>. Namun, sejumlah notasi lain fungsi ini telah diusulkan dan digunakan dalam berbagai bidang.

Sejumlah pengarang menuliskan logaritma biner sebagai <math>\lg n </math>. [[Donald Knuth]] mengungkapkan bahwa notasi ini didapatnya dari usulan [[Edward Reingold]], tetapi penggunaannya dalam teori informasi maupun ilmu komputer tampaknya sudah ada sebelum Reingold aktif. Logaritma biner juga pernah ditulis sebagai '''<math>\log n</math>''', dengan catatan bahwa basis default logaritma adalah bilangan 2 (bukan 10 sebagaimana lazimnya).

Notasi lain yang terkadang digunakan untuk fungsi tersebut (terutama dalam [[bahasa Jerman]]) adalah <math>\operatorname{ld} n</math>, dari frasa [[bahasa Latin]] ''[[wikt:logarithmus#bahasa Latin|logarithmus]] [[wikt:dualis#bahasa Latin|duālis]]''. Spesifikasi [[ISO 31-11]] dan [[ISO 80000-2]] menyarankan notasi lainnya, <math>\operatorname{lb} n</math>; dalam spesifikasi ini, <math>\lg n </math> digunakan untuk <math>\log_{10} n</math>.

==Penerapan==
===Teori informasi===
Banyak digit ([[bit]]) dalam [[representasi biner]] sebuah bilangan bulat positif <math>n</math> adalah [[Fungsi lantai dan atap|bagian bulat]] dari <math>1 + \log_2 n</math>, yakni

:<math> \lfloor \log_2 n\rfloor + 1. \, </math>

Dalam teori informasi, definisi dari banyak [[konten informasi]] dan [[entropi informasi]] sering diekspresikan dengan logaritma biner, menyebabkan bit menjadi satuan fundamental untuk informasi. Akan tetapi, [[logaritma alami]] dan [[Nat (satuan)|nat]] juga digunakan dalam notasi alternatif untuk definisi tersebut.

===Kombinatorika===

Meskipun [[logaritma alami]] lebih penting daripada logaritma biner dalam banyak bidang [[matematika murni]] seperti [[teori bilangan]] dan [[analisis matematis]], logaritma biner memiliki beberapa penerapan dalam [[kombinatorik]]:
*Semua [[pohon biner]] dengan <math>n</math> daun memiliki tinggi paling tidak sebesar <math>\log_2 n</math>, dengan nilainya sama persisi apabila <math>n</math> merupakan [[perpangkatan dari dua]] dan pohonnya merupakan [[pohon biner lengkap]].
*Semua [[keluarga himpunan]] dengan <math>n</math> himpunan berbeda memiliki paling tidak <math>\log_2 n</math> anggota dalam gabungannya, dengan nilainya sama persis apabila keluarga tersebut merupakan sebuah [[himpunan kuasa]].

===Kompleksitas komputasi===

Logaritma biner juga sering muncul dalam [[analisis algoritma]], bukan hanya karena aritmetika bilangan biner kerap digunakan dalam algoritma, tetapi juga karena logaritma biner muncul dalam analisis algoritma yang menggunakan percabangan dua arah. Jika suatu masalah awalnya punya ''<math>n</math>'' pilihan untuk dipilih, dan setiap pengulangan algoritma membagi dua banyak pilihannya, maka banyak pengulangan yang diperlukan untuk mendapatkan satu pilihan adalah bagian bulat dari <math>\log_2 n</math>. Ide ini digunakan dalam menganalisis beberapa [[algoritma]] dan [[struktur data]]. Contohnya, dalam [[pencarian biner]], ukuran masalah dibagi dua pada setiap pengulangannya, sehingga perlu kira-kira <math>\log_2 n</math> pengulangan untuk mendapatkan masalah berukuran 1, yang bisa diselesaikan dalam waktu konstan. Tidak jauh berbeda, [[pohon pencarian biner]] yang seimbang dan memiliki ''n'' element pasti punya tinggi <math>\log_2 n + 1</math>.

Namun, lama waktu dijalankannya algoritma biasanya diekspresikan dalam [[notasi O besar]], yang mengabaikan faktor konstanta. Karena <math>\log_2 n = \frac{\log_k n}{\log_k 2}</math>, dengan <math>k</math> adalah suatu bilangan yang lebih dari 1, algoritma yang berjalan dalam waktu <math>O(\log_2 n)</math> bisa juga dikatakan berjalan dalam waktu <math>O(\log_{13} n)</math>. Jadi basis logaritma dalam ekspresi-ekspresi seperti <math>O(\log n)</math> atau <math>O(n \log n)</math> tidaklah penting. Akan tetapi, dalam beberapa konteks, basis logaritma perlu dijelaskan. Contohnya <math>O(2^{\log_2 n})</math> tidak sama dengan <math>O(2^{\ln n})</math> karena yang pertama sama dengan <math>O(n)</math> sedangkan yang kedua sama dengan <math>O(n^{0.6931\dots})</math>.

Algoritma dengan waktu jalan <math>O(n \log n)</math> terkadang disebut ''linearitmik''. Contoh algoritma dengan waktu jalan <math>O(\log n)</math> atau <math>O(n \log n)</math> di antaranya:

*[[quicksort|Waktu rata-rata dari ''quicksort'']] dan beberapa algoritma pengurutan lainnya
*Pencarian dalam [[pohon pencarian biner]] yang seimbang
*[[Pemangkatan dengan menguadratkan]]
*[[Subbarisan naik terpanjang]]
Logarimta biner juga muncul dalam bentuk eksponen batas waktu untuk beberapa [[algoritma divide and conquer|algoritma ''divide and conquer'']], seperti [[algortima Karatsuba]] untuk perkalian bilangan ''n''-bit dalam waktu <math>O(n^{\log_2 3})</math>.

===Bioinformatika===

Dalam analisis data [[mikrolarik]] dalam [[bioinformatika]], tingkat [[ekspresi gen]] biasanya dibandingkan dengan menggunakan logaritma biner dari rasio tingkat ekspresi. Dengan menggunakan logaritma basis 2, tingkat ekspresi yang menjadi dua kali lipat bisa digambarkan dengan rasio <math>\log 1</math>, tingkat ekspresi yang menjadi setengah bisa digambarkan dengan log rasio −1, dan tingkat ekspresi yang tidak berubah bisa digambarkan dengan rasio log nol, sebagai contoh. Titik-titik data yang didapatkan dengan cara ini biasanya divisualisasikan sebagai sebuah [[diagram pencar]] di mana salah satu atau kedua sumbu koordinatnya adalah logaritma biner dari rasio intensitas, atau dalam visualisasi seperti [[diagram MA]] dan [[diagram RA]] yang memutar dan menskalakan rasio log dari diagram pencarnya.

=== Teori musik ===
Dalam [[teori musik]], [[Interval (musik)|interval]] atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua [[frekuensi]]nya. Interval yang datang dari rasio [[bilangan rasional]] dengan pembilang dan penyebut kecil pada khususnya dianggap merdu. Interval yang paling sederhana dan paling penting adalah [[oktaf]], suatu rasio frekuensi <math>2:1</math>. Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.

Untuk mempelajari [[sistem penalaan]] dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu [[logaritma]]) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi). Jadi, jika nada-nada <math>x</math>, <math>y</math>, dan <math>z</math> membentuk urutan nada-nada yang menaik, maka ukuran interval dari <math>x</math> ke <math>y</math> ditambah ukuran interval dari <math>y</math> ke <math>z</math> seharusnya sama dengan ukuran interval dari ''<math>x</math>'' ke <math>z</math>. Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan [[Sen (musik)|sen]], yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 [[semitone]] yang masing-masing terdiri dari 100 ''cent''). Secara matematis, nada-nada dengan frekuensi <math>f_1</math> dan <math>f_2</math>, mempunyai jumlah sen dalam interval dari <math>x</math> ke <math>y</math> sebesar
:<math>\left|1200\log_2\frac{f_1}{f_2}\right|.</math>
Istilah [[milioktaf]] didefinisikan dengan cara yang sama, tetapi dengan pengali 1000 bukannya 1200.

===Penjadwalan olahraga===
Dalam permainan dan olahraga dengan dua pemain atau tim dalam masing-masing permainan atau pertandingannya, logaritma biner menunjukkan banyak babak yang diperlukan untuk menentukan pemengang dalam suatu turnamen dengan [[sistem gugur]]. Sebagai contoh, turnamen dengan 4 pemain perlu log2(4) = 2 babak untuk menentukan pemenangnya, turnamen dengan 32 tim memerlukan log2(32) = 5 babak, dsb. Dalam kasus di mana terdapat ''n'' pemain/tim dan ''n'' bukan perpangkatan dari 2, log2''n'' dibulatkan ke atas karena akan diperlukan paling tidak satu babak di mana tidak semua pesertanya bertanding. Misalnya, log2(6) kira-kira sama dengan 2,585, dibulatkan ke atas, menunjukkan bahwa turnamen dengan 6 tim memerlukan 3 babak (bisa jadi 2 tim tidak bermain di babak pertama, atau satu tim tidak bermain di babak kedua). Banyak babak yang sama juga diperlukan untuk menentukan pemenang yang jelas dalam [[turnamen sistem Swiss]].

=== Fotografi ===
Dalam [[fotografi]], [[nilai eksposur]] diukur menggunakan logaritma biner jumlah cahaya yang mencapai film atau sensor, sejalan dengan [[hukum Weber–Fechner]] yang menyatakan respons logaritmik sistem penglihatan manusia terhadap cahaya. Satu stop exposur adalah satu unit dalam skala logaritma basis-2. Lebih tepatnya, nilai exposure suatu foto didefinisikan sebagai:
:<math>\log_2 \frac{N^2}{t}</math>
di mana <math>N</math> adalah [[bilangan-f]] yang mengukur [[bukaan (fotografi)|bukaan]] lensa selama exposur, dan <math>t</math> adalah jumlah detik lamanya exposur.

Logaritma biner (diekspresikan dalam satuan stop) juga digunakan dalam [[densitometri]], untuk mengekspresikan [[rentang dinamis]] dari bahan atau sensor digital yang sensitif cahaya.

== Kalkulasi ==

=== Dukungan perpustakaan software ===
Fungsi <code>log2</code> dimasukkan ke dalam [[fungsi matematika C]] standar. Versi default fungsi ini mengambil argumen ''[[double precision]]'' tetapi varian-variannya mengizinkan argumen dalam bentuk ''single-precision'' atau sebagai ''[[long double]]''.

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritma+biner&oldid=28736072 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28736072 (2025-12-25T01:23:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Logaritma biner - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28736072; atribusi sumber disertakan.