Norma (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:08:09Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 18.08
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], '''norma''' adalah [[fungsi (matematika) \| fungsi]] dari bilangan riil atau kompleks [[ruang vektor]] ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari [[Asal (matematika) \| asal]]; [[Peta Equivariant \| peta]] dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari [[segitiga pertidaksamaan]], dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, [[jarak Euclidean]] vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut [[#norma Euklides\|norma Euclidean]], atau [[#p-norma\|2-norma]], yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari [[hasil kali dalam]] vektor dengan dirinya sendiri.		Dalam [[matematika]], '''norma''' adalah [[fungsi (matematika) \| fungsi]] dari bilangan riil atau kompleks [[ruang vektor]] ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari [[Asal (matematika) \| asal]]; [[Peta Equivariant \| peta]] dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari [[segitiga pertidaksamaan]], dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, [[jarak Euclidean]] vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut [[#norma Euklides\|norma Euclidean]], atau [[#p-norma\|2-norma]], yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari [[hasil kali dalam]] vektor dengan dirinya sendiri.

	'''Pseudonorma''' atau '''seminorma''' memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya. Ruang vektor dengan norma tertentu disebut [[ruang vektor bernorma]]. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut '' ruang vektor seminorma ''.		'''Pseudonorma''' atau '''seminorma''' memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya.<ref>Knapp, A.W. ''Basic Real Analysis''. Birkhäuser. 2005. hlm. [https://books.google.fr/books?id=4ZZCAAAAQBAJ&pg=279#v=onepage&q&f=false]. ISBN 978-0-817-63250-2.</ref> Ruang vektor dengan norma tertentu disebut [[ruang vektor bernorma]]. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut '' ruang vektor seminorma ''.

	== Definisi ==		== Definisi ==
	Diberikan [[ruang vektor]] di atas [[bidang (matematika) \| bidang]] dari bilangan real atau bilangan kompleks , '''norma''' pada '' V '' adalah [[fungsi (matematika) \| fungsi]] bernilai nonnegatif dengan sifat berikut:		Diberikan [[ruang vektor]] di atas [[bidang (matematika) \| bidang]] dari bilangan real atau bilangan kompleks , '''norma''' pada '' V '' adalah [[fungsi (matematika) \| fungsi]] bernilai nonnegatif dengan sifat berikut:<ref>Pugh, C.C. ''Real Mathematical Analysis''. Springer. 2015. hlm. [https://books.google.com.tr/books?id=2NVJCgAAQBAJ&pg=PA28 page 28]. ISBN 978-3-319-17770-0. Prugovečki, E. ''Quantum Mechanics in Hilbert Space''. 1981. hlm. [https://books.google.com/books?id=GxmQxn2PF3IC&pg=PA20 page 20].</ref>

	Pada dan ,		Pada dan ,
Baris 11:		Baris 11:
	# Jika kemudian adalah [[vektor nol]] (menjadi '' pasti positif '' atau menjadi '' pemisah titik '').		# Jika kemudian adalah [[vektor nol]] (menjadi '' pasti positif '' atau menjadi '' pemisah titik '').

	[[Seminorma]] dengan '' V '' adalah fungsi dengan sifat 1 dan 2 di atas.		[[Seminorma]] dengan '' V '' adalah fungsi dengan sifat 1 dan 2 di atas.<ref>Rudin, W. [https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi Functional Analysis]. 1991. hlm. [https://archive.org/details/functionalanalys0000rudi/page/25 25].</ref>

	=== Norma ekuivalen ===		=== Norma ekuivalen ===
	Misalkan dan adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor . Kemudian dan disebut '''ekuivalen''', jika terdapat dua konstanta nyata dan dengan maka setiap vektor ,		Misalkan dan adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor . Kemudian dan disebut '''ekuivalen''', jika terdapat dua konstanta nyata dan dengan maka setiap vektor ,

	:.		:.

	Norma dan setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di . Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.		Norma dan setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di .<ref>Keith Conrad. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf Equivalence of norms]. ''kconrad.math.uconn.edu''.</ref> Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.<ref>Keith Conrad. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf Equivalence of norms]. ''kconrad.math.uconn.edu''.</ref>

	== Notasi ==		== Notasi ==
Baris 25:		Baris 25:
	Dalam [[LaTeX]] dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro <code>\\|</code>, yang dirender sebagai <math>\\|.</math> Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan [[paralel (geometri) \| garis sejajar]], [[operator paralel]] dan [[penambahan paralel (operator) \| penambahan paralel]] dimasukkan dengan <code>\parallel</code> dan dirender sebagai <math>\parallel.</math> Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai <code>\\|</code> menunjukkan [[braket]] dan <code>\parallel</code> menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai <code>\|</code> saat digunakan sebagai braket, dan sebagai <code>\mid</code> saat digunakan sebagai operator.		Dalam [[LaTeX]] dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro <code>\\|</code>, yang dirender sebagai <math>\\|.</math> Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan [[paralel (geometri) \| garis sejajar]], [[operator paralel]] dan [[penambahan paralel (operator) \| penambahan paralel]] dimasukkan dengan <code>\parallel</code> dan dirender sebagai <math>\parallel.</math> Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai <code>\\|</code> menunjukkan [[braket]] dan <code>\parallel</code> menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai <code>\|</code> saat digunakan sebagai braket, dan sebagai <code>\mid</code> saat digunakan sebagai operator.

	Di [[Unicode]], titik kode dari "garis vertikal ganda" karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan [[ǁ \| klik lateral]] dalam linguistik.		Di [[Unicode]], titik kode dari "garis vertikal ganda" karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan [[ǁ \| klik lateral]] dalam linguistik.

	Garis vertikal tunggal \| disebut "garis vertikal", dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.		Garis vertikal tunggal \| disebut "garis vertikal", dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.
Baris 34:		Baris 34:
	Jika adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma dan norma [[transpos]] dari adalah sama.		Jika adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma dan norma [[transpos]] dari adalah sama.

	Untuk [[ruang Lp\|L<sup>p</sup>]] norma, kami memiliki [[pertidaksamaan Hölder]]		Untuk [[ruang Lp\|L<sup>p</sup>]] norma, kami memiliki [[pertidaksamaan Hölder]]<ref>Gene Golub. ''Matrix Computations''. The Johns Hopkins University Press. 1996. hlm. 53. ISBN 0-8018-5413-X.</ref>
	:<math> \left\| \langle x, y \rangle \right\| \le \left\\| x \right\\| _p \left\\| y \right\\| _q \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .</math>		:<math> \left\| \langle x, y \rangle \right\| \le \left\\| x \right\\| _p \left\\| y \right\\| _q \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .</math>
	Kasus khusus tentang ini adalah [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]:		Kasus khusus tentang ini adalah [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]:<ref>Gene Golub. ''Matrix Computations''. The Johns Hopkins University Press. 1996. hlm. 53. ISBN 0-8018-5413-X.</ref>

	<math> \left\| \langle x, y \rangle \right\| \le \left\\| x \right\\| _2 \left\\| y \right\\| _2 .</math>		<math> \left\| \langle x, y \rangle \right\| \le \left\\| x \right\\| _2 \left\\| y \right\\| _2 .</math>


	=== Ekuivalen ===		=== Ekuivalen ===
Baris 46:		Baris 45:
	Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan [[topologi]] pada ruang, dan ini adalah topologi [[Ruang Hausdorff \| Hausdorff]] persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. [[Urutan]] vektor <math>\{v_n\}</math> dikatakan [[mode konvergensi \| konvergen]] secara normal ke <math> v </math>, jika <math> \left\\| v_n - v \right\\| \rightarrow 0</math> sebagai <math>n \to \infty</math>. Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari [[bola (matematika) \| bola]] terbuka. Jika adalah ruang bernorma maka maka .		Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan [[topologi]] pada ruang, dan ini adalah topologi [[Ruang Hausdorff \| Hausdorff]] persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. [[Urutan]] vektor <math>\{v_n\}</math> dikatakan [[mode konvergensi \| konvergen]] secara normal ke <math> v </math>, jika <math> \left\\| v_n - v \right\\| \rightarrow 0</math> sebagai <math>n \to \infty</math>. Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari [[bola (matematika) \| bola]] terbuka. Jika adalah ruang bernorma maka maka .

	Dua norma ‖•‖<sub>''α''</sub> dan ‖•‖<sub>''β''</sub> pada ruang vektor '' V '' disebut '''ekuivalen''' jika mereka menginduksi topologi yang sama, yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif '' C '' dan '' D '' sehingga untuk semua '' x '' dalam '' V ''		Dua norma ‖•‖<sub>''α''</sub> dan ‖•‖<sub>''β''</sub> pada ruang vektor '' V '' disebut '''ekuivalen''' jika mereka menginduksi topologi yang sama,<ref>Keith Conrad. [https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf Equivalence of norms]. ''kconrad.math.uconn.edu''.</ref> yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif '' C '' dan '' D '' sehingga untuk semua '' x '' dalam '' V ''
	:<math> C \left\\| x \right\\|_\alpha \leq \left\\| x \right\\| _\beta \leq D \left\\| x \right\\|_\alpha .</math>		:<math> C \left\\| x \right\\|_\alpha \leq \left\\| x \right\\| _\beta \leq D \left\\| x \right\\|_\alpha .</math>
	Misalnya, jika ''p'' > ''r'' ≥ 1 pada <math>\mathbf{C}^n</math>, maka		Misalnya, jika ''p'' > ''r'' ≥ 1 pada <math>\mathbf{C}^n</math>, maka
	:<math> \left\\| x \right\\|_p \leq \left\\| x \right\\| _r \leq n ^{(1/r-1/p)} \left\\| x \right\\|_p </math>		:<math> \left\\| x \right\\|_p \leq \left\\| x \right\\| _r \leq n ^{(1/r-1/p)} \left\\| x \right\\|_p </math><ref>[https://math.stackexchange.com/questions/218046/relations-between-p-norms Relation between p-norms].</ref>

	Khususnya,		Khususnya,
Baris 55:		Baris 54:
	:<math> \left\\| x \right\\|_\infty \le \left\\| x \right\\|_2 \le \sqrt{n} \left\\| x \right\\|_\infty </math>		:<math> \left\\| x \right\\|_\infty \le \left\\| x \right\\|_2 \le \sqrt{n} \left\\| x \right\\|_\infty </math>
	:<math> \left\\| x \right\\|_\infty \le \left\\| x \right\\|_1 \le n \left\\| x \right \\|_\infty ,</math>		:<math> \left\\| x \right\\|_\infty \le \left\\| x \right\\|_1 \le n \left\\| x \right \\|_\infty ,</math>
	That is,		That is,
	:<math> \left\\| x \right\\|_\infty \le \left\\| x \right\\|_2 \le \left\\| x \right\\|_1 \le \sqrt{n} \left\\| x \right\\|_2 \le n \left\\| x \right \\|_\infty. </math>		:<math> \left\\| x \right\\|_\infty \le \left\\| x \right\\|_2 \le \left\\| x \right\\|_1 \le \sqrt{n} \left\\| x \right\\|_2 \le n \left\\| x \right \\|_\infty. </math>
	Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.		Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.
Baris 62:		Baris 61:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	* [[Norma operator]]		* [[Norma operator]]
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*

	~~== Referensi ==~~


	== Bibliografi ==		== Bibliografi ==
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma+%28matematika%29&oldid=29300859 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29300859 (2026-06-01T03:14:41Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma+%28matematika%29&oldid=29300859 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29300859 (2026-06-01T03:14:41Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29300859; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:45:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29300859; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''norma''' adalah [[fungsi (matematika) | fungsi]] dari bilangan riil atau kompleks [[ruang vektor]] ke bilangan riil nonnegatif yang berperilaku dengan cara tertentu seperti jarak dari [[Asal (matematika) | asal]]; [[Peta Equivariant | peta]] dengan penskalaan, mematuhi bentuk dari [[segitiga pertidaksamaan]], dan hanya nol pada titik awal. Secara khusus, [[jarak Euclidean]] vektor dari asalnya adalah sebuah norma, yang disebut [[#norma Euklides|norma Euclidean]], atau [[#p-norma|2-norma]], yang juga dapat didefinisikan sebagai akar kuadrat dari [[hasil kali dalam]] vektor dengan dirinya sendiri.

'''Pseudonorma''' atau '''seminorma''' memenuhi dua sifat pertama dari suatu norma, tetapi mungkin nol untuk vektor lain selain asalnya. Ruang vektor dengan norma tertentu disebut [[ruang vektor bernorma]]. Dengan cara yang sama, ruang vektor dengan seminorm disebut '' ruang vektor seminorma ''.

== Definisi ==
Diberikan [[ruang vektor]] di atas [[bidang (matematika) | bidang]] dari bilangan real atau bilangan kompleks , '''norma''' pada '' V '' adalah [[fungsi (matematika) | fungsi]] bernilai nonnegatif dengan sifat berikut:

Pada dan ,
# (menjadi '' [[fungsi subaditif | subaditif]] '' atau memenuhi '' [[segitiga pertidaksamaan]] '').
# (menjadi '' [[fungsi homogen | absolut homogen]] '' atau '' diskalakan '').
# Jika kemudian adalah [[vektor nol]] (menjadi '' pasti positif '' atau menjadi '' pemisah titik '').

[[Seminorma]] dengan '' V '' adalah fungsi dengan sifat 1 dan 2 di atas.

=== Norma ekuivalen ===
Misalkan dan adalah dua norma (atau seminorma) pada ruang vektor . Kemudian dan disebut '''ekuivalen''', jika terdapat dua konstanta nyata dan dengan maka setiap vektor ,

:.

Norma dan setara jika dan hanya jika mereka menginduksi topologi yang sama di . Dua norma dengan ruang berdimensi hingga adalah ekuivalen, tetapi ini tidak meluas ke ruang berdimensi tak hingga.

== Notasi ==
Jika norma diberikan pada ruang vektor , maka norma vektor biasanya dilambangkan dengan melampirkannya dalam garis vertikal ganda: <math>\|v\|=p(v).</math> Notasi seperti itu terkadang juga digunakan jika hanya berupa seminorma. Untuk panjang sebuah vektor dalam ruang Euclidean (yang merupakan contoh dari sebuah norma, seperti [[#norma Euklides | dijelaskan di bawah]]), notasi dengan garis vertikal tunggal juga tersebar luas.

Dalam [[LaTeX]] dan bahasa markup terkait, bilah ganda notasi norma dimasukkan dengan makro <code>\|</code>, yang dirender sebagai <math>\|.</math> Garis vertikal ganda yang digunakan untuk menunjukkan [[paralel (geometri) | garis sejajar]], [[operator paralel]] dan [[penambahan paralel (operator) | penambahan paralel]] dimasukkan dengan <code>\parallel</code> dan dirender sebagai <math>\parallel.</math> Meskipun terlihat serupa, kedua makro ini tidak boleh disalahartikan sebagai <code>\|</code> menunjukkan [[braket]] dan <code>\parallel</code> menunjukkan operator. Oleh karena itu, ukuran dan ruang di sekitarnya tidak dihitung dengan cara yang sama. Demikian pula, batang vertikal tunggal dikodekan sebagai <code>|</code> saat digunakan sebagai braket, dan sebagai <code>\mid</code> saat digunakan sebagai operator.

Di [[Unicode]], titik kode dari "garis vertikal ganda" karakter ‖ adalah U + 2016. Simbol "garis vertikal ganda" tidak sama dengan simbol "sejajar", Unicode U+2225 (∥), yang dimaksudkan untuk menunjukkan garis paralel dan operator paralel. Garis vertikal ganda juga tidak sama dengan Unicode U+01C1 (ǁ), bertujuan untuk menunjukkan [[ǁ | klik lateral]] dalam linguistik.

Garis vertikal tunggal | disebut "garis vertikal", dalam Unicode dan titik kodenya adalah U+007C.

== Sifat ==
Untuk norma '' p '' pada ruang vektor '' V '', [[segitiga terbalik ketidaksamaan]] berlaku: untuk '''u''' dan ,
:''p''('''u''' ± '''v''') ≥ |''p''('''u''') − ''p''('''v''')|
Jika adalah peta linier kontinu antara ruang bernorma, maka norma dan norma [[transpos]] dari adalah sama.

Untuk [[ruang Lp|Lp]] norma, kami memiliki [[pertidaksamaan Hölder]]
:<math> \left| \langle x, y \rangle \right| \le \left\| x \right\| _p \left\| y \right\| _q \qquad \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .</math>
Kasus khusus tentang ini adalah [[pertidaksamaan Cauchy–Schwarz]]:

<math> \left| \langle x, y \rangle \right| \le \left\| x \right\| _2 \left\| y \right\| _2 .</math>

=== Ekuivalen ===
Konsep [[lingkaran satuan]] (himpunan semua vektor norma 1) berbeda dalam norma yang berbeda: untuk 1-norma, lingkaran satuan adalah [[persegi (geometri) | persegi]], untuk 2-norma (norma Euklidean), itu adalah unit terkenal [[lingkaran]], sedangkan untuk norma tak terhingga, itu adalah persegi yang berbeda. Untuk norma '' p '', itu adalah [[superellipse]] dengan sumbu kongruen (lihat ilustrasi yang menyertai). Karena definisi norma, lingkaran satuan harus [[himpunan cembung | cembung]] dan simetris secara terpusat (oleh karena itu, misalnya, bola satuan mungkin persegi panjang tetapi tidak boleh segitiga, dan <math>p\ge 1</math> untuk '' p ''-norma).

Dalam kaitannya dengan ruang vektor, seminorm mendefinisikan [[topologi]] pada ruang, dan ini adalah topologi [[Ruang Hausdorff | Hausdorff]] persis ketika seminorm dapat membedakan antara vektor yang berbeda, yang lagi-lagi setara dengan seminorm yang menjadi norma. Topologi yang didefinisikan (baik oleh norma atau seminorm) dapat dipahami baik dari segi urutan atau set terbuka. [[Urutan]] vektor <math>\{v_n\}</math> dikatakan [[mode konvergensi | konvergen]] secara normal ke <math> v </math>, jika <math> \left\| v_n - v \right\| \rightarrow 0</math> sebagai <math>n \to \infty</math>. Secara ekuivalen, topologi terdiri dari semua himpunan yang dapat direpresentasikan sebagai gabungan dari [[bola (matematika) | bola]] terbuka. Jika adalah ruang bernorma maka maka .

Dua norma ‖•‖''α'' dan ‖•‖''β'' pada ruang vektor '' V '' disebut '''ekuivalen''' jika mereka menginduksi topologi yang sama, yang terjadi jika dan hanya jika ada bilangan real positif '' C '' dan '' D '' sehingga untuk semua '' x '' dalam '' V ''
:<math> C \left\| x \right\|_\alpha \leq \left\| x \right\| _\beta \leq D \left\| x \right\|_\alpha .</math>
Misalnya, jika ''p'' > ''r'' ≥ 1 pada <math>\mathbf{C}^n</math>, maka
:<math> \left\| x \right\|_p \leq \left\| x \right\| _r \leq n ^{(1/r-1/p)} \left\| x \right\|_p </math>

Khususnya,
:<math> \left\| x \right\|_2 \le \left\| x \right\|_1 \le \sqrt{n} \left\| x \right\|_2 </math>
:<math> \left\| x \right\|_\infty \le \left\| x \right\|_2 \le \sqrt{n} \left\| x \right\|_\infty </math>
:<math> \left\| x \right\|_\infty \le \left\| x \right\|_1 \le n \left\| x \right \|_\infty ,</math>
That is,
:<math> \left\| x \right\|_\infty \le \left\| x \right\|_2 \le \left\| x \right\|_1 \le \sqrt{n} \left\| x \right\|_2 \le n \left\| x \right \|_\infty. </math>
Jika ruang vektor adalah ruang nyata atau kompleks berdimensi-hingga, semua norma adalah ekuivalen. Di sisi lain, dalam kasus ruang vektor berdimensi tak hingga, tidak semua norma setara.

Norma yang setara mendefinisikan pengertian yang sama tentang kontinuitas dan konvergensi dan untuk banyak tujuan tidak perlu dibedakan. Lebih tepatnya struktur seragam yang didefinisikan oleh norma ekivalen pada ruang vektor adalah [[isomorfik seragam]].

== Lihat pula ==
*
*
*
*
*
*
*
* [[Norma operator]]
*
*
*
*

== Referensi ==

== Bibliografi ==
*
*
*
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Norma+%28matematika%29&oldid=29300859 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29300859 (2026-06-01T03:14:41Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.