Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:03:39Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.03
Baris 1:		Baris 1:
	~~Dalam~~ [[~~matematika]], '''Masalah maksimisasi sudut~~ Regiomontanus~~''', adalah masalah terkenal [[Maxima dan minima~~\|~~optimasi]] yang dilakukan oleh matematikawan asal [[Jerman]] abad ke-15, Johannes Müller (juga dikenal sebagai [[~~Regiomontanus]]~~). Masalahnya adalah sebagai berikut:~~		[[File:Regiomontanus.problem.png\|thumb\|right\|280px\|Regiomontanus.problem]]

			Dalam [[matematika]], '''Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus''', adalah masalah terkenal [[Maxima dan minima\|optimasi]]<ref>Heinrich Dörrie,''100 Masalah Besar Matematika Dasar: Sejarah Dan Solusinya'', Dover, 1965, pp. 369–370</ref> yang dilakukan oleh matematikawan asal [[Jerman]] abad ke-15, Johannes Müller<ref>Eli Maor, ''Kesenangan Trigonometri'', Princeton University Press, 2002, pages 46–48</ref> (juga dikenal sebagai [[Regiomontanus]]). Masalahnya adalah sebagai berikut:

			[[Gambar:Regiomontanus.problem.png\|right\|thumb\|550px\|The two dots at eye level are possible locations of the viewer's eye.]]

	: Sebuah lukisan tergantung di dinding. Mengingat ketinggian bagian atas dan bawah lukisan di atas tanggul mata pemirsa, seberapa jauh penonton harus berdiri dari dinding untuk memaksimalkan sudut [[sudut subtended\|subtended]] dengan lukisan dan simpul siapa yang ada di mata pemirsa?		: Sebuah lukisan tergantung di dinding. Mengingat ketinggian bagian atas dan bawah lukisan di atas tanggul mata pemirsa, seberapa jauh penonton harus berdiri dari dinding untuk memaksimalkan sudut [[sudut subtended\|subtended]] dengan lukisan dan simpul siapa yang ada di mata pemirsa?
Baris 6:		Baris 9:
	Jika penonton berdiri terlalu dekat dengan dinding atau terlalu jauh dari dinding, sudutnya kecil; di suatu tempat di antara itu adalah sebesar mungkin.		Jika penonton berdiri terlalu dekat dengan dinding atau terlalu jauh dari dinding, sudutnya kecil; di suatu tempat di antara itu adalah sebesar mungkin.

	Pendekatan yang sama berlaku untuk menemukan tempat optimal untuk menendang bola di rugby. Oleh karena itu, kesejajaran gambar tidak perlu berada pada sudut siku-siku: kita mungkin sedang melihat jendela Menara Miring Pisa atau makelar yang memamerkan keunggulan lampu langit di atap loteng miring.		Pendekatan yang sama berlaku untuk menemukan tempat optimal untuk menendang bola di rugby.<ref>Troy Jones. [http://wesclark.com/rrr/rugby_and_math.pdf Rugbi dan Matematika: Hubungan Mengejutkan antara Geometri, Kerucut, dan Kalkulus]. ''Mathematics Teacher''. 2001. Vol. 94 (8). hlm. 649–654..</ref> Oleh karena itu, kesejajaran gambar tidak perlu berada pada sudut siku-siku: kita mungkin sedang melihat jendela Menara Miring Pisa atau makelar yang memamerkan keunggulan lampu langit di atap loteng miring.

	== Solusi dengan geometri dasar ==		== Solusi dengan geometri dasar ==
			[[Gambar:Regiomontanus.solution.png\|right\|thumb\|550px]]

	Ada [[lingkaran]] unik yang melewati bagian atas dan bawah lukisan dan bersinggungan dengan garis setinggi mata. Dengan geometri dasar, jika posisi pemirsa bergerak di sepanjang lingkaran, [[sudut tertulis\|sudut yang ditubuhkan oleh lukisan akan tetap konstan]]. Semua posisi pada garis sejajar mata kecuali titik singgung berada di luar lingkaran, dan oleh karena itu sudut yang dirubah oleh lukisan dari titik-titik tersebut lebih kecil..		Ada [[lingkaran]] unik yang melewati bagian atas dan bawah lukisan dan bersinggungan dengan garis setinggi mata. Dengan geometri dasar, jika posisi pemirsa bergerak di sepanjang lingkaran, [[sudut tertulis\|sudut yang ditubuhkan oleh lukisan akan tetap konstan]]. Semua posisi pada garis sejajar mata kecuali titik singgung berada di luar lingkaran, dan oleh karena itu sudut yang dirubah oleh lukisan dari titik-titik tersebut lebih kecil..
Baris 16:		Baris 19:

	== Solusi dengan kalkulus ==		== Solusi dengan kalkulus ==
	Saat ini, masalah ini dikenal luas karena muncul sebagai latihan di banyak buku teks [[kalkulus]] tahun pertama (contohnya Stewart ).		Saat ini, masalah ini dikenal luas karena muncul sebagai latihan di banyak buku teks [[kalkulus]] tahun pertama (contohnya Stewart <ref>James Stewart, ''Kalkulus: Transendental Awal'', Edisi Kelima, Brooks/Cole, 2003, page 340, exercise 58</ref>).

	Jika		Jika
Baris 34:		Baris 37:
	: <math> {d \over dx}\left(\frac{x}{x^2 + ab}\right) = \frac{ab - x^2}{(x^2 + ab)^2} \qquad \begin{cases} {} > 0 & \text{if } 0 \le x < \sqrt{ab\,{}}, \\ {} = 0 & \text{if } x = \sqrt{ab\,{}}, \\ {} < 0 & \text{if } x > \sqrt{ab\,{}}. \end{cases} </math>		: <math> {d \over dx}\left(\frac{x}{x^2 + ab}\right) = \frac{ab - x^2}{(x^2 + ab)^2} \qquad \begin{cases} {} > 0 & \text{if } 0 \le x < \sqrt{ab\,{}}, \\ {} = 0 & \text{if } x = \sqrt{ab\,{}}, \\ {} < 0 & \text{if } x > \sqrt{ab\,{}}. \end{cases} </math>

	Oleh karena itu sudutnya meningkat sebagai		Oleh karena itu sudutnya meningkat sebagai
	''x'' pergi dari 0 sampai dan menurun sebagai ''x'' meningkat dari . Oleh karena itu, sudutnya sebesar mungkin kapan tepatnya ''x'' = , [[rata-rata geometris]] dari ''a'' and ''b''.		''x'' pergi dari 0 sampai dan menurun sebagai ''x'' meningkat dari . Oleh karena itu, sudutnya sebesar mungkin kapan tepatnya ''x'' = , [[rata-rata geometris]] dari ''a'' and ''b''.

	== Solusi dengan aljabar ==		== Solusi dengan aljabar ==

	Kami telah melihat bahwa itu sudah cukup untuk memaksimalkan		Kami telah melihat bahwa itu sudah cukup untuk memaksimalkan

Baris 65:		Baris 67:
	== Catatan ==		== Catatan ==

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah+maksimisasi+sudut+Regiomontanus&oldid=27772063 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27772063 (2025-09-03T00:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah+maksimisasi+sudut+Regiomontanus&oldid=27772063 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27772063 (2025~~-09-~~03T00:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27772063; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:29:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27772063; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Masalah maksimisasi sudut Regiomontanus''', adalah masalah terkenal [[Maxima dan minima|optimasi]] yang dilakukan oleh matematikawan asal [[Jerman]] abad ke-15, Johannes Müller (juga dikenal sebagai [[Regiomontanus]]). Masalahnya adalah sebagai berikut:

: Sebuah lukisan tergantung di dinding. Mengingat ketinggian bagian atas dan bawah lukisan di atas tanggul mata pemirsa, seberapa jauh penonton harus berdiri dari dinding untuk memaksimalkan sudut [[sudut subtended|subtended]] dengan lukisan dan simpul siapa yang ada di mata pemirsa?

Jika penonton berdiri terlalu dekat dengan dinding atau terlalu jauh dari dinding, sudutnya kecil; di suatu tempat di antara itu adalah sebesar mungkin.

Pendekatan yang sama berlaku untuk menemukan tempat optimal untuk menendang bola di rugby. Oleh karena itu, kesejajaran gambar tidak perlu berada pada sudut siku-siku: kita mungkin sedang melihat jendela Menara Miring Pisa atau makelar yang memamerkan keunggulan lampu langit di atap loteng miring.

== Solusi dengan geometri dasar ==

Ada [[lingkaran]] unik yang melewati bagian atas dan bawah lukisan dan bersinggungan dengan garis setinggi mata. Dengan geometri dasar, jika posisi pemirsa bergerak di sepanjang lingkaran, [[sudut tertulis|sudut yang ditubuhkan oleh lukisan akan tetap konstan]]. Semua posisi pada garis sejajar mata kecuali titik singgung berada di luar lingkaran, dan oleh karena itu sudut yang dirubah oleh lukisan dari titik-titik tersebut lebih kecil..

Oleh [[Euklides|Euclid]]'s ''[[Elemen Euklides|Element]]'' III.36 (alternatifnya [[kekuatan titik|teorema kekuatan-titik]]), jarak dari dinding ke titik singgung adalah [[rata-rata geometris]] dari ketinggian bagian atas dan bawah lukisan. Ini berarti, pada gilirannya, jika kita merefleksikan bagian bawah gambar pada garis setinggi mata dan menggambar lingkaran dengan ruas antara bagian atas gambar dan titik pantulan ini sebagai diameter, lingkaran memotong garis setinggi mata di posisi yang diperlukan (oleh Elemen II.14).

== Solusi dengan kalkulus ==
Saat ini, masalah ini dikenal luas karena muncul sebagai latihan di banyak buku teks [[kalkulus]] tahun pertama (contohnya Stewart ).

Jika

: ''a'' = ketinggian bagian bawah lukisan di atas ketinggian mata;
: ''b'' = ketinggian bagian atas lukisan di atas ketinggian mata;
: ''x'' = jarak pemirsa dari dinding;
: ''α'' = sudut peninggian bagian bawah lukisan, dilihat dari posisi penonton;
: ''β'' = sudut ketinggian bagian atas lukisan, dilihat dari posisi pemirsa.

Sudut yang ingin kami maksimalkan adalah ''β − α''. [[Fungsi trigonometrik#Sinus, kosinus, dan garis singgung|tangen]] sudut bertambah seiring dengan bertambahnya sudut; oleh karena itu cukup dimaksimalkan

: <math> \tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta\tan\alpha} = \frac{\frac{b}{x} - \frac{a}{x}}{1 + \frac{b}{x}\cdot\frac{a}{x}} = (b-a)\frac{x}{x^2 + ab}. </math>

setelah ''b'' − ''a'' adalah konstanta positif, kita hanya perlu memaksimalkan pecahan yang mengikutinya. Membedakan, kita mengerti

: <math> {d \over dx}\left(\frac{x}{x^2 + ab}\right) = \frac{ab - x^2}{(x^2 + ab)^2} \qquad \begin{cases} {} > 0 & \text{if } 0 \le x < \sqrt{ab\,{}}, \\ {} = 0 & \text{if } x = \sqrt{ab\,{}}, \\ {} < 0 & \text{if } x > \sqrt{ab\,{}}. \end{cases} </math>

Oleh karena itu sudutnya meningkat sebagai
''x'' pergi dari 0 sampai dan menurun sebagai ''x'' meningkat dari . Oleh karena itu, sudutnya sebesar mungkin kapan tepatnya ''x'' = , [[rata-rata geometris]] dari ''a'' and ''b''.

== Solusi dengan aljabar ==

Kami telah melihat bahwa itu sudah cukup untuk memaksimalkan

: <math> \frac{x}{x^2 + ab}. </math>

Ini setara dengan ''meminimalkan'' [[timbal]] balik:

:<math> \frac{x^2 + ab}{x} = x + \frac{ab}{x}. </math>

Perhatikan bahwa kuantitas terakhir ini sama dengan

: <math> \left( \sqrt{x} - \sqrt\frac{ab}{x}\, \right)^2 + 2\sqrt{ab\,{}}.
</math>

= 2\sqrt{ab\,{}}. </math>
Jadi kita punya
: <math>
\begin{align}
x + \frac{ab}{x} & = u^2 + v^2 = \underbrace{\left(u^2 - 2uv + v^2\right)}_\text{pesergi yang sempurna} + 2uv \\
& = (u - v)^2 + 2uv = \left( \sqrt{x} - \sqrt\frac{ab}{x}\, \right)^2 + 2\sqrt{ab\,{}}.
\end{align}
</math>}}

Ini sekecil mungkin tepatnya jika kuadratnya 0, dan itu terjadi jika ''x'' = . Atau, kita dapat mengutip ini sebagai contoh dari pertidaksamaan antara [[aritmetika]] dan sarana geometri.

== Catatan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Masalah+maksimisasi+sudut+Regiomontanus&oldid=27772063 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27772063 (2025-09-03T00:52:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.