Morfisme - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:58:46Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.58
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''morfisma''' (atau '''morfisme''') adalah konsep [[teori kategori]] yang melakukan generalisasi pada [[Peta (matematika)\|peta]] dengan struktur terpelihara, seperti [[homomorfisme]] antara [[struktur aljabar]], [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] dari satu himpunan ke himpunan lain, dan [[fungsi kontinu]] antara [[Ruang topologis\|ruang topologi]]. Meskipun banyak contoh morfisme ada pada peta dengan struktur terpelihara, morfisme tidak harus berupa peta, tetapi dapat disusun dalam cara yang mirip dengan [[komposisi fungsi]] .		Dalam [[matematika]], '''morfisma''' (atau '''morfisme'''<ref>[https://repositori.kemdikbud.go.id/2662/1/glosarium%20matematika%20tahun%202008%20%20%20%20%20281a.pdf Glosarium matematika]. Pusat Bahasa, Departemen Pendidikan Nasional. 2008. ISBN 978-979-685-756-2.</ref>) adalah konsep [[teori kategori]] yang melakukan generalisasi pada [[Peta (matematika)\|peta]] dengan struktur terpelihara, seperti [[homomorfisme]] antara [[struktur aljabar]], [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] dari satu himpunan ke himpunan lain, dan [[fungsi kontinu]] antara [[Ruang topologis\|ruang topologi]]. Meskipun banyak contoh morfisme ada pada peta dengan struktur terpelihara, morfisme tidak harus berupa peta, tetapi dapat disusun dalam cara yang mirip dengan [[komposisi fungsi]] .

	Morfisme dan [[Objek matematika\|objek]] adalah bagian dari suatu [[Kategori (matematika)\|kategori]]. Morfisme, juga disebut ''peta'' atau ''panah'', menghubungkan dua objek yang disebut ''sumber'' dan ''target'' morfisme. Terdapat suatu [[Operasi biner\|operasi parsial]] yang berlaku pada suatu kategori dengan target objek pertama yang sama dengan sumber objek kedua yang sama yang disebut sebagai ''komposisi''. Komposisi dari beberapa morfisme berperilaku seperti komposisi fungsi (komposisi bersifat [[Sifat asosiatif\|asosiatif]] saat didefinisikan, dan keberadaan morfisme identitas untuk setiap objek).		Morfisme dan [[Objek matematika\|objek]] adalah bagian dari suatu [[Kategori (matematika)\|kategori]]. Morfisme, juga disebut ''peta'' atau ''panah'', menghubungkan dua objek yang disebut ''sumber'' dan ''target'' morfisme. Terdapat suatu [[Operasi biner\|operasi parsial]] yang berlaku pada suatu kategori dengan target objek pertama yang sama dengan sumber objek kedua yang sama yang disebut sebagai ''komposisi''. Komposisi dari beberapa morfisme berperilaku seperti komposisi fungsi (komposisi bersifat [[Sifat asosiatif\|asosiatif]] saat didefinisikan, dan keberadaan morfisme identitas untuk setiap objek).
Baris 12:		Baris 12:
	Morfisme memiliki [[Operasi biner\|operasi biner parsial]], yang disebut . Komposisi dari dua morfisme ''f'' dan ''g'' didefinisikan secara tepat ketika target dari ''f'' adalah sumber dari ''g'', dan dilambangkan (atau terkadang hanya ''gf'' ). Sumber adalah sumber ''f'', dan target adalah target ''g'' . Komposisi tersebut memenuhi dua [[aksioma]]:		Morfisme memiliki [[Operasi biner\|operasi biner parsial]], yang disebut . Komposisi dari dua morfisme ''f'' dan ''g'' didefinisikan secara tepat ketika target dari ''f'' adalah sumber dari ''g'', dan dilambangkan (atau terkadang hanya ''gf'' ). Sumber adalah sumber ''f'', dan target adalah target ''g'' . Komposisi tersebut memenuhi dua [[aksioma]]:

	;		;
	: Untuk setiap object ''X'', terdapat suatu morfisme yang disebut '''''morfisme identitas''''' pada ''X'', sehingga untuk tiap morfisme memiliki .		: Untuk setiap object ''X'', terdapat suatu morfisme yang disebut '''''morfisme identitas''''' pada ''X'', sehingga untuk tiap morfisme memiliki .
	; [[Sifat asosiatif\|Asosiatif]]		; [[Sifat asosiatif\|Asosiatif]]
Baris 21:		Baris 21:
	Komposisi morfisme sering kali direpresentasikan dengan [[diagram komutatif]] . Misalnya,		Komposisi morfisme sering kali direpresentasikan dengan [[diagram komutatif]] . Misalnya,

	:		:

	Kumpulan semua morfisme dari ''X'' sampai ''Y'' dilambangkan dengan atau cukup dan disebut '''himpunan hom''' antara ''X'' dan ''Y'' . Beberapa penulis menuliskan , atau . Istilah hom-set tampaknya merupakan istilah yang keliru, karena kumpulan morfisme tidak harus berupa suatu himpunan; kategori di mana merupakan himpunan untuk semua objek ''X'' dan ''Y'' disebut [[Kategori (matematika)\|kecil lokal]] . Karena himpunan-hom mungkin bukan himpunan, sebagian orang lebih suka menggunakan istilah "kelas-hom"		Kumpulan semua morfisme dari ''X'' sampai ''Y'' dilambangkan dengan atau cukup dan disebut '''himpunan hom''' antara ''X'' dan ''Y'' . Beberapa penulis menuliskan , atau . Istilah hom-set tampaknya merupakan istilah yang keliru, karena kumpulan morfisme tidak harus berupa suatu himpunan; kategori di mana merupakan himpunan untuk semua objek ''X'' dan ''Y'' disebut [[Kategori (matematika)\|kecil lokal]] . Karena himpunan-hom mungkin bukan himpunan, sebagian orang lebih suka menggunakan istilah "kelas-hom"
Baris 28:		Baris 28:

	== Beberapa morfisme khusus ==		== Beberapa morfisme khusus ==

	=== Monomorfisme dan epimorfisme ===		=== Monomorfisme dan epimorfisme ===
	Suatu morfisme disebut [[monomorfisme]] jika menyiratkan untuk semua morfisme ''g'' <sub>1</sub>, . Monomorfisme dapat disebut ''mono'' secara singkat, dan kita dapat menggunakan ''monik'' sebagai kata sifat. Morfisme ''f'' mempunyai '''invers kiri''' atau merupakan '''monomorfisme split''' jika ada morfisme sehingga . Oleh karena itu bersifat [[idempoten]] ; artinya, . Invers kiri ''g'' juga disebut '''retraksi''' dari ''f'' .		Suatu morfisme disebut [[monomorfisme]] jika menyiratkan untuk semua morfisme ''g'' <sub>1</sub>, . Monomorfisme dapat disebut ''mono'' secara singkat, dan kita dapat menggunakan ''monik'' sebagai kata sifat.<ref>Nathan Jacobson. [https://archive.org/details/basicalgebra0000jaco Basic Algebra II: Second Edition]. Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47187-7.</ref> Morfisme ''f'' mempunyai '''invers kiri''' atau merupakan '''monomorfisme split''' jika ada morfisme sehingga . Oleh karena itu bersifat [[idempoten]] ; artinya, . Invers kiri ''g'' juga disebut '''retraksi''' dari ''f'' .<ref>Nathan Jacobson. [https://archive.org/details/basicalgebra0000jaco Basic Algebra II: Second Edition]. Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47187-7.</ref>

	Morfisme dengan invers kiri selalu merupakan monomorfisme, tetapi [[Konvers (logika)\|kebalikannya]] tidak berlaku secara umum; sebuah monomorfisme mungkin gagal memiliki invers kiri. Dalam [[kategori konkret]], fungsi yang mempunyai invers kiri bersifat [[Fungsi injektif\|injektif]] . Jadi dalam kategori konkret, monomorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat injektif. Kondisi menjadi sebuah injeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme terbagi.		Morfisme dengan invers kiri selalu merupakan monomorfisme, tetapi [[Konvers (logika)\|kebalikannya]] tidak berlaku secara umum; sebuah monomorfisme mungkin gagal memiliki invers kiri. Dalam [[kategori konkret]], fungsi yang mempunyai invers kiri bersifat [[Fungsi injektif\|injektif]] . Jadi dalam kategori konkret, monomorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat injektif. Kondisi menjadi sebuah injeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme terbagi.

	Sesuai dengan monomorfisme, morfisme disebut [[Epimorfisma\|epimorfisme]] jika menyiratkan untuk semua morfisme ''g'' <sub>1</sub>, . Epimorfisme dapat disebut ''epi'' secara singkat, dan kita dapat menggunakan ''epik'' sebagai kata sifat. Morfisme ''f'' mempunyai '''invers kanan''' atau merupakan '''epimorfisme split''' jika ada morfisme sehingga . Invers siku-siku ''g'' juga disebut sebagai '''bagian''' dari ''f'' . Morfisme yang mempunyai invers siku-siku selalu merupakan epimorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku secara umum, karena epimorfisme bisa saja tidak mempunyai invers siku-siku.		Sesuai dengan monomorfisme, morfisme disebut [[Epimorfisma\|epimorfisme]] jika menyiratkan untuk semua morfisme ''g'' <sub>1</sub>, . Epimorfisme dapat disebut ''epi'' secara singkat, dan kita dapat menggunakan ''epik'' sebagai kata sifat.<ref>Nathan Jacobson. [https://archive.org/details/basicalgebra0000jaco Basic Algebra II: Second Edition]. Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47187-7.</ref> Morfisme ''f'' mempunyai '''invers kanan''' atau merupakan '''epimorfisme split''' jika ada morfisme sehingga . Invers siku-siku ''g'' juga disebut sebagai '''bagian''' dari ''f'' .<ref>Nathan Jacobson. [https://archive.org/details/basicalgebra0000jaco Basic Algebra II: Second Edition]. Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47187-7.</ref> Morfisme yang mempunyai invers siku-siku selalu merupakan epimorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku secara umum, karena epimorfisme bisa saja tidak mempunyai invers siku-siku.

	Jika suatu monomorfisme ''f'' terbagi dengan invers kiri ''g'', maka ''g'' adalah epimorfisme terbagi dengan invers kanan ''f'' . Dalam [[kategori konkret]], suatu fungsi yang memiliki invers kanan adalah [[Fungsi surjektif\|surjektif]] . Jadi dalam kategori konkret, epimorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat surjektif. Kondisi menjadi surjeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi epimorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi epimorfisme terbagi. Dalam [[kategori himpunan]], pernyataan bahwa setiap surjeksi mempunyai bagian setara dengan [[Aksioma pemilihan\|aksioma pilihan]] .		Jika suatu monomorfisme ''f'' terbagi dengan invers kiri ''g'', maka ''g'' adalah epimorfisme terbagi dengan invers kanan ''f'' . Dalam [[kategori konkret]], suatu fungsi yang memiliki invers kanan adalah [[Fungsi surjektif\|surjektif]] . Jadi dalam kategori konkret, epimorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat surjektif. Kondisi menjadi surjeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi epimorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi epimorfisme terbagi. Dalam [[kategori himpunan]], pernyataan bahwa setiap surjeksi mempunyai bagian setara dengan [[Aksioma pemilihan\|aksioma pilihan]] .
Baris 51:		Baris 50:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* Untuk [[struktur aljabar]] yang umum dibahas dalam [[aljabar]], seperti [[Grup (matematika)\|grup]], [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]], [[Modul (matematika)\|modul]], dan sebagainya, morfisme yang digunakan biasanya adalah [[homomorfisme]], sedangkan pengertian isomorfisme, automorfisme, endomorfisme, epimorfisme, dan monomorfisme adalah sama dengan yang telah didefinisikan di atas. Namun, dalam kasus ring, "epimorfisme" sering dianggap sebagai sinonim dari " [[Fungsi surjektif\|surjeksi]] ", walaupun ada epimorfisme ring yang tidak surjektif (misalnya, ketika menanamkan [[bilangan bulat]] dalam [[bilangan rasional]] ).		* Untuk [[struktur aljabar]] yang umum dibahas dalam [[aljabar]], seperti [[Grup (matematika)\|grup]], [[Gelanggang (matematika)\|gelanggang]], [[Modul (matematika)\|modul]], dan sebagainya, morfisme yang digunakan biasanya adalah [[homomorfisme]], sedangkan pengertian isomorfisme, automorfisme, endomorfisme, epimorfisme, dan monomorfisme adalah sama dengan yang telah didefinisikan di atas. Namun, dalam kasus ring, "epimorfisme" sering dianggap sebagai sinonim dari " [[Fungsi surjektif\|surjeksi]] ", walaupun ada epimorfisme ring yang tidak surjektif (misalnya, ketika menanamkan [[bilangan bulat]] dalam [[bilangan rasional]] ).
	* Dalam [[kategori ruang topologi]], morfisme adalah [[fungsi kontinu]] dan isomorfisme disebut [[homeomorfisme]] . Ada [[bijeksi]] (yaitu isomorfisme himpunan) yang bukan homeomorfisme.		* Dalam [[kategori ruang topologi]], morfisme adalah [[fungsi kontinu]] dan isomorfisme disebut [[homeomorfisme]] . Ada [[bijeksi]] (yaitu isomorfisme himpunan) yang bukan homeomorfisme.
Baris 59:		Baris 57:

	Untuk contoh lebih lanjut, lihat [[Teori kategori]] .		Untuk contoh lebih lanjut, lihat [[Teori kategori]] .

	~~== Referensi ==~~


	==Bibliografi==		==Bibliografi==

	* .		* .
	* Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).		* Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Morfisme&oldid=29458328 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29458328 (2026-07-14T15:20:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Morfisme&oldid=29458328 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29458328 (2026-07-14T15:20:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29458328; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:23:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29458328; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''morfisma''' (atau '''morfisme''') adalah konsep [[teori kategori]] yang melakukan generalisasi pada [[Peta (matematika)|peta]] dengan struktur terpelihara, seperti [[homomorfisme]] antara [[struktur aljabar]], [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari satu himpunan ke himpunan lain, dan [[fungsi kontinu]] antara [[Ruang topologis|ruang topologi]]. Meskipun banyak contoh morfisme ada pada peta dengan struktur terpelihara, morfisme tidak harus berupa peta, tetapi dapat disusun dalam cara yang mirip dengan [[komposisi fungsi]] .

Morfisme dan [[Objek matematika|objek]] adalah bagian dari suatu [[Kategori (matematika)|kategori]]. Morfisme, juga disebut ''peta'' atau ''panah'', menghubungkan dua objek yang disebut ''sumber'' dan ''target'' morfisme. Terdapat suatu [[Operasi biner|operasi parsial]] yang berlaku pada suatu kategori dengan target objek pertama yang sama dengan sumber objek kedua yang sama yang disebut sebagai ''komposisi''. Komposisi dari beberapa morfisme berperilaku seperti komposisi fungsi (komposisi bersifat [[Sifat asosiatif|asosiatif]] saat didefinisikan, dan keberadaan morfisme identitas untuk setiap objek).

Morfisme dan kategori sering muncul dalam banyak kajian matematika kontemporer. Awalnya, keduanya diperkenalkan untuk kajian [[Aljabar homologis|aljabar homologi]] dan [[topologi aljabar]]. Morfisme dan kategori termasuk dalam teknik dasar teori skema [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]], suatu proses generalisasi [[geometri aljabar]] yang berlaku juga pada [[teori bilangan aljabar]] .

== Definisi ==
[[Kategori (matematika)|Kategori]] ''C'' terdiri atas dua [[Kelas (teori himpunan)|kelas]], satu kelas dan satu lagi kelas . Terdapat dua objek yang dihubungkan dengan tiap morfisme, dan . Suatu ''Morfisme'' ''f'' ''dari'' ''X'' ''ke'' ''Y'' apabila morfisme dengan sumber ''X'' memiliki target ''Y'' ; pada umumnya dinotasikan sebagai atau , notasi terakhir lebih cocok digunakan dalam [[diagram komutatif]] .

Dalam kategori umumnya, objek-objek adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] (sering kali memiliki beberapa struktur tambahan) dan morfisme adalah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dari satu objek ke objek lainnya. Oleh karena itu, sumber dan target suatu morfisme sering disebut ''domain'' dan ''kodomain''.

Morfisme memiliki [[Operasi biner|operasi biner parsial]], yang disebut . Komposisi dari dua morfisme ''f'' dan ''g'' didefinisikan secara tepat ketika target dari ''f'' adalah sumber dari ''g'', dan dilambangkan (atau terkadang hanya ''gf'' ). Sumber adalah sumber ''f'', dan target adalah target ''g'' . Komposisi tersebut memenuhi dua [[aksioma]]:

;
: Untuk setiap object ''X'', terdapat suatu morfisme yang disebut '''''morfisme identitas''''' pada ''X'', sehingga untuk tiap morfisme memiliki .
; [[Sifat asosiatif|Asosiatif]]
: berlaku saat seluruh komposisi didefinisikan, i.e. ketika target ''f'' merupakan sumber dari ''g'', dan target dari ''g'' merupakan sumber dari ''h''.

Untuk kategori konkret (kategori yang objeknya merupakan himpunan, mungkin dengan struktur tambahan, dan morfismenya merupakan fungsi dengan struktur terpelihara), morfisme identitas hanyalah [[fungsi identitas]], dan komposisi hanyalah [[komposisi fungsi]] biasa.

Komposisi morfisme sering kali direpresentasikan dengan [[diagram komutatif]] . Misalnya,

:

Kumpulan semua morfisme dari ''X'' sampai ''Y'' dilambangkan dengan atau cukup dan disebut '''himpunan hom''' antara ''X'' dan ''Y'' . Beberapa penulis menuliskan , atau . Istilah hom-set tampaknya merupakan istilah yang keliru, karena kumpulan morfisme tidak harus berupa suatu himpunan; kategori di mana merupakan himpunan untuk semua objek ''X'' dan ''Y'' disebut [[Kategori (matematika)|kecil lokal]] . Karena himpunan-hom mungkin bukan himpunan, sebagian orang lebih suka menggunakan istilah "kelas-hom"

Domain dan kodomain sebenarnya merupakan bagian dari informasi yang menentukan suatu morfisme. Misalnya, dalam [[kategori himpunan]], di mana morfisme adalah fungsi, dua fungsi mungkin identik sebagai himpunan pasangan terurut (mungkin memiliki rentang yang sama), sementara memiliki kodomain yang berbeda. Kedua fungsi tersebut berbeda dari sudut pandang teori kategori. Oleh karena itu, banyak penulis yang mensyaratkan agar kelas-hom harus [[Himpunan saling lepas|terpisah]] . Dalam praktiknya, hal ini bukan masalah karena jika ketidakterhubungan ini tidak berlaku, hal itu dapat dipastikan dengan menambahkan domain dan kodomain ke morfisme (misalnya, sebagai komponen kedua dan ketiga dari tripel terurut).

== Beberapa morfisme khusus ==

=== Monomorfisme dan epimorfisme ===
Suatu morfisme disebut [[monomorfisme]] jika menyiratkan untuk semua morfisme ''g'' <sub>1</sub>, . Monomorfisme dapat disebut ''mono'' secara singkat, dan kita dapat menggunakan ''monik'' sebagai kata sifat. Morfisme ''f'' mempunyai '''invers kiri''' atau merupakan '''monomorfisme split''' jika ada morfisme sehingga . Oleh karena itu bersifat [[idempoten]] ; artinya, . Invers kiri ''g'' juga disebut '''retraksi''' dari ''f'' .

Morfisme dengan invers kiri selalu merupakan monomorfisme, tetapi [[Konvers (logika)|kebalikannya]] tidak berlaku secara umum; sebuah monomorfisme mungkin gagal memiliki invers kiri. Dalam [[kategori konkret]], fungsi yang mempunyai invers kiri bersifat [[Fungsi injektif|injektif]] . Jadi dalam kategori konkret, monomorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat injektif. Kondisi menjadi sebuah injeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi sebuah monomorfisme terbagi.

Sesuai dengan monomorfisme, morfisme disebut [[Epimorfisma|epimorfisme]] jika menyiratkan untuk semua morfisme ''g'' <sub>1</sub>, . Epimorfisme dapat disebut ''epi'' secara singkat, dan kita dapat menggunakan ''epik'' sebagai kata sifat. Morfisme ''f'' mempunyai '''invers kanan''' atau merupakan '''epimorfisme split''' jika ada morfisme sehingga . Invers siku-siku ''g'' juga disebut sebagai '''bagian''' dari ''f'' . Morfisme yang mempunyai invers siku-siku selalu merupakan epimorfisme, tetapi kebalikannya tidak berlaku secara umum, karena epimorfisme bisa saja tidak mempunyai invers siku-siku.

Jika suatu monomorfisme ''f'' terbagi dengan invers kiri ''g'', maka ''g'' adalah epimorfisme terbagi dengan invers kanan ''f'' . Dalam [[kategori konkret]], suatu fungsi yang memiliki invers kanan adalah [[Fungsi surjektif|surjektif]] . Jadi dalam kategori konkret, epimorfisme sering kali, tetapi tidak selalu, bersifat surjektif. Kondisi menjadi surjeksi lebih kuat daripada kondisi menjadi epimorfisme, tetapi lebih lemah daripada kondisi menjadi epimorfisme terbagi. Dalam [[kategori himpunan]], pernyataan bahwa setiap surjeksi mempunyai bagian setara dengan [[Aksioma pemilihan|aksioma pilihan]] .

Morfisme yang merupakan epimorfisme dan monomorfisme disebut '''bimorfisme''' .

=== Isomorfisme ===
Sebuah morfisme disebut [[isomorfisme]] jika terdapat morfisme sehingga dan . Jika suatu morfisme memiliki invers kiri dan invers kanan, maka kedua invers tersebut sama, sehingga ''f'' merupakan isomorfisme, dan ''g'' disebut sebagai '''invers''' dari ''f'' . Morfisme invers, jika ada, bersifat unik. Invers ''g'' juga merupakan isomorfisme, dengan invers ''f'' . Dua objek yang memiliki isomorfisme di antara keduanya disebut [[Isomorfisme|isomorfik]] atau ekuivalen.

Walaupun setiap isomorfisme merupakan bimorfisme, namun bimorfisme belum tentu merupakan isomorfisme. Misalnya, dalam kategori [[Gelanggang komutatif|ring komutatif]] inklusi merupakan suatu bimorfisme yang bukan merupakan suatu isomorfisme. Akan tetapi, morfisme apa pun yang merupakan epimorfisme dan monomorfisme ''terbagi'', atau keduanya monomorfisme dan epimorfisme ''terbagi'', pastilah suatu isomorfisme. Suatu kategori, seperti suatu '''Himpunan''', di mana setiap bimorfisme merupakan suatu isomorfisme dikenal sebagai '''kategori seimbang''' .

=== Endomorfisme dan automorfisme ===
Sebuah morfisme (yaitu, morfisme dengan sumber dan target yang identik) adalah endomorfisme dari ''X.'' '''Endomorfisme split''' adalah endomorfisme idempoten ''f'' jika ''f'' menerima dekomposisi dengan . Secara khusus, amplop Karoubi dari suatu kategori membagi setiap morfisme idempoten.

Automorfisme adalah morfisme yang merupakan endomorfisme dan isomorfisme. Dalam setiap kategori, automorfisme suatu objek selalu membentuk suatu [[Grup (matematika)|grup]], yang disebut [[grup automorfisme]] objek tersebut.

== Contoh ==

* Untuk [[struktur aljabar]] yang umum dibahas dalam [[aljabar]], seperti [[Grup (matematika)|grup]], [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]], [[Modul (matematika)|modul]], dan sebagainya, morfisme yang digunakan biasanya adalah [[homomorfisme]], sedangkan pengertian isomorfisme, automorfisme, endomorfisme, epimorfisme, dan monomorfisme adalah sama dengan yang telah didefinisikan di atas. Namun, dalam kasus ring, "epimorfisme" sering dianggap sebagai sinonim dari " [[Fungsi surjektif|surjeksi]] ", walaupun ada epimorfisme ring yang tidak surjektif (misalnya, ketika menanamkan [[bilangan bulat]] dalam [[bilangan rasional]] ).
* Dalam [[kategori ruang topologi]], morfisme adalah [[fungsi kontinu]] dan isomorfisme disebut [[homeomorfisme]] . Ada [[bijeksi]] (yaitu isomorfisme himpunan) yang bukan homeomorfisme.
* Dalam kategori [[lipatan terdiferensialkan]], morfismenya adalah fungsi halus dan isomorfismenya disebut difeomorfisme .
* Dalam kategori [[Kategori (matematika)|kategori kecil]], morfismenya adalah [[Fungtor|funktor]] .
* Dalam kategori funktor, morfisme merupakan transformasi alami .

Untuk contoh lebih lanjut, lihat [[Teori kategori]] .

== Referensi ==

==Bibliografi==

* .
* Now available as free on-line edition (4.2MB PDF).

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Morfisme&oldid=29458328 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29458328 (2026-07-14T15:20:27Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.