Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-23T14:00:53Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

@@ Baris 29: / Baris 29: @@
 === Perkalian suku banyak ===
 : <math>\begin{align}
    a(x) \bullet b(x) = c(x)
@@ Baris 135: / Baris 134: @@
 Operasi ini dapat disederhanakan dalam implementasinya dengan mengganti perkalian dengan dua dengan geseran tunggal dan XOR bersyarat serta mengganti perkalian dengan tiga dengan perkalian dengan dua yang digabung dengan XOR. Berikut contoh implementasi dalam bahasa [[C (bahasa pemrograman)|C]].
 == Vektor uji untuk MixColumns ==
+{| class=wikitable
 == Daftar pustaka ==
 * [http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.197.pdf FIPS PUB 197: Dokumen resmi AES]
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=MixColumns+Rijndael&oldid=26843382 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26843382 (2025-01-26T08:36:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26843382; atribusi sumber disertakan.

2026-08-23T13:30:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26843382; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Langkah dan langkah adalah sumber [[Pengacakan dan penghamburan|penghamburan]] utama dalam penyandian [[Standar Enkripsi Lanjutan|Rijndael]]. Tiap kolom dianggap sebagai suku banyak berderajat empat <math>b(x) = b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0</math> yang suku-sukunya berada dalam <math>\operatorname{GF}(2^8)</math>.

Tiap kolom dikali dengan suku banyak tetap <math>a(x) = 3x^3 + x^2 + x + 2</math> modulus <math>x^4 + 1</math>. Inversi suku banyaknya adalah <math>a^{-1}(x) = 11x^3 + 13x^2 + 9x + 14</math>.

== MixColumns ==
Operasi ini terdiri dari perkalian modulus dua suku banyak berderajat empat yang koefisiennya ada dalam <math>\operatorname{GF}\left(2^8\right)</math>. Pembagi yang dipakai dalam operasi ini adalah <math>x^4 + 1</math>.

Koefisien suku banyak pertama didefinisikan sebagai kolom status <math>\begin{bmatrix} b_3 & b_2 & b_1 & b_0 \end{bmatrix}</math> yang berisi empat bita. Tiap bita adalah koefisien dari suku banyak tersebut.

: <math>b(x) = b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0</math>

Suku banyak kedua adalah suku banyak tetap <math>a(x) = 3x^3 + x^2 + x + 2</math>. Koefisiennya juga ada dalam <math>\operatorname{GF}\left(2^8\right)</math>. Inversinya adalah <math>a^{-1}(x) = 11x^3 + 13x^2 + 9x + 14</math>.

Dalam halaman ini, kita definisikan beberapa notasi berikut:

: <math>\otimes</math> berarti perkalian modulus <math>x^4 + 1</math>.
: <math>\oplus</math> berarti pertambahan dalam <math>\operatorname{GF}\left(2^8\right)</math>.
: <math>\bullet</math> berarti perkalian dalam <math>\operatorname{GF}\left(2^8\right)</math>.

Pertambahan dalam <math>\operatorname{GF}\left(2^8\right)</math> memiliki sifat berikut:

: <math>\begin{align}
& \left(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\right) + \left(b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0\right) \\
={} & \left(a_3 \oplus b_3\right)x^3 + \left(a_2 \oplus b_2\right) x^2 + \left(a_1 \oplus b_1\right)x + \left(a_0 \oplus b_0\right)
\end{align}</math>

== Pembuktian bentuk matriks ==
Suku banyak <math>a(x) = 3x^3 + x^2 + x + 2</math> akan dinyatakan sebagai <math>a(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0</math>.

=== Perkalian suku banyak ===

: <math>\begin{align}
a(x) \bullet b(x) = c(x)
&= \left(a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0\right) \bullet \left(b_3 x^3 + b_2 x^2 + b_1 x + b_0\right) \\
&= c_6 x^6 + c_5 x^5 + c_4 x^4 + c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0
\end{align}</math>

dengan

: <math>\begin{align}
c_0 &= a_0 \bullet b_0 \\
c_1 &= a_1 \bullet b_0 \oplus a_0 \bullet b_1 \\
c_2 &= a_2 \bullet b_0 \oplus a_1 \bullet b_1 \oplus a_0 \bullet b_2 \\
c_3 &= a_3 \bullet b_0 \oplus a_2 \bullet b_1 \oplus a_1 \bullet b_2 \oplus a_0 \bullet b_3 \\
c_4 &= a_3 \bullet b_1 \oplus a_2 \bullet b_2 \oplus a_1 \bullet b_3 \\
c_5 &= a_3 \bullet b_2 \oplus a_2 \bullet b_3 \\
c_6 &= a_3 \bullet b_3
\end{align}</math>

=== Reduksi modulus ===
Hasil <math>c(x)</math> adalah suku banyak berderajat tujuh sehingga harus direduksi menjadi kata empat bita. Hal itu dilakukan dengan melakukan perkalian dengan modulus <math>x^4 + 1</math>.

Bila kita melakukan perkalian modulus suku banyak, kita bisa lihat bahwa

: <math>\begin{align}
x^6 \bmod \left(x^4 + 1\right) &= -x^2 = x^2 \text{ dalam } \operatorname{GF}\left(2^8\right) \\
x^5 \bmod \left(x^4 + 1\right) &= -x = x \text{ dalam } \operatorname{GF}\left(2^8\right) \\
x^4 \bmod \left(x^4 + 1\right) &= -1 = 1 \text{ dalam } \operatorname{GF}\left(2^8\right)
\end{align}</math>

Secara umum, kita bisa nyatakan bahwa <math>x^i \bmod \left(x^4 + 1\right) = x^{i \bmod 4}.</math>

Jadi,

: <math>\begin{align}
& a(x) \otimes b(x) = c(x) \bmod \left(x^4 + 1\right) \\
={} & \left(c_6 x^6 + c_5 x^5 + c_4 x^4 + c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0\right) \bmod \left(x^4 + 1\right) \\
={} & c_6 x^{6 \bmod 4} + c_5 x^{5 \bmod 4} + c_4 x^{4 \bmod 4} + c_3 x^{3 \bmod 4} + c_2 x^{2 \bmod 4} + c_1 x^{1 \bmod 4} + c_0 x^{0 \bmod 4} \\
={} & c_6 x^2 + c_5 x + c_4 + c_3 x^3 + c_2 x^2 + c_1 x + c_0 \\
={} & c_3 x^3 + \left(c_2 \oplus c_6\right) x^2 + \left(c_1 \oplus c_5\right) x + c_0 \oplus c_4 \\
={} & d_3 x^3 + d_2 x^2 + d_1 x + d_0
\end{align}</math>

dengan

: <math>\begin{align}
d_0 &= c_0 \oplus c_4 \\
d_1 &= c_1 \oplus c_5 \\
d_2 &= c_2 \oplus c_6 \\
d_3 &= c_3
\end{align}</math>

=== Bentuk matriks ===
Koefisien <math>d_3</math>, <math>d_2</math>, <math>d_1</math>, dan <math> d_0 </math> dapat dinyatakan sebagai berikut:

: <math>\begin{align}
d_0 &= a_0 \bullet b_0 \oplus a_3 \bullet b_1 \oplus a_2 \bullet b_2 \oplus a_1 \bullet b_3 \\
d_1 &= a_1 \bullet b_0 \oplus a_0 \bullet b_1 \oplus a_3 \bullet b_2 \oplus a_2 \bullet b_3 \\
d_2 &= a_2 \bullet b_0 \oplus a_1 \bullet b_1 \oplus a_0 \bullet b_2 \oplus a_3 \bullet b_3 \\
d_3 &= a_3 \bullet b_0 \oplus a_2 \bullet b_1 \oplus a_1 \bullet b_2 \oplus a_0 \bullet b_3
\end{align}</math>

Ketika kita ganti koefisien <math>a(x)</math> dengan tetapan <math>\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}</math> yang dipakai oleh penyandian ini, kita dapatkan hasil berikut:

: <math>\begin{align}
d_0 &= 2 \bullet b_0 \oplus 3 \bullet b_1 \oplus 1 \bullet b_2 \oplus 1 \bullet b_3 \\
d_1 &= 1 \bullet b_0 \oplus 2 \bullet b_1 \oplus 3 \bullet b_2 \oplus 1 \bullet b_3 \\
d_2 &= 1 \bullet b_0 \oplus 1 \bullet b_1 \oplus 2 \bullet b_2 \oplus 3 \bullet b_3 \\
d_3 &= 3 \bullet b_0 \oplus 1 \bullet b_1 \oplus 1 \bullet b_2 \oplus 2 \bullet b_3
\end{align}</math>

Hal ini menunjukkan bahwa operasi ini mirip dengan [[sandi Hill]]. Ia dapat digambarkan sebagai perkalian matriks berikut:

: <math>\begin{bmatrix} d_0 \\ d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}</math>

== InverseMixColumns ==
Operasi memiliki inversi berikut (bilangan dalam desimal).

: <math>\begin{bmatrix} b_0 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
14 & 11 & 13 & 9 \\
9 & 14 & 11 & 13 \\
13 & 9 & 14 & 11 \\
11 & 13 & 9 & 14
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} d_0 \\ d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{bmatrix}</math>

atau

: <math>\begin{align}
b_0 &= 14 \bullet d_0 \oplus 11 \bullet d_1 \oplus 13 \bullet d_2 \oplus 9 \bullet d_3 \\
b_1 &= 9 \bullet d_0 \oplus 14 \bullet d_1 \oplus 11 \bullet d_2 \oplus 13 \bullet d_3 \\
b_2 &= 13 \bullet d_0 \oplus 9 \bullet d_1 \oplus 14 \bullet d_2 \oplus 11 \bullet d_3 \\
b_3 &= 11 \bullet d_0 \oplus 13 \bullet d_1 \oplus 9 \bullet d_2 \oplus 14 \bullet d_3
\end{align}</math>

== Contoh implementasi ==
Operasi ini dapat disederhanakan dalam implementasinya dengan mengganti perkalian dengan dua dengan geseran tunggal dan XOR bersyarat serta mengganti perkalian dengan tiga dengan perkalian dengan dua yang digabung dengan XOR. Berikut contoh implementasi dalam bahasa [[C (bahasa pemrograman)|C]].

== Vektor uji untuk MixColumns ==

== Daftar pustaka ==
* [http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.197.pdf FIPS PUB 197: Dokumen resmi AES]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=MixColumns+Rijndael&oldid=26843382 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26843382 (2025-01-26T08:36:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

MixColumns Rijndael - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26843382; atribusi sumber disertakan.