Metode iteratif - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-23T14:00:23Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 23 Agustus 2026 14.00
Baris 3:		Baris 3:
	Implementasi spesifik dengan kriteria [[Algoritma#Penghentian\|penghentian]] untuk suatu metode iteratif, seperti [[penurunan gradien]], [[hill climbing (algoritma)\|hill climbing]], [[metode Newton]], atau [[Metode Quasi-Newton\|metode quasi-Newton]], seperti [[Algoritma Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno\|BFGS]], merupakan sebuah [[algoritma]] dari metode iteratif tersebut. Metode iteratif dikatakan '''konvergen''', jika barisan yang bersesuaian konvergen untuk hampiran awal yang diberikan. Analisis konvergensi matematis yang ketat dari metode iteratif biasanya dilakukan, tetapi metode iteratif berbasis [[heuristik]] juga umum dilakukan.		Implementasi spesifik dengan kriteria [[Algoritma#Penghentian\|penghentian]] untuk suatu metode iteratif, seperti [[penurunan gradien]], [[hill climbing (algoritma)\|hill climbing]], [[metode Newton]], atau [[Metode Quasi-Newton\|metode quasi-Newton]], seperti [[Algoritma Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno\|BFGS]], merupakan sebuah [[algoritma]] dari metode iteratif tersebut. Metode iteratif dikatakan '''konvergen''', jika barisan yang bersesuaian konvergen untuk hampiran awal yang diberikan. Analisis konvergensi matematis yang ketat dari metode iteratif biasanya dilakukan, tetapi metode iteratif berbasis [[heuristik]] juga umum dilakukan.

	Sebaliknya, '''metode langsung''' (''direct method'') berusaha untuk memecahkan masalah dengan serangkaian operasi yang terbatas. Tanpa adanya [[kesalahan pembulatan]], metode langsung akan menghasilkan solusi yang tepat, contohnya dalam menyelesaikan sistem persamaan linier <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> dengan [[eliminasi gauss]]. Metode iteratif sering kali merupakan satu-satunya pilihan untuk [[Sistem nonlinier\|persamaan non-linear]]. Namun, metode iteratif sering kali berguna untuk masalah linear yang melibatkan banyak variabel (terkadang hingga jutaan variabel), yang metode langsung akan sangat mahal (dan dalam sebagian kasus mustahil). Bahkan dengan menggunakan daya komputasi terbaik yang ada.		Sebaliknya, '''metode langsung''' (''direct method'') berusaha untuk memecahkan masalah dengan serangkaian operasi yang terbatas. Tanpa adanya [[kesalahan pembulatan]], metode langsung akan menghasilkan solusi yang tepat, contohnya dalam menyelesaikan sistem persamaan linier <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> dengan [[eliminasi gauss]]. Metode iteratif sering kali merupakan satu-satunya pilihan untuk [[Sistem nonlinier\|persamaan non-linear]]. Namun, metode iteratif sering kali berguna untuk masalah linear yang melibatkan banyak variabel (terkadang hingga jutaan variabel), yang metode langsung akan sangat mahal (dan dalam sebagian kasus mustahil). Bahkan dengan menggunakan daya komputasi terbaik yang ada.<ref>Amit Amritkar. ''Recycling Krylov subspaces for CFD applications and a new hybrid recycling solver''. ''Journal of Computational Physics''. 2015. Vol. 303. hlm. 222. doi:10.1016/j.jcp.2015.09.040.</ref>

	==Titik tetap atraktif==		==Titik tetap atraktif==
Baris 63:		Baris 63:
	* [[Metode Gauss–Seidel]]: <math> M:=D+L </math>		* [[Metode Gauss–Seidel]]: <math> M:=D+L </math>
	* [[Metode over-relaksasi]] (SOR): <math> M:=\frac{1}{\omega}D+L \quad (\omega \neq 0) </math>		* [[Metode over-relaksasi]] (SOR): <math> M:=\frac{1}{\omega}D+L \quad (\omega \neq 0) </math>
	* [[Metode symmetric successive overrelaxation]] (SSOR): <math> M := \frac{1}{\omega (2-\omega)} (D+\omega L) D^{-1} (D+\omega U)		* [[Metode symmetric successive overrelaxation]] (SSOR): <math> M := \frac{1}{\omega (2-\omega)} (D+\omega L) D^{-1} (D+\omega U)
	\quad (\omega \not		\quad (\omega \not
	\in \{0,2\}) </math>		\in \{0,2\}) </math>
	Metode iteratif linear stasioner juga disebut [[Relaksasi (metode iteratif)\|metode relaksasi]].		Metode iteratif linear stasioner juga disebut [[Relaksasi (metode iteratif)\|metode relaksasi]].

	===Metode subruang Krylov===		===Metode subruang Krylov===
	Metode subruang Krylov bekerja dengan membentuk sebuah [[basis (aljabar linear)\|basis]] dari barisan pangkat matriks yang berurutan dikalikan dengan residual awal ('''Barisan Krylov''').		Metode subruang Krylov bekerja dengan membentuk sebuah [[basis (aljabar linear)\|basis]] dari barisan pangkat matriks yang berurutan dikalikan dengan residual awal ('''Barisan Krylov''').
	Hampiran solusi kemudian dibentuk dengan menimalkan resiud atau subruang yang terbentuk. Metode prototipikal dalam kelas ini adalah [[Metode gradien konjugasi]] (CG) yang mengasumsikan bahwa matriks sistem <math> A </math> adalah [[Matriks simetris\|simetris]] [[Matriks pasti positif\|pasti-positif]].		Hampiran solusi kemudian dibentuk dengan menimalkan resiud atau subruang yang terbentuk. Metode prototipikal dalam kelas ini adalah [[Metode gradien konjugasi]] (CG) yang mengasumsikan bahwa matriks sistem <math> A </math> adalah [[Matriks simetris\|simetris]] [[Matriks pasti positif\|pasti-positif]].
	Untuk simetris (dan mungkin tidak terdefinisi) <math> A </math> mungkin bekerja [[metode residual minimal]] (MINRES).		Untuk simetris (dan mungkin tidak terdefinisi) <math> A </math> mungkin bekerja [[metode residual minimal]] (MINRES).
Baris 81:		Baris 81:

	=== Sejarah===		=== Sejarah===
	[[Jamshīd al-Kāshī]] menggunakan metode iteratif untuk menghitung sinus 1° dan dalam ''Risalah korda dan sinus'' dengan presisi tinggi.		[[Jamshīd al-Kāshī]] menggunakan metode iteratif untuk menghitung sinus 1° dan dalam ''Risalah korda dan sinus'' dengan presisi tinggi.
	Metode iteratif awal untuk menyelesaikan sistem linear muncul dalam surat [[Carl Friedrich Gauss\|Gauss]] kepada seorang muridnya. Ia mengusulkan untuk menyelesaikan sistem persamaan 4 x 4 dengan menyelesaikan secara berulang-ulang komponen yang memiliki sisa terbesar .		Metode iteratif awal untuk menyelesaikan sistem linear muncul dalam surat [[Carl Friedrich Gauss\|Gauss]] kepada seorang muridnya. Ia mengusulkan untuk menyelesaikan sistem persamaan 4 x 4 dengan menyelesaikan secara berulang-ulang komponen yang memiliki sisa terbesar .

Baris 87:		Baris 87:

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Ekspresi bentuk tertutup]]		* [[Ekspresi bentuk tertutup]]
	* [[Penyempurnaan iteratif]]		* [[Penyempurnaan iteratif]]
Baris 94:		Baris 93:
	* [[Analisis numerik]]		* [[Analisis numerik]]
	* [[Algoritma pencarian akar]]		* [[Algoritma pencarian akar]]

	~~==Referensi==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
Baris 102:		Baris 98:
	* [http://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html Y. Saad: ''Iterative Methods for Sparse Linear Systems'', 1st edition, PWS 1996]		* [http://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html Y. Saad: ''Iterative Methods for Sparse Linear Systems'', 1st edition, PWS 1996]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+iteratif&oldid=28911406 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28911406 (2026-01-30T18:04:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+iteratif&oldid=28911406 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28911406 (2026-01-30T18:04:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28911406; atribusi sumber disertakan.

2026-08-23T13:29:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28911406; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[Matematika komputasi]], '''metode iteratif''' ([[bahasa Inggris]]: ''iterative method'') adalah [[Algoritma|prosedur matematis]] yang menggunakan nilai awal untuk menghasilkan rangkaian perbaikan hampiran solusi untuk suatu kelas permasalahan, dengan hampiran ke-''n'' diturunkan dari hampiran sebelumnya.

Implementasi spesifik dengan kriteria [[Algoritma#Penghentian|penghentian]] untuk suatu metode iteratif, seperti [[penurunan gradien]], [[hill climbing (algoritma)|hill climbing]], [[metode Newton]], atau [[Metode Quasi-Newton|metode quasi-Newton]], seperti [[Algoritma Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno|BFGS]], merupakan sebuah [[algoritma]] dari metode iteratif tersebut. Metode iteratif dikatakan '''konvergen''', jika barisan yang bersesuaian konvergen untuk hampiran awal yang diberikan. Analisis konvergensi matematis yang ketat dari metode iteratif biasanya dilakukan, tetapi metode iteratif berbasis [[heuristik]] juga umum dilakukan.

Sebaliknya, '''metode langsung''' (''direct method'') berusaha untuk memecahkan masalah dengan serangkaian operasi yang terbatas. Tanpa adanya [[kesalahan pembulatan]], metode langsung akan menghasilkan solusi yang tepat, contohnya dalam menyelesaikan sistem persamaan linier <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> dengan [[eliminasi gauss]]. Metode iteratif sering kali merupakan satu-satunya pilihan untuk [[Sistem nonlinier|persamaan non-linear]]. Namun, metode iteratif sering kali berguna untuk masalah linear yang melibatkan banyak variabel (terkadang hingga jutaan variabel), yang metode langsung akan sangat mahal (dan dalam sebagian kasus mustahil). Bahkan dengan menggunakan daya komputasi terbaik yang ada.

==Titik tetap atraktif==
Jika suatu persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk ''f''(''x'') = ''x'' dan suatu solusi '''x''' adalah [[titik tetap (matematika)|titik tetap]] atraktif dari fungsi ''f'', maka dapat dimulai dengan titik ''x''1 di [[cekungan daya tarik]] dari '''x''', dan misalkan ''x''''n''+1 = ''f''(''x''''n'') untuk ''n'' ≥ 1, dan barisan {''x''''n''}''n'' ≥ 1 akan konvergen ke solusi '''x'''. Di sini ''x''''n'' adalah hampiran atau iterasi ke-''n'' dari ''x'', sementara ''x''''n''+1 adalah kelanjutan atau iterasi ke ''n'' + 1 dari ''x''. Sebagai alternatif, superskrip dalam tanda kurung kurawal sering kali digunakan dalam metode numerik agar tidak mengganggu subskrip dengan arti lain. (Misalnya, ''x''(''n''+1) = ''f''(''x''(''n'')).) IJika fungsi ''f'' is [[fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan secara kontinu]], syarat yang cukup untuk dapat konvergen adalah bahwa [[jari-jari spektral]] turunannya dibatasi secara ketat di dalam ketetanggaan titik tetap. Jika kondisi ini berlaku pada titik tetap, maka harus ada ketetanggaan yang cukup kecil (cekungan daya tarik; ''basin of attraction'').

==Sistem linier==
Dalam kasus [[sistem persamaan linear]], dua kelas utama dari metode iteratif adalah
'''metode iteratif stasioner''', dan metode [[Subruang Krylov]] yang lebih umum.

===Metode iteratif stasioner===
==== Pengenalan ====
Metode iteratif stasioner menyelesaikan sistem linear dengan menggunakan [[Operator (matematika)|operator]] yang mendekati yang asli; dan berdasarkan pengukuran kesalahan dalam hasil ([[Sisa(analisis numerik)|sisa]]), membentuk pengulangan "persamaan koreksi. Meskipun metode-metode ini sederhana untuk diturunkan, diimplementasikan, dan dianalisis, konvergensi hnya dijamin untuk kelas matriks yang terbatas.

====Definisi====
Sebuah ''metode iteratif'' didefinisikan oleh
:<math>
\mathbf{x}^{k+1} := \Psi ( \mathbf{x}^k ) \,, \quad k\geq0
</math>
dan untuk sistem linear tertentu <math> A\mathbf x= \mathbf b </math> dengan solusi pasti <math> \mathbf{x}^* </math>, dan kesalahan dari
:<math>
\mathbf{e}^k := \mathbf{x}^k - \mathbf{x}^* \,, \quad k\geq0\,.
</math>
Metode iteratif disebut ''linear'' jika terdapat suatu matriks <math> C \in \R^{n\times n} </math> sedemikian sehingga :<math>
\mathbf{e}^{k+1} = C \mathbf{e}^k \quad \forall \, k\geq0
</math>
dan matriks ini disebut ''matriks iterasi''.
Metode iteratif dengan matriks iterasi tertentu <math> C </math> disebut ''konvergen'' jika berlaku
:<math>
\lim_{k\rightarrow \infty} C^k=0\,.
</math>

Sebuah teorema penting menyatakan bahwa untuk suatu metode iteratif dan matriks iterasi <math> C </math>-nya konvergen; jika dan hanya jika [[jari-jari spektralnya]] <math> \rho(C) </math> lebih kecil dari kesatuan, yakni
:<math>
\rho(C) < 1 \,.
</math>

Metode iteratif dasar bekerja dengan [[Pemisahan matriks|pemisahan]] matriks <math> A </math> menjadi
:<math>
A = M - N
</math>
dan di sini, matriks <math> M </math> dapat dengan mudah [[Invers matriks|diinverskan]]. Metode iteratifnya sekarang didefinisikan sebagai
:<math>
M \mathbf{x}^{k+1} = N \mathbf{x}^k + b \,, \quad k\geq0\,.
</math>
Dari sini iterasi matriks diberikan oleh
:<math>
C = I - M^{-1}A = M^{-1}N\,.
</math>

====Contoh====
Contoh dasar dari metode iteratif stasioner menggunakan pemisahan matriks <math> A </math> sedemikian sehingga
:<math>
A = D+L+U\,,\quad D := \text{diag}( (a_{ii})_i)
</math>
dengan <math> D </math> hanya merupakan bagian diagonal dari of <math> A </math>, dan <math> L </math> adalah bagian [[Matriks segitiga|bagian segitiga]] bawah dari <math> A </math>, sementara <math> U </math> bagian segitiga atas dari <math> A </math>.
* [[Modified Richardson iteration|Metode Richhardson]]: <math> M:=\frac{1}{\omega} I \quad (\omega \neq 0) </math>
* [[Metode Jacobi]]: <math> M:=D </math>
* [[Metode Jacobi#Metode Jacobi berbobot|Metode Jacobi terbobot]]: <math> M:=\frac{1}{\omega}D \quad (\omega \neq 0) </math>
* [[Metode Gauss–Seidel]]: <math> M:=D+L </math>
* [[Metode over-relaksasi]] (SOR): <math> M:=\frac{1}{\omega}D+L \quad (\omega \neq 0) </math>
* [[Metode symmetric successive overrelaxation]] (SSOR): <math> M := \frac{1}{\omega (2-\omega)} (D+\omega L) D^{-1} (D+\omega U)
\quad (\omega \not
\in \{0,2\}) </math>
Metode iteratif linear stasioner juga disebut [[Relaksasi (metode iteratif)|metode relaksasi]].

===Metode subruang Krylov===
Metode subruang Krylov bekerja dengan membentuk sebuah [[basis (aljabar linear)|basis]] dari barisan pangkat matriks yang berurutan dikalikan dengan residual awal ('''Barisan Krylov''').
Hampiran solusi kemudian dibentuk dengan menimalkan resiud atau subruang yang terbentuk. Metode prototipikal dalam kelas ini adalah [[Metode gradien konjugasi]] (CG) yang mengasumsikan bahwa matriks sistem <math> A </math> adalah [[Matriks simetris|simetris]] [[Matriks pasti positif|pasti-positif]].
Untuk simetris (dan mungkin tidak terdefinisi) <math> A </math> mungkin bekerja [[metode residual minimal]] (MINRES).
Dalam kasus matriks non-simetris, metode seperti [[metode residu minimal tergeneralisasi]] (GMRES) dan [[metode gradien bikonjugasi]] (BiCG) sudah banyak digunakan.

====Konvergensi metode subruang Krylov====
Karena metode ini membentuk suatu basis, maka terbukti bahwa metode ini konvergen dalam ''N'' iterasi, dengan ''N'' adalah ukuran sistem. Namun, dengan adanya kesalahan pembulatan, pernyataan ini tidak berlaku. Selain itu, dalam praktiknya ''N'' bisa sangat besar, dan proses iterasi mencapai akurasi yang cukup jauh sebelumnya. Analisis terhadap metode ini sulit, tergantung pada fungsi yang kompleks dari [[spektrum operator|operator]].

=== Prekondisi ===
Operator hampiran yang muncul dalam metode iteratif stasioner juga dapat dimasukkan dalam metode subruang Krylov seperti [[GMRES]] (sebagai alternatif, [[prakondisi|prekondisi]] Metode Krylov dapat dianggap sebagai percepatan metode iteratif stasioner), yang mana metode ini menjadi transformasi dari operator asli ke operator yang mungkin lebih baik. Konstruksi prekondisi adalah area penelitian yang besar.

=== Sejarah===
[[Jamshīd al-Kāshī]] menggunakan metode iteratif untuk menghitung sinus 1° dan dalam ''Risalah korda dan sinus'' dengan presisi tinggi.
Metode iteratif awal untuk menyelesaikan sistem linear muncul dalam surat [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] kepada seorang muridnya. Ia mengusulkan untuk menyelesaikan sistem persamaan 4 x 4 dengan menyelesaikan secara berulang-ulang komponen yang memiliki sisa terbesar .

Teori metode iteratif stasioner telah terbentuk kokoh dengan penelitian [[D.M. Young]] yang dimulai pada tahun 1950-an. Metode gradien konjugasi juga ditemukan pada tahun 1950-an, dengan pengembangan independen oleh [[Cornelius Lanczos]], [[Magnus Hestenes]] dan [[Eduard Stiefel]], tetapi sifat dan penerapannya disalahartikan pada saat itu. Hanya pada tahun 1970-an barulah disadari bahwa metode berbasis konjugasi bekerja dengan sangat baik untuk [[persamaan diferensial parsial]], terutama tipe eliptik.

== Lihat juga ==

* [[Ekspresi bentuk tertutup]]
* [[Penyempurnaan iteratif]]
* [[Metode Kaczmarz]]
* [[Kuadrat terkecil non-linear]]
* [[Analisis numerik]]
* [[Algoritma pencarian akar]]

==Referensi==

== Pranala luar ==
*[http://www.netlib.org/linalg/html_templates/Templates.html Templat untuk Solusi Sistem Linear]
* [http://www-users.cs.umn.edu/~saad/books.html Y. Saad: ''Iterative Methods for Sparse Linear Systems'', 1st edition, PWS 1996]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Metode+iteratif&oldid=28911406 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28911406 (2026-01-30T18:04:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.