Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:01:13Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.01
Baris 14:		Baris 14:
	:<math>(\mathbf Hf)_{i,j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}.</math>		:<math>(\mathbf Hf)_{i,j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}.</math>

	[[Determinan]] matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.		[[Determinan]] matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.<ref>Ken Binmore. ''Calculus Concepts and Methods''. Cambridge University Press. 2007. hlm. 190. ISBN 978-0-521-77541-0.</ref>

	Matriks Hesse berkaitan dengan [[matriks Jacob]] lewat hubungan .		Matriks Hesse berkaitan dengan [[matriks Jacob]] lewat hubungan .
Baris 25:		Baris 25:
	== Aplikasi ==		== Aplikasi ==
	=== Uji turunan kedua ===		=== Uji turunan kedua ===


	Matriks Hesse dari suatu [[fungsi cembung]] bersifat [[matriks semidefinit positif\|semidefinit positif]]. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu [[titik kritis (matematika)\|titik kritis]] merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:		Matriks Hesse dari suatu [[fungsi cembung]] bersifat [[matriks semidefinit positif\|semidefinit positif]]. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu [[titik kritis (matematika)\|titik kritis]] merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Baris 40:		Baris 38:
	Jika [[gradien]] (vektor turunan parsial) dari fungsi nol pada suatu titik , maka memiliki ''[[titik kritis (matematika)\|titik kritis]]'' (atau ''[[titik stasioner]]'') di . [[Determinan]] matriks Hesse di kemudian disebut [[diskriminan]]. Jika determinan ini bernilai nol, maka disebut ''titik kritis merosot'' , atau ''titik kritis non-Morse'' . Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut ''titik kritis Morse'' .		Jika [[gradien]] (vektor turunan parsial) dari fungsi nol pada suatu titik , maka memiliki ''[[titik kritis (matematika)\|titik kritis]]'' (atau ''[[titik stasioner]]'') di . [[Determinan]] matriks Hesse di kemudian disebut [[diskriminan]]. Jika determinan ini bernilai nol, maka disebut ''titik kritis merosot'' , atau ''titik kritis non-Morse'' . Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut ''titik kritis Morse'' .

	Matriks Hesse memainkan peran penting dalam [[teori Morse]] dan [[teori katastrofe]] karena [[kernel (aljabar linear)\|kernel]] dan [[nilai dan vektor Eigen\|nilai eigennya]] memberikan klasifikasi titik kritis.		Matriks Hesse memainkan peran penting dalam [[teori Morse]] dan [[teori katastrofe]] karena [[kernel (aljabar linear)\|kernel]] dan [[nilai dan vektor Eigen\|nilai eigennya]] memberikan klasifikasi titik kritis.<ref>James J. Callahan. [https://books.google.com/books?id=geruGMKT9_UC&pg=PA248 Advanced Calculus: A Geometric View]. Springer Science & Business Media. 2010. hlm. 248. ISBN 978-1-4419-7332-0.</ref><ref>[https://books.google.com/books?id=Tcn3CAAAQBAJ&pg=PA178 Recent Developments in General Relativity]. Springer Science & Business Media. 2011. hlm. 178. ISBN 9788847021136.</ref><ref>Domenico P. L. Castrigiano. [https://archive.org/details/catastrophetheor0000cast_o1c2 Catastrophe theory]. Westview Press. 2004. hlm. [https://archive.org/details/catastrophetheor0000cast_o1c2/page/18 18]. ISBN 978-0-8133-4126-2.</ref>

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
Baris 49:		Baris 47:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Bacaan lanjutan ==		== Bacaan lanjutan ==
	*		*
	*		*
	*		*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+Hesse&oldid=29525010 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525010 (2026-08-04T15:02:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+Hesse&oldid=29525010 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525010 (2026-08-04T15:02:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29525010; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:26:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29525010; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, '''matriks Hesse''' adalah [[matriks persegi]] dari [[turunan parsial]] orde kedua dengan [[fungsi (matematika)|fungsi]] bernilai skalar, atau [[medan skalar]]. Matriks ini juga dikenal sebagai '''matriks Hessian''', '''Hessian''', atau '''Hesse''.''''' Matriks ini mendeskripsikan kelengkungan lokal dari fungsi banyak peubah. Matriks Hesse dikembangkan pada abad ke-19 oleh matematikawan berkebangsaan Jerman, [[Otto Hesse|Ludwig Otto Hesse]], dan kemudian dinamai dengan namanya. Hesse semula menggunakan istilah "determinan fungsional".

== Definisi dan sifat ==
Misal adalah fungsi yang mengambil masukan sebuah vektor dan menghasilkan skalar . Jika semua [[turunan parsial]] kedua ada dan kontinu di dalam domain fungsi, maka matriks Hesse dari merupakan matriks persegi , biasanya didefinisikan dan disusun sebagai berikut:

:<math>\mathbf{H} f = \begin{bmatrix}
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\[2.2ex]
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\[2.2ex]
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2.2ex]
\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}.</math>

atau, dengan menyatakan sebuah persamaan untuk koefisien menggunakan indeks ''i'' dan ''j'':
:<math>(\mathbf Hf)_{i,j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}.</math>

[[Determinan]] matriks Hesse disebut dengan determinan Hesse.

Matriks Hesse berkaitan dengan [[matriks Jacob]] lewat hubungan .

Matriks Hesse merupakan [[matriks simetris]] jika semua turunan parsial kedua [[fungsi kontinu|kontinu]] dalam [[Persekitaran (matematika)|lingkungan]] dari titik yang diberikan. Hal ini adalah akibat dari [[Simetri turunan kedua#Teorema Schwarz|Teorema Schwarz]] yang menyatakan kekontinuan turunan kedua fungsi menyebabkan urutan diferensiasi fungsi tidak berpengaruh. Sehingga,

:<math>\mathbf Hf_{ij} = \frac {\partial}{\partial x_i} \left(\frac {\partial f }{\partial x_j} \right) =
\frac {\partial}{\partial x_j} \left(\frac {\partial f }{\partial x_i} \right) = \mathbf Hf_{ji}</math>

== Aplikasi ==
=== Uji turunan kedua ===

Matriks Hesse dari suatu [[fungsi cembung]] bersifat [[matriks semidefinit positif|semidefinit positif]]. Sifat ini dapat digunakan untuk menguji apakah suatu [[titik kritis (matematika)|titik kritis]] merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau titik pelana, dengan cara:

Jika matriks Hesse [[kedefinitan matriks|definit positif]] di , maka mencapai minimum lokal terpencil di . Sedangkan jika matriks Hesse [[Kedefinitan matriks|definit negatif]] di , maka mencapai maksimum lokal terpencil di . Jika matriks Hesse memiliki [[nilai dan vektor Eigen|nilai eigen]] positif dan negatif, maka adalah [[titik pelana]] untuk . Selain kasus-kasus tersebut, uji ini tidak dapat menyimpulkan apa pun. Kondisi ini dipenuhi pada minimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit positif, dan pada maksimum lokal, matriks Hesse merupakan semidefinit negatif.

Perhatikan bahwa untuk matriks Hesse semidefinit positif dan semidefinit negatif, uji ini tidak dapat menyimpulkan apapun (titik kritis tempat matriks Hesse semidefinit, tetapi bukan definit, titik tersebut mungkin merupakan ekstremum lokal atau titik pelana). Akan tetapi, lebih banyak yang dapat dibicarakan dari sudut pandang [[teori Morse]].

[[Uji turunan kedua]] fungsi satu dan dua peubah sederhana. Pada fungsi satu peubah, matriks Hesse hanya memuat satu turunan kedua; jika positif maka adalah minimum lokal, dan jika negatif maka adalah maksimum lokal; jika nol maka uji tidak dapat menyimpulkan apapun. Pada fungsi dua peubah [[determinan]] dapat digunakan karena determinan merupakan hasil kali nilai eigen. Jika determinan positif maka kedua nilai eigen sama-sama positif atau negatif. Jika determinan bernilai negatif, maka kedua nilai eigen berbeda tanda. Jika determinan bernilai nol, maka uji turunan kedua tidak dapat memyimpulkan apapun.

Setara dengan itu, kondisi orde kedua yang minimum atau maksimum lokalnya dapat cukup diekspresikan dalam barisan [[minor (aljabar linear)|minor]] (determinan submatriks) utama (ujung kiri atas) matriks Hesse; kasus ini terjadi ketika jumlah kendala sama dengan nol. Secara khusus, kondisi cukup untuk minimum adalah ketika semua minor utama bernilai positif, sedangkan kondisi cukup untuk maksimum adalah minor berbeda tanda dengan minor 1×1 bertanda negatif.

=== Titik kritis ===
Jika [[gradien]] (vektor turunan parsial) dari fungsi nol pada suatu titik , maka memiliki ''[[titik kritis (matematika)|titik kritis]]'' (atau ''[[titik stasioner]]'') di . [[Determinan]] matriks Hesse di kemudian disebut [[diskriminan]]. Jika determinan ini bernilai nol, maka disebut ''titik kritis merosot'' , atau ''titik kritis non-Morse'' . Di luar itu, titik kritis tersebut takmerosot, dan disebut ''titik kritis Morse'' .

Matriks Hesse memainkan peran penting dalam [[teori Morse]] dan [[teori katastrofe]] karena [[kernel (aljabar linear)|kernel]] dan [[nilai dan vektor Eigen|nilai eigennya]] memberikan klasifikasi titik kritis.

== Lihat pula ==
* Determinan matriks Hesse merupakan kovarian; lihat [[Invarian bentuk biner]]
* [[Identitas polarisasi]], berguna untuk menghitung dengan cepat yang melibatkan Hesse.
* [[Matriks Jacob]]
* [[Persamaan Hesse]]

== Catatan ==

== Bacaan lanjutan ==
*
*
*

== Pranala luar ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+Hesse&oldid=29525010 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525010 (2026-08-04T15:02:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Matriks Hesse - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29525010; atribusi sumber disertakan.