Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:09:14Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.09
Baris 4:		Baris 4:

	== Metode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ==		== Metode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ==

	Suatu sistem [[persamaan linier]] terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.		Suatu sistem [[persamaan linier]] terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

	Rumus iterasi untuk hampiran ke-''k'' pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Untuk ''i'' = 1, 2, …, ''n'' dan ''k'' = 1, 2, 3, …,		Rumus iterasi untuk hampiran ke-''k'' pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Untuk ''i'' = 1, 2, …, ''n'' dan ''k'' = 1, 2, 3, …,

	:<math>		:<math>
	x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}a_{ij}x^{(k)}_j-\sum_{j=i+1}a_{ij}x^{(k-1)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.		x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}a_{ij}x^{(k)}_j-\sum_{j=i+1}a_{ij}x^{(k-1)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
	</math>		</math>

	== Algoritma Iterasi Gauss-Seidel ==		== Algoritma Iterasi Gauss-Seidel ==

	Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koefisien ''n'' × ''n'', b vektor konstanta ''n'' × 1, dan X vektor ''n'' × 1 yang perlu di cari.		Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koefisien ''n'' × ''n'', b vektor konstanta ''n'' × 1, dan X vektor ''n'' × 1 yang perlu di cari.

Baris 25:		Baris 23:
	:1. Set penghitung iterasi ''k'' = 1		:1. Set penghitung iterasi ''k'' = 1
	:2. WHILE ''k'' <= ''N'' DO		:2. WHILE ''k'' <= ''N'' DO
	::(a) FOR ''i'' = 1, 2, 3, ..., ''n'', hitung:<math>		::(a) FOR ''i'' = 1, 2, 3, ..., ''n'', hitung:<math>
	x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}a_{ij}x_j-\sum_{j=i+1}a_{ij}x_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.		x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}a_{ij}x_j-\sum_{j=i+1}a_{ij}x_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
	</math>		</math>
Baris 37:		Baris 35:

	== Implementasi dengan MATLAB ==		== Implementasi dengan MATLAB ==

	function [X1,g,H] = seidel(A,b,X0,T,N)		function [X1,g,H] = seidel(A,b,X0,T,N)

Baris 112:		Baris 109:

	H =		H =
	Columns 1 through 5		Columns 1 through 5
	0 0 0 0 0.6000		0 0 0 0 0.6000
	Columns 6 through 10		Columns 6 through 10
	2.3273 -0.9873 0.8789 1.0302 2.0369		2.3273 -0.9873 0.8789 1.0302 2.0369
	Columns 11 through 15		Columns 11 through 15
	-1.0145 0.9843 1.0066 2.0036 -1.0025		-1.0145 0.9843 1.0066 2.0036 -1.0025
	Columns 16 through 20		Columns 16 through 20
	0.9984 1.0009 2.0003 -1.0003 0.9998		0.9984 1.0009 2.0003 -1.0003 0.9998
	Columns 21 through 25		Columns 21 through 25
	1.0001 2.0000 -1.0000 1.0000 1.0000		1.0001 2.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
	Columns 26 through 28		Columns 26 through 28
	2.0 -1.0000 1.0000		2.0 -1.0000 1.0000

Baris 130:		Baris 127:

	Sahid. 2005. ''Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB''. Andi. Yogyakarta.		Sahid. 2005. ''Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB''. Andi. Yogyakarta.



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+Gauss-Seidel&oldid=28369828 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28369828 (2025-11-07T06:51:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+Gauss-Seidel&oldid=28369828 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28369828 (2025-11-07T06:51:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28369828; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:47:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28369828; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Metode Gauss-Seidel''' digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]] (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar, seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem [[persamaan diferensial]]. Metode [[iterasi]] Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.

Teknik iterasi seperti Metode Gauss-Seidel jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karena metode-metode langsung seperti metode [[eliminasi Gauss]] lebih efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada [[matriks]] koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel [[sesatan]] pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.

== Metode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear ==

Suatu sistem [[persamaan linier]] terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-''k'' pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Untuk ''i'' = 1, 2, …, ''n'' dan ''k'' = 1, 2, 3, …,

:<math>
x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}a_{ij}x^{(k)}_j-\sum_{j=i+1}a_{ij}x^{(k-1)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
</math>

== Algoritma Iterasi Gauss-Seidel ==

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koefisien ''n'' × ''n'', b vektor konstanta ''n'' × 1, dan X vektor ''n'' × 1 yang perlu di cari.

INPUT: ''n'', A, b dan hampiran awal Y = (y1 y2 y3 ...y''n'')''T'', batas toleransi ''T'' dan maksimum iterasi ''N''.

OUTPUT: X = (x1 x2 x3 ...x''n'')''T'' atau pesan "gagal".

LANGKAH-LANGKAH:

:1. Set penghitung iterasi ''k'' = 1
:2. WHILE ''k'' <= ''N'' DO
::(a) FOR ''i'' = 1, 2, 3, ..., ''n'', hitung:<math>
x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i - \sum_{j=1}a_{ij}x_j-\sum_{j=i+1}a_{ij}x_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
</math>
::(b) Set X = (x1 x2 x3 ...x''n'')''T''
::(c) IF ||X - Y|| < T THEN STOP
::(d) Tambah penghitung iterasi, ''k'' = ''k'' + 1
::(e) FOR ''i'' = 1, 2, 3, ..., ''n'', Set yi = xi
::(f) Set Y = (y1 y2 y3 ...y''n'')''T''
:3. Tulis pesan "metode gagal setelah N iterasi"
:4. STOP.

== Implementasi dengan MATLAB ==

function [X1,g,H] = seidel(A,b,X0,T,N)

H = X0';

n = length(b);

X1 = X0 ;

for k=1:N,
:for i=1:n,
::S=b(i)-A(i,1:i-1)*X1(1:i-1)-A(i,i+1:n)*X0(i+1:n);
::X1(i)=S/A(i,i);
:end
:g=abs(X1-X0);
:err=norm(g);
:relerr=err/(norm(X1)+eps);
:X0=X1;
:H=[H,X0'];
:if(err<T)|(relerr<T),break,end
end

== Contoh ==
Sebagai gambaran misalkan mencari penyelesaian SPL

10x1 - x2 +2x3=6

-x1+11x2-x3+3x4=25

2x1-x2+10x3-x4=-11

3x2-x3+8x4=15

Berikut pemakaian fungsi MATLAB seidel untuk penyelesaian soal di atas dan keluaran yang diperoleh:

>> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]

A =
10 -1 2 0
-1 11 -1 3
2 -1 10 -1
0 3 -1 8
>> b=[6;25;-11;15]

b =
6
25
-11
15

>> X0=[0;0;0;0]

X0 =
0
0
0
0

>> T=0.0001;N=25;

>> [X,g,H]=seidel(A,b,X0,T,N)

X =
1.0000
2.0000
-1.0000
1.0000
g =
1.0e-004 *
0.8292
0.2017
0.2840
0.1111

H =
Columns 1 through 5
0 0 0 0 0.6000
Columns 6 through 10
2.3273 -0.9873 0.8789 1.0302 2.0369
Columns 11 through 15
-1.0145 0.9843 1.0066 2.0036 -1.0025
Columns 16 through 20
0.9984 1.0009 2.0003 -1.0003 0.9998
Columns 21 through 25
1.0001 2.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
Columns 26 through 28
2.0 -1.0000 1.0000

Proses iterasi dapat diulangi sampai tingkat keakuratan yang diinginkan tercapai, penyelesaian eksak contoh di atas adalah (1, 2, -1, 1).
== Daftar Pustaka ==
Munir, R. 2003. ''Metode Numerik''. Informatika. Bandung.

Sahid. 2005. ''Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB''. Andi. Yogyakarta.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+Gauss-Seidel&oldid=28369828 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28369828 (2025-11-07T06:51:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Metode Gauss-Seidel - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28369828; atribusi sumber disertakan.