Metode Jacobi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-23T04:20:46Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

@@ Baris 40: / Baris 40: @@
 == Algoritma Metode Iterasi Jacobi ==
 INPUT:
 : <math>n</math>, A, b, dan hampiran awal '''Y'''=(y<sub>1</sub> y<sub>2</sub> y<sub>3</sub>...y<sub>n</sub>)<sup>T</sup>, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N
@@ Baris 59: / Baris 58: @@
   '''Input:''' , (diagonal dominant) matrix <math>A</math>, right-hand side vector <math>b</math>, convergence criterion
   '''Output:'''
   '''Comments:'''
   '''while''' convergence not reached '''do'''
@@ Baris 77: / Baris 75: @@
 == Algoritma Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk ''software'' Matlab ==
 Penggunaan [[Algoritma|algoritme]] Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk matlab. [[MATLAB|Matlab]] merupakan program pengolahan data numerik.
@@ Baris 238: / Baris 235: @@
 === Contoh lain ===
 Contohnya kita diberi sistem linier berikut:
@@ Baris 263: / Baris 259: @@
 Dengan menggunakan perkiraan yang diperoleh, prosedur iteratif diulangi sampai akurasi yang diinginkan tercapai. Berikut ini adalah solusi yang diperkirakan setelah lima iterasi.
+{| class="wikitable" border="1"
 Solusi yang tepat dari sistem ini adalah .
@@ Baris 269: / Baris 296: @@
 Prosedur numerik berikut hanya melakukan iterasi untuk menghasilkan vektor solusi.
 Menghasilkan keluaran:
@@ Baris 279: / Baris 336: @@
 == Lihat pula ==
 *[[Metode Gauss–Seidel]]
 *[[Relaksasi berlebihan berturut-turut]]
@@ Baris 285: / Baris 341: @@
 *[[Propagasi Keyakinan#Propagasi keyakinan Gaussian .28GaBP.29|Propagasi Keyakinan Gaussian]]
 * [[Pemisahan matriks]]
 == Pranala luar ==
+*
 * [http://www.math-linux.com/spip.php?article49 Jacobi Method from www.math-linux.com]
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+Jacobi&oldid=28481376 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28481376 (2025-11-14T07:29:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28481376; atribusi sumber disertakan.

2026-08-23T04:02:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28481376; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Metode [[Iterasi]] Jacobi''' merupakan salah satu bidang [[analisis numerik]] yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan [[persamaan linear]] dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin [[ilmu]]. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga tetapi langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan [[persamaan linear]] berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh [[matematikawan]] yang berasal dari Jerman, [[Carl Gustav Jacob Jacobi]]. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut

:<math> A x = b.\, </math>
Kemudian, diketahui bahwa <math> A = D+\left({L + U} \right)</math>,
di mana <math>D</math> merupakan [[matriks diagonal]], <math>L</math> merupakan [[matriks segitiga]] bawah, dan <math>U</math> merupakan matriks segitiga atas.

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi:

:<math> D x+\left({L + U} \right)x = b.</math>
Kemudian,
:<math> x = D^{ - 1} \left[b -\left({L + U} \right)x \right],
</math>

Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai:
:<math>
x^{(k+1)} = D^{ - 1} \left[b-\left({L + U} \right)x^{(k)}\right],
</math>
di mana <math>k</math> merupakan banyaknya iterasi.
Jika <math>x^{(k)}</math> menyatakan hampiran ke- <math>k</math> penyelesaian SPL, maka <math>x^{(0)}</math> adalah hampiran awal.
:<math>
x^{(k)}_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k-1)}_j\right),\, i=1,2,\ldots,n.
</math>

== Deskripsi ==
Jadi

:<math>A\mathbf x = \mathbf b</math>

menjadi sistem kuadrat dari nilai dalam [[persamaan linier]] yaitu:

<math>A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>

Setelah itu nilai dapat diuraikan menjadi komponen diagonal , bagian segitiga bawah dan bagian segitiga atas :

:<math>A=D+L+U \qquad \text{darimana} \qquad D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \text{ and } L+U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>

== Algoritma Metode Iterasi Jacobi ==

INPUT:
: <math>n</math>, A, b, dan hampiran awal '''Y'''=(y1 y2 y3...yn)T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N

OUTPUT:
:'''X'''=(x1 x2 x3...xn)T, vektor galat hampiran <math>g</math>, dan <math>H</math> yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.

# Set penghitung iterasi k=1
# WHILE <math>k<=N</math> DO
## FOR <math>i = 1,2,3,...,n</math>, Hitung <math>x_i = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}y_j\right)</math>
## SET <math>X=(x_1 x_2 x_3...x_n)^T</math>
## IF ||X_Y||<T THEN STOP
## Tambah penghitung iterasi, <math>k=k+1</math>
## FOR <math>i=1,2,3,...,n</math>, Set ''yi=xi''
## SET Y=(y1 y2 y3...yn)T
# Tulis pesan "Metode gagal setelah N iterasi"
# STOP

'''Input:''' , (diagonal dominant) matrix <math>A</math>, right-hand side vector <math>b</math>, convergence criterion
'''Output:'''
'''Comments:'''

'''while''' convergence not reached '''do'''
'''for''' i := 1 '''step until''' n '''do'''

'''for''' j := 1 '''step until''' n '''do'''
'''if''' j ≠ i '''then'''

'''end'''
'''end'''
</math>}}
'''end'''

'''end'''

== Algoritma Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk ''software'' Matlab ==

Penggunaan [[Algoritma|algoritme]] Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk matlab. [[MATLAB|Matlab]] merupakan program pengolahan data numerik.

INPUT:
: <math>n</math>, A, b, dan hampiran awal '''Y'''=(y1 y2 y3...yn)T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N

OUTPUT:
:'''X'''=(x1 x2 x3...xn)T, vektor galat hampiran <math>g</math>, dan <math>H</math> yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.

: H=X0'
: n=length (b)
: X=X0
: for k:=1 until N
:: for i:=i until n,
::: S = b (i) - A (i,[1:i-1,i+1:n]) * X0 ([1:i-1,i+1:n])
::: X(i) = S / A (i,i)
:: end
:: g = abs (X-X0)
:: err = norm (g)
:: relerr = err / (norm (X)+eps)
:: X0 = X
:: H = [H;X0']
:: if (err<T)|(relerr<T), break, end
: end

== Kekonvergenan ==
MEtode ini akan bernilai konvergen jika matriksnya merupakan '''matriks dominan secara diagonal''', yaitu apabila unsur diagonal pada kolom tersebut lebih besar dari penjumlahan unsur-unsur lainnya pada kolom tersebut.

:<math>\left | a_{ii} \right | > \sum_{i \ne j} {\left | a_{ij} \right |}.</math>

== Contoh ==
Sistem linear dari bentuk <math>Ax=b</math> dengan perkiraan awal <math>x^{(0)}</math> diberikan oleh

:<math> A=
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
5 & 7 \\
\end{bmatrix},
\ b=
\begin{bmatrix}
11 \\
13 \\
\end{bmatrix}
\quad \text{dan} \quad x^{(0)} =
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix} .</math>
Kami menggunakan persamaan <math> x^{(k+1)}=D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)})</math>, dijelaskan di atas, untuk memperkirakan <math>x</math>. Pertama, kami menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih mudah <math>D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)}) = Tx^{(k)} + C</math>, dimana <math>T=-D^{-1}(L+U)</math> dan <math>C = D^{-1}b</math>. Dari nilai-nilai yang diketahui

:<math> D^{-1}=
\begin{bmatrix}
1/2 & 0 \\
0 & 1/7 \\
\end{bmatrix},
\ L=
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
5 & 0 \\
\end{bmatrix}
\quad \text{dan} \quad U =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix} .</math>
we determine <math> T=-D^{-1}(L+U) </math> as
:<math> T=
\begin{bmatrix}
1/2 & 0 \\
0 & 1/7 \\
\end{bmatrix}
\left\{
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
-5 & 0 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}\right\}
=
\begin{bmatrix}
0 & -1/2 \\
-5/7 & 0 \\
\end{bmatrix} .</math>
Further, <math>C</math> is found as

:<math> C =
\begin{bmatrix}
1/2 & 0 \\
0 & 1/7 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
11 \\
13 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
11/2 \\
13/7 \\
\end{bmatrix}. </math>
Dengan <math>T</math> dan <math>C</math> dihitung, kami perkirakan <math>x</math> sebagai <math> x^{(1)}= Tx^{(0)}+C </math>:
:<math> x^{(1)}=
\begin{bmatrix}
0 & -1/2 \\
-5/7 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
11/2 \\
13/7 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5.0 \\
8/7 \\
\end{bmatrix}
\approx
\begin{bmatrix}
5 \\
1.143 \\
\end{bmatrix} .</math>
Hasil iterasi berikutnya
:<math> x^{(2)}=
\begin{bmatrix}
0 & -1/2 \\
-5/7 & 0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
5.0 \\
8/7 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
11/2 \\
13/7 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
69/14 \\
-12/7 \\
\end{bmatrix}
\approx
\begin{bmatrix}
4.929 \\
-1.714 \\
\end{bmatrix} .</math>
Proses ini diulangi sampai konvergensi (yaitu, sampai <math>\|Ax^{(n)} - b\|</math> kecil). Solusi setelah 25 iterasi adalah
:<math> x=\begin{bmatrix}
7.111\\
-3.222
\end{bmatrix}
.</math>

=== Contoh lain ===

Contohnya kita diberi sistem linier berikut:

:<math>
\begin{align}
10x_1 - x_2 + 2x_3 & = 6, \\
-x_1 + 11x_2 - x_3 + 3x_4 & = 25, \\
2x_1- x_2+ 10x_3 - x_4 & = -11, \\
3x_2 - x_3 + 8x_4 & = 15.
\end{align}
</math>

Bila kita memilih sebagai pendekatan awal, maka solusi perkiraan pertama diberikan oleh

:<math>
\begin{align}
x_1 & = (6 + 0 - (2 * 0)) / 10 = 0.6, \\
x_2 & = (25 + 0 + 0 - (3 * 0)) / 11 = 25/11 = 2.2727, \\
x_3 & = (-11 - (2 * 0) + 0 + 0) / 10 = -1.1,\\
x_4 & = (15 - (3 * 0) + 0) / 8 = 1.875.
\end{align}
</math>

Dengan menggunakan perkiraan yang diperoleh, prosedur iteratif diulangi sampai akurasi yang diinginkan tercapai. Berikut ini adalah solusi yang diperkirakan setelah lima iterasi.

Solusi yang tepat dari sistem ini adalah .

=== Contoh menggunakan Python dan NumPy ===
Prosedur numerik berikut hanya melakukan iterasi untuk menghasilkan vektor solusi.

Menghasilkan keluaran:

<pre>
x: [3.99275362 2.95410628 2.16183575 0.96618357]
computed b: [29. 31. 26. 19.]
real b: [29 31 26 19]
</pre>

== Lihat pula ==

*[[Metode Gauss–Seidel]]
*[[Relaksasi berlebihan berturut-turut]]
*[[Metode berulang#Sistem linear|Metode berulang§Sistem linier]]
*[[Propagasi Keyakinan#Propagasi keyakinan Gaussian .28GaBP.29|Propagasi Keyakinan Gaussian]]
* [[Pemisahan matriks]]

== Referensi ==

: Sahid. 2005. ''Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB''. ANDI, Yogyakarta

== Pranala luar ==

*
* [http://www.math-linux.com/spip.php?article49 Jacobi Method from www.math-linux.com]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+Jacobi&oldid=28481376 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28481376 (2025-11-14T07:29:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.