Nilai harapan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:10:28Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.10
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Standard_deviation_diagram_micro.svg\|thumb\|right\|280px\|Standard deviation diagram micro]]

	Dalam [[teori peluang]], '''nilai harapan''' (juga disebut dengan '''ekspektasi''', '''nilai ekspektasi''', '''mean''', '''rata-rata''', '''purata''', atau '''momen pertama''') adalah perumuman dari [[purata berbobot]]. Secara informal, nilai harapan adalah [[purata aritmetika]] dari banyak hasil pada sebuah [[variabel acak]] yang dipilih secara [[Independen (teori peluang)\|independen]].		Dalam [[teori peluang]], '''nilai harapan''' (juga disebut dengan '''ekspektasi''', '''nilai ekspektasi''', '''mean''', '''rata-rata''', '''purata''', atau '''momen pertama''') adalah perumuman dari [[purata berbobot]]. Secara informal, nilai harapan adalah [[purata aritmetika]] dari banyak hasil pada sebuah [[variabel acak]] yang dipilih secara [[Independen (teori peluang)\|independen]].

	Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakan [[integral]]. Dalam landasan [[aksioma]]tik untuk peluang yang diberikan oleh [[Teori ukuran (matematika)\|teori ukuran]], nilai harapan didefinisikan dengan [[integral Lebesgue]].		Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakan [[integral]]. Dalam landasan [[aksioma]]tik untuk peluang yang diberikan oleh [[Teori ukuran (matematika)\|teori ukuran]], nilai harapan didefinisikan dengan [[integral Lebesgue]].

	Nilai harapan dari sebuah variabel acak umum dinyatakan sebagai <math>\mathbb{E}[X], \mathbb{E}(X), \text{atau } \mathbb{E}X</math> dengan <math>\mathbb{E}</math> terkadang juga ditulis dalam gaya huruf <math>\mathrm{E}</math> atau <math>E</math>.		Nilai harapan dari sebuah variabel acak umum dinyatakan sebagai <math>\mathbb{E}[X], \mathbb{E}(X), \text{atau } \mathbb{E}X</math> dengan <math>\mathbb{E}</math> terkadang juga ditulis dalam gaya huruf <math>\mathrm{E}</math> atau <math>E</math>.<ref>[https://www.probabilitycourse.com/chapter3/3_2_2_expectation.php Expectation Mean Average]. ''www.probabilitycourse.com''.</ref><ref>Bruce Hansen. [https://ssc.wisc.edu/~bhansen/probability/Probability.pdf Probability and Statistics for Economists].</ref><ref>Larry Wasserman. ''All of Statistics: a concise course in statistical inference''. Springer texts in statistics. December 2010. hlm. 47. ISBN 9781441923226.</ref>

	== Notasi ==		== Notasi ==
	Penggunaan huruf untuk menyatakan nilai harapan (''expected value'') dapat dilacak ke [[William Allen Whitworth\|W. A. Whitworth]] pada tahun 1901. Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman, merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.		Penggunaan huruf untuk menyatakan nilai harapan (''expected value'') dapat dilacak ke [[William Allen Whitworth\|W. A. Whitworth]] pada tahun 1901.<ref>Whitworth, W.A. (1901) ''Choice and Chance with One Thousand Exercises''. Fifth edition. Deighton Bell, Cambridge. [Reprinted by Hafner Publishing Co., New York, 1959.]</ref> Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman, merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.<ref>[http://jeff560.tripod.com/stat.html Earliest uses of symbols in probability and statistics].</ref>

	Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf: (tegak), (miring), or <math>\mathbb{E}</math> (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: <math>\mathbb{E}[X], \mathbb{E}(X), \text{dan } \mathbb{E}X</math>).		Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf: (tegak), (miring), or <math>\mathbb{E}</math> (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: <math>\mathbb{E}[X], \mathbb{E}(X), \text{dan } \mathbb{E}X</math>).
Baris 32:		Baris 34:

	Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut [[Kekonvergenan absolut\|konvergen absolut]], yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan. Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan ''tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.''		Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut [[Kekonvergenan absolut\|konvergen absolut]], yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan. Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan ''tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.''

	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
			*
	*		*
	*
	*		*
	*		*
Baris 45:		Baris 43:
	*		*
	*		*
			*
	*		*
	*


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Nilai+harapan&oldid=24585094 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24585094 (2023-10-19T04:23:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Nilai+harapan&oldid=24585094 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24585094 (2023~~-10-~~19T04:23:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 24585094; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:51:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 24585094; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori peluang]], '''nilai harapan''' (juga disebut dengan '''ekspektasi''', '''nilai ekspektasi''', '''mean''', '''rata-rata''', '''purata''', atau '''momen pertama''') adalah perumuman dari [[purata berbobot]]. Secara informal, nilai harapan adalah [[purata aritmetika]] dari banyak hasil pada sebuah [[variabel acak]] yang dipilih secara [[Independen (teori peluang)|independen]].

Nilai harapan dari sebuah variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil, adalah purata berbobot dari semua hasil tersebut. Pada kasus ada tak hingga banyaknya hasil yang mungkin, nilai harapan didefinisikan dengan menggunakan [[integral]]. Dalam landasan [[aksioma]]tik untuk peluang yang diberikan oleh [[Teori ukuran (matematika)|teori ukuran]], nilai harapan didefinisikan dengan [[integral Lebesgue]].

Nilai harapan dari sebuah variabel acak umum dinyatakan sebagai <math>\mathbb{E}[X], \mathbb{E}(X), \text{atau } \mathbb{E}X</math> dengan <math>\mathbb{E}</math> terkadang juga ditulis dalam gaya huruf <math>\mathrm{E}</math> atau <math>E</math>.

== Notasi ==
Penggunaan huruf untuk menyatakan nilai harapan (''expected value'') dapat dilacak ke [[William Allen Whitworth|W. A. Whitworth]] pada tahun 1901. Simbol ini kemudian menjadi populer bagi penulis-penulis berbahasa Inggris. Di bahasa Jerman, merujuk pada "Erwartungswert", "Esperanza matemática" dalam bahasa Spanyol, dan "Espérance mathématique" untuk bahasa Prancis.

Ketika "E" digunakan untuk menyatakan nilai harapan, para penulis banyak menggunakan variasi gaya huruf: (tegak), (miring), or <math>\mathbb{E}</math> (tebal papan-tulis). Selain itu juga terdapat variasi tanda kurung yang digunakan: <math>\mathbb{E}[X], \mathbb{E}(X), \text{dan } \mathbb{E}X</math>).

Notasi lain yang populer adalah , sedangkan , , dan <math>\overline{X}</math> banyak dijumpai dalam [[fisika]], dan dalam tulisan-tulisan berbahasa Rusia.

== Definisi ==
Terdapat beberapa konteks dan cara untuk mendefinisikan nilai harapan. Cara termudah dan definisi asli dari nilai harapan adalah menghitung terhingga banyaknya hasil percobaan yang mungkin (seperti hasil lemparan sebuah koin). Dengan menggunakan teori barisan tak hingga, definisi itu dapat diperumum untuk kasus tak terhingga (tapi terhitung) banyaknya hasil percobaan. Nilai harapan juga didefinisikan untuk variabel-variabel acak yang diatur oleh [[fungsi kepadatan peluang]] kontinu-(sepenggal), karena jenis variabel acak tersebut banyak ditemukan secara alami. Definisi-definisi tersebut dapat dianggap sebagai kasus khusus dari definisi umum yang didasarkan pada alat-alat dalam [[Teori ukuran (matematika)|teori ukuran]] dan [[integral Lebesgue]].

Setiap definisi dari nilai harapan dapat diperluas untuk mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak multidimensi, seperti sebuah [[vektor acak]] . Pendefinisian nilai harapan pada variabel acak jenis tersebut dilakukan komponen-demi-komponen, yakni . Serupa dengan itu, nilai harapan dari [[matriks acak]] dengan elemen-elemen didefinisikan sebagai .

=== Variabel acak dengan terhingga banyaknya hasil ===
Misalkan adalah variabel acak dengan ''terhingga'' banyaknya hasil yang mungkin , masing-masing memiliki peluang untuk terjadi. Nilai harapan dari didefinisikan sebagai

: <math>\mathbb{E}[X] =x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k.</math>

Karena total semua peluang , wajar untuk menganggap sebagai [[purata berbobot]] dari nilai-nilai , dengan bobot-bobot berupa nilai peluang . Pada kasus khusus ketika semua hasil memiliki peluang yang sama untuk terjadi (yakni, ), purata berbobot akan sama dengan [[rata-rata]] yang standar. Secara umum, nilai harapan memperhatikan fakta bahwa beberapa hasil lebih mungkin terjadi ketimbang yang lain.

=== Variabel acak dengan terhitung banyaknya hasil ===
Secara informal, nilai harapan dari variabel acak dengan [[Himpunan terhitung|terhitung]] banyaknya hasil yang mungkin, didefinisikan secara serupa sebagai purata berbobot dari dari semua hasil yang mungkin, dengan bobot-bobot didapatkan dari peluang merealisasikan setiap hasil. Menyatakan ini secara matematis,

: <math> \mathbb{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,</math>

dengan adalah hasil-hasil yang mungkin dari variabel acak dan masing-masing adalalah peluang mereka. Terdapat beberapa asumsi dengan penjumlahan tak hingga, menjadikan rumus di atas tidak cocok sebagai definisi matematika. Secara khusus, [[teorema barisan Riemann]] dalam [[Analisis matematis|analisis matematika]] menunjukkan bahwa hasil penjumlahan tak hingga yang melibatkan suku positif dan suku negatif dapat berubah bergantung pada urutan penjumlahan yang dilakukan. Hal ini menyulitkan mendefinisikan nilai harapan dari variabel acak jenis ini karena hasil dari variabel acak tidak memiliki urutan yang alami (karena acak).

Untuk alasan tersebut, banyak buku matematika hanya memperhatikan kasus ketika penjumlahan tak hingga tersebut [[Kekonvergenan absolut|konvergen absolut]], yang mengartikan hasil penjumlahan tidak bergnatung pada urutan penjumlahan. Pada kasus penjumlahan tak hingga tidak konvergen secara absolut, variabel tersebut dikatakan ''tidak memiliki nilai harapan yang terhingga.''

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Nilai+harapan&oldid=24585094 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24585094 (2023-10-19T04:23:59Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.