Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:05:55Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.05
Baris 10:		Baris 10:
	# [[Norma Frobenius]] dari <math>\mathbf A</math> dapat dihitung dari nilai-nilai eigen <math>\mathbf A</math>, yakni <math display="inline"> \operatorname{tr} \left(A^* A\right) = \sum_j \left\| \lambda_j \right\|^2 </math>.		# [[Norma Frobenius]] dari <math>\mathbf A</math> dapat dihitung dari nilai-nilai eigen <math>\mathbf A</math>, yakni <math display="inline"> \operatorname{tr} \left(A^* A\right) = \sum_j \left\| \lambda_j \right\|^2 </math>.
	# Bagian [[Matriks Hermite\|Hermite]] <math>\tfrac12(\mathbf A+ \mathbf A^)</math> dan bagian ''skew-Hermitian'' <math>\tfrac12(\mathbf A- \mathbf A^)</math> dari <math>\mathbf A</math> saling komutatif.		# Bagian [[Matriks Hermite\|Hermite]] <math>\tfrac12(\mathbf A+ \mathbf A^)</math> dan bagian ''skew-Hermitian'' <math>\tfrac12(\mathbf A- \mathbf A^)</math> dari <math>\mathbf A</math> saling komutatif.
	# <math>\mathbf A^*</math> suatu polinomial (dengan derajat maksimum <math>n-1</math>) dalam <math>\mathbf A</math>.		# <math>\mathbf A^*</math> suatu polinomial (dengan derajat maksimum <math>n-1</math>) dalam <math>\mathbf A</math>.<ref>Bukti: Jika \mathbf A normal, gunakan rumus interpolasi Lagrange untuk mengonstruksi suatu polinomial P sedemikian sehingga \overline{\lambda_j} = P(\lambda_j) , dengan \lambda_j adalah nilai-nilai eigen dari \mathbf A .</ref>
	# <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math> untuk suatu matriks uniter <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math>.		# <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math> untuk suatu matriks uniter <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>
	# <math>\mathbf U</math> dan <math>\mathbf P</math> saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki [[dekomposisi kutub]] <math>\mathbf A = \mathbf {UP}</math> dengan suatu matriks uniter <math>\mathbf U</math> dan suatu [[Matriks definit positif\|matriks semidefinit positif]] <math>\mathbf P</math>.		# <math>\mathbf U</math> dan <math>\mathbf P</math> saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki [[dekomposisi kutub]] <math>\mathbf A = \mathbf {UP}</math> dengan suatu matriks uniter <math>\mathbf U</math> dan suatu [[Matriks definit positif\|matriks semidefinit positif]] <math>\mathbf P</math>.
	# <math>\mathbf A</math> saling komutatif dengan suatu matriks normal <math>\mathbf N</math> yang nilai-nilai eigennya yang unik.		# <math>\mathbf A</math> saling komutatif dengan suatu matriks normal <math>\mathbf N</math> yang nilai-nilai eigennya yang unik.
	# <math>\sigma_i = \|\lambda_i\|</math> untuk semua <math>1 \leq i \leq n</math>, dengan <math>\sigma_1 \geq \dots \geq \sigma_n</math> dan <math>\|\lambda_1\| \geq \dots \geq \|\lambda_n\|</math> masing-masing adalah [[Nilai singular\|nilai-nilai singular]] dan nilai-nilai eigen dari <math>\mathbf A</math>.		# <math>\sigma_i = \|\lambda_i\|</math> untuk semua <math>1 \leq i \leq n</math>, dengan <math>\sigma_1 \geq \dots \geq \sigma_n</math> dan <math>\|\lambda_1\| \geq \dots \geq \|\lambda_n\|</math> masing-masing adalah [[Nilai singular\|nilai-nilai singular]] dan nilai-nilai eigen dari <math>\mathbf A</math>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	== Kasus khusus ==		== Kasus khusus ==
Baris 24:		Baris 24:

	: <math>AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A.</math>		: <math>AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A.</math>

	~~== Catatan kaki ==~~


	~~== Referensi ==~~


	== Sumber ==		== Sumber ==

	* .		* .
	*		*


	[[ja:正規作用素]]		[[ja:正規作用素]]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525038 (2026-08-04T15:05:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525038 (2026-08-04T15:05:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29525038; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:35:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29525038; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], suatu [[matriks persegi]] <math>\mathbf A</math> dengan entri-entri [[Bilangan kompleks|kompleks]] dikatakan '''normal''' jika ia [[Sifat komutatif|bersifat komutatif]] atas perkalian matriks dengan [[transpos konjugat]] <math>\mathbf A^*</math>; secara matematis dinyatakan sebagai <math>\mathbf {AA}^* = \mathbf {A}^* \mathbf A</math>. Konsep dari matriks normal dapat diperumum menjadi [[operator normal]] di [[ruang vektor bernorma]] berdimensi tak hingga, dan elemen normal di [[aljabar C*]].

== Definisi ==
Ada banyak cara yang ekuivalen untuk mendefinisikan matriks normal. Misalkan <math>\mathbf A</math> adalah matriks kompleks berukuran <math>n\times n</math>, pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

# <math>\mathbf A</math> adalah matriks normal.
# <math>\mathbf A</math> dapat [[Matriks terdiagonalkan|diagonalkan]] oleh suatu [[matriks uniter]].
# Ada suatu himpun [[Nilai dan vektor eigen|vektor-vektor eigen]] dari <math>\mathbf A</math> yang membangun [[Basis (aljabar linear)|basis]] ortonormal bagi <math>\mathbb C^n</math>.
# <math>\left\| A \mathbf{x} \right\| = \left\| A^* \mathbf{x} \right\|</math> untuk sembarang .
# [[Norma Frobenius]] dari <math>\mathbf A</math> dapat dihitung dari nilai-nilai eigen <math>\mathbf A</math>, yakni <math display="inline"> \operatorname{tr} \left(A^* A\right) = \sum_j \left| \lambda_j \right|^2 </math>.
# Bagian [[Matriks Hermite|Hermite]] <math>\tfrac12(\mathbf A+ \mathbf A^*)</math> dan bagian ''skew-Hermitian'' <math>\tfrac12(\mathbf A- \mathbf A^*)</math> dari <math>\mathbf A</math> saling komutatif.
# <math>\mathbf A^*</math> suatu polinomial (dengan derajat maksimum <math>n-1</math>) dalam <math>\mathbf A</math>.
# <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math> untuk suatu matriks uniter <math>\mathbf A^* = \mathbf {AU}</math>.
# <math>\mathbf U</math> dan <math>\mathbf P</math> saling komutatif, yang mengartikan kita memiliki [[dekomposisi kutub]] <math>\mathbf A = \mathbf {UP}</math> dengan suatu matriks uniter <math>\mathbf U</math> dan suatu [[Matriks definit positif|matriks semidefinit positif]] <math>\mathbf P</math>.
# <math>\mathbf A</math> saling komutatif dengan suatu matriks normal <math>\mathbf N</math> yang nilai-nilai eigennya yang unik.
# <math>\sigma_i = |\lambda_i|</math> untuk semua <math>1 \leq i \leq n</math>, dengan <math>\sigma_1 \geq \dots \geq \sigma_n</math> dan <math>|\lambda_1| \geq \dots \geq |\lambda_n|</math> masing-masing adalah [[Nilai singular|nilai-nilai singular]] dan nilai-nilai eigen dari <math>\mathbf A</math>.

== Kasus khusus ==
Di antara matriks-matriks kompleks, semua matriks [[Matriks uniter|uniter]], [[Matriks Hermite|Hermite]], dan ''skew-Hermitian'' bersifat normal. Serupa dengan itu, di antara matriks-matriks real, semua matriks [[Matriks ortogonal|ortogonal]], [[Matriks simetrik|simetrik]], dan ''skew-symmetric'' bersifat normal. Namun, tidak semua matriks normal merupakan matriks uniter atau (''skew''-)Hermite. sebagai contoh,

: <math>A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>

tidak uniter, Hermite, maupun ''skew-Hermitian'', namun merupakan matriks normal karena

: <math>AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A.</math>

== Catatan kaki ==

== Referensi ==

== Sumber ==

* .
*

[[ja:正規作用素]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriks+normal&oldid=29525038 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29525038 (2026-08-04T15:05:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Matriks normal - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29525038; atribusi sumber disertakan.