Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:58:53Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 03.58
Baris 14:		Baris 14:

	== Notasi ==		== Notasi ==

	=== Notasi Kapital Sigma ===		=== Notasi Kapital Sigma ===
	Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, <math>\sum</math>, bentuk diperbesar dari [[Alfabet Yunani\|huruf Yunani]] tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:		Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, <math>\sum</math>, bentuk diperbesar dari [[Alfabet Yunani\|huruf Yunani]] tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:
Baris 253:		Baris 252:

	== Lihat Pula ==		== Lihat Pula ==

	* [[Notasi Einstein]]		* [[Notasi Einstein]]
	* [[Kurung Iverson]]		* [[Kurung Iverson]]
Baris 262:		Baris 260:

	== Catatan ==		== Catatan ==

	# '''^''' Untuk penjelas, lihat [[bilangan triangular]].		# '''^''' Untuk penjelas, lihat [[bilangan triangular]].
	# '''^''' Untuk penjelas terinci pada notasi Sigma dan Aritmetika dengan penjumlahan, lihat Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". ''Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science'' (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN <bdi>978-0201558029</bdi>.<sup>[''permanent dead link'']</sup>		# '''^''' Untuk penjelas terinci pada notasi Sigma dan Aritmetika dengan penjumlahan, lihat Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". ''Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science'' (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN <bdi>978-0201558029</bdi>.<sup>[''permanent dead link'']</sup>
Baris 268:		Baris 265:

	== Sumber ==		== Sumber ==

	# ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics'', Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, <nowiki>ISBN 0-8493-0149-1</nowiki>		# ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics'', Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, <nowiki>ISBN 0-8493-0149-1</nowiki>

	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
	*		*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+Sigma&oldid=28591672 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28591672 (2025-11-21T17:34:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+Sigma&oldid=28591672 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28591672 (2025-11-21T17:34:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28591672; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:19:23Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28591672; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam matematika, '''notasi Sigma''' adalah [[penjumlahan]] dari suatu urutan bilangan apa pun, hasilnya adalah jumlah atau total mereka. Selain bilangan, tipe nilai lainnya dapat dijumlahkan juga: [[Fungsi (matematika)|fungsi]], [[Vektor (spasial)|vektor]], [[Matriks (matematika)|matriks]], [[polinomial]] dan, secara umum, anggota dari semua jenis objek matematika di mana operasi yang dilambangkan "+" didiefinisikan.

Penjumlahan [[tak hingga]] disebut [[Deret tak terhingga|deret tak hingga]]. Mereka melibatkan konsep [[limit]], dan tidak dipertimbangkan dalam artikel ini.

Penjumlahan dari urutan eksplisit dilambangkan sebagai suksesi penambahan. Sebagai contoh, penjumlahan <math>[1, 2, 4, 2]</math> dilambangkan <math>1 + 2 + 4 + 2</math>, dan menghasilkan <math>9</math>, yaitu, <math>1 + 2 + 4 + 2 = 9</math>. Karena penambahan bersifat [[Sifat asosiatif|asosiatif]] dan [[Sifat komutatif|komutatif]], maka tidak perlu tanda kurung, dan hasilnya tidak tergantung pada urutan puncak. Penjumlahan dari urutan hanya satu elemen menghasilkan elemen ini sendiri. Penjumlahan dari urutan kosong (urutan dengan elemen nol) hasil, dengan konvensi, dalam 0.

Sangat sering, elemen-elemen dari suatu urutan didefinisikan, melalui pola reguler, sebagai [[Fungsi (matematika)|fungsi]] tempat mereka dalam urutan. Untuk pola sederhana, penjumlahan dari deretan panjang dapat direpresentasikan dengan sebagian besar penjumlahan digantikan oleh elips. Sebagai contoh, penjumlahan dari 100 bilangan asli pertama dapat ditulis <math>1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 99 + 100</math>. Jika tidak, penjumlahan dinotasikan dengan menggunakan notasi Σ, di mana <math>\sum</math> adalah [[Sigma|huruf Yunani Sigma]] yang diperbesar. Sebagai contoh, jumlah bilangan bulat <math>n</math> alami pertama dilambangkan <math>\sum_{i=1}^n i</math>.

Untuk penjumlahan panjang, dan penjumlahan dari panjang variabel (didefinisikan dengan elips atau notasi Σ), itu adalah masalah umum untuk menemukan [[ekspresi bentuk-tertutup]] untuk hasilnya. Sebagai contoh,

<math>\sum_{i=1}^n i= \frac{n(n+1)}{2}</math>.

Meskipun rumus seperti itu tidak selalu ada, banyak rumus penjumlahan telah ditemukan. Beberapa yang paling umum dan dasar tercantum dalam artikel ini.

== Notasi ==

=== Notasi Kapital Sigma ===
Notasi matematis menggunakan simbol yang secara ringkas mewakili penjumlahan dari banyak istilah yang serupa: simbol penjumlahan, <math>\sum</math>, bentuk diperbesar dari [[Alfabet Yunani|huruf Yunani]] tegak huruf Yunani Sigma. Ini didefinisikan sebagai:

<math>\sum_{i = m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} + a_n</math>

Dimana <math>i</math> adalah indeks penjumlahan; <math>a_i</math> adalah variabel yang diindeks yang mewakili setiap istilah dari jumlah; <math>m</math> adalah batas bawah penjumlahan, dan <math>n</math> adalah batas atas penjumlahan. "<math>i=m</math>" di bawah simbol penjumlahan berarti bahwa indeks saya mulai sama dengan <math>m</math>. Indeks, <math>i</math>, bertambah satu untuk setiap istilah berturut-turut, berhenti ketika <math>i=n</math>.

Ini dibaca "penjumlahan pada <math>a_i</math> dari <math>i=m</math> ke <math>n</math>".

Berikut adalah contoh yang menunjukkan penjumlahan [[Pangkat dua|kuadrat]]:

<math>\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86</math>.

Penulisan informal terkadang menghilangkan definisi indeks dan batasan penjumlahan ketika ini jelas dari konteksnya, seperti pada:

<math>\sum a_i = \sum_{i=m}^n a_i</math>

Kita sering melihat generalisasi dari notasi ini di mana suatu kondisi logis sebarang disediakan, dan jumlah tersebut dimaksudkan untuk diambil alih semua nilai yang memenuhi kondisi tersebut. Berikut ini beberapa contoh umum:

<math>\sum_{0 < k \leq 100}f(k)</math>

adalah jumlah pada <math>f(k)</math> untuk seluruh [[bilangan bulat]] <math>k</math> dalam rentang yang ditentukan,

<math>\sum_{x \in S} f(x)</math>

adalah jumlah pada <math>f(x)</math>, untuk seluruh anggota <math>x</math> pada himpunan <math>S</math>.

<math>\sum_{d | n} \mu (d)</math>

adalah jumlah pada <math>\mu (d)</math>, untuk seluruh bilangan bulat positif <math>d</math> membagi <math>n</math>.

Ada juga cara untuk menggeneralisasi penggunaan banyak notasi Sigma. Sebagai contoh,

<math>\sum_{i,j}</math>

Ini sama saja dengan

<math>\sum_i \sum_j</math>.

Notasi yang sama diterapkan ketika datang untuk menunjukkan [[Perkalian|produk]] dari suatu urutan, yang mirip dengan notasi Sigma, tetapi yang menggunakan operasi perkalian alih-alih penambahan (dan memberikan 1 untuk urutan kosong, bukan 0). Struktur dasar yang sama digunakan, dengan <math>\prod</math>, adalah [[Pi|huruf kapital Pi Yunani]], menggantikan <math>\sum</math>.

=== Kasus Spesial ===
Dimungkinkan untuk menjumlahkan kurang dari 2 angka:

* Jika penjumlahan memiliki satu penjumlahan <math>x</math>, maka jumlah yang dievaluasi adalah <math>x</math>.
* Jika penjumlahan tidak memiliki penjumlahan, maka jumlah yang dievaluasi adalah [[nol]], karena nol adalah [[Elemen identitas|identitas]] tambahan. Ini dikenal sebagai [[Jumlah Kosong|jumlah kosong]].

== Definisi Formal ==
Penjumlahan dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut

<math>\sum_{i=a}^b g(i)=0,\ \textrm{ jika }\ a > b</math>.

<math>\sum_{i = a}^b g(i) = g(b) + \sum_{i = a}^{b - 1} g(i),\ \textrm{jika}\ b \geq a</math>

== Notasi Teorema Pengukuran ==
Dalam notasi teori [[Ukuran (matematika)|ukuran]] dan [[Integral|integrasi]], jumlah dapat dinyatakan sebagai [[integral tentu]],

<math>\sum_{k=a}^b f(k) = \int_{[a,b]} f\ d\mu</math>

di mana <math>[a,b]</math> adalah himpunan bagian [[bilangan bulat]] dari <math>a</math> ke <math>b</math>, dan di mana <math>\mu</math> adalah [[ukuran penghitungan]].

== Kalkulus pada Perbedaan Hingga ==
Diberikan fungsi <math>f</math> yang didefinisikan atas bilangan bulat dalam [[Interval (matematika)|interval]] <math>[m,n]</math>, kita memiliki:

<math> f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}[f(i+1)-f(i)]</math>

<math> f(n)-f(m)=\int_m^n f^{\prime}(x)\ dx</math>,

dimana:

<math>f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h)-f(x)}{h}</math>

adalah [[turunan]] dari fungsi <math>f</math>.

Contoh penerapan persamaan di atas adalah:

<math>n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right)</math>

Dengan menggunakan [[teorema binomial]], ini ditulis ulang sebagai:

<math>n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}{\binom {k}{j}}x^{j}\right)</math>.

Rumus di atas lebih umum digunakan untuk membalik dari [[operator selisih]] <math>\Delta</math> yang didefinisikan oleh

<math>\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n)</math>

Dimana <math>f</math> adalah fungsi yang didefinisikan pada bilangan bulat tidak negatif. Jadi, mengingat fungsi <math>f</math> seperti itu, masalahnya adalah menghitung [[Jumlah taktentu|antiselisih]] dari <math>f</math>, yaitu fungsi <math>F = \Delta^{- 1} f</math> sedemikian rupa sehingga <math>\Delta F =f</math>, yaitu, <math>F (n + 1) -F (n) = f (n)</math>. Fungsi ini didefinisikan hingga penambahan konstanta, dan dapat dipilih sebagai:

<math>F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i)</math>

Tidak selalu ada [[ekspresi bentuk-tertutup]] untuk penjumlahan tersebut, tetapi [[rumus Faulhaber]] menyediakan formulir tertutup dalam kasus <math>f(n) = n^k</math> dan, dengan [[linearitas]] untuk setiap [[Polinomial|fungsi polinomial]] <math>n</math>.

== Aproksimasi oleh Integral Tentu ==
Banyaknya aproksimasi semacam itu dapat diperoleh dengan koneksi berikut antara notasi Sigma dan [[Integral Lebesgue|integral]], yang berlaku untuk semua:

[[Fungsi monotonik|Peningkatan]] fungsi <math>f</math>

.<math>\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds</math>

[[Fungsi monotonik|Penurunan]] fungsi <math>f</math>

<math>\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds</math>

Untuk perkiraan yang lebih umum, lihat [[rumus Euler-Maclaurin]].

Untuk penjumlahan di mana penjumlahan diberikan (atau dapat diinterpolasi) oleh fungsi indeks yang dapat di[[Integral Riemann|integrasi]]<nowiki/>kan, penjumlahan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai [[jumlah Riemann]] yang terjadi dalam integral tentu yang sesuai.

<math>{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx</math>.

karena sisi kanan adalah definisi batas untuk <math>n \to \infty</math> dari sisi kiri. Namun, untuk penjumlahan tertentu <math>n</math> diperbaiki, dan sedikit yang bisa dikatakan tentang kesalahan dalam perkiraan di atas tanpa asumsi tambahan tentang <math>f</math>: jelas bahwa untuk fungsi berosilasi liar, jumlah Riemann dapat secara sebarang jauh dari [[integral Riemann]].

== Identitas ==
Rumus di bawah ini melibatkan jumlah terbatas; untuk [[Deret tak terhingga|penjumlahan tak terhingga]] atau penjumlahan terhingga pada ekspresi yang melibatkan [[Fungsi trigonometrik|fungsi trigonometri]] atau [[fungsi transendental]] lainnya, lihat [[Daftar deret-deret Matematika|daftar deret-deret matematika]].

=== Identitas Umum ===
<math>\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad</math> , ([[distributif]])

<math>\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)\pm g(n)\right]\quad
</math> , ([[Sifat asosiatif|asosiatif]] dan [[Sifat komutatif|komutatif]])

<math>\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s\pm p}^{t\pm p}f(n\mp p)</math> , (pergeseran indeks)

<math>\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))</math> , untuk [[bijeksi]] <math>\sigma</math> dari himpunan terbatas <math>A</math> ke himpunan <math>B</math> (perubahan indeks); ini menggeneralisasi formula sebelumnya.

<math>\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)</math> , (memecahkan jumlah, menggunakan [[sifat asosiatif]]).

<math>\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)</math> , (varian dari rumus sebelumnya).

<math>\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)</math> , (jumlah dari istilah pertama hingga yang terakhir sama dengan jumlah dari yang terakhir hingga yang pertama).

<math>\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)</math> , (kasus rumus tertentu di atas).

<math>\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}</math> , ([[Sifat asosiatif|asosiatif]] dan [[Sifat komutatif|komutatif]])

<math>\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}</math> , (penerapan pada [[Sifat asosiatif|asosiatif]] dan [[Sifat komutatif|komutatif]])

<math>\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)</math> , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks genap)

<math>\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)</math> , (memecahkan jumlah menjadi bagian yang ganjil dan genap, untuk indeks ganjil)

<math>\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}</math> , ([[distributif]])

<math>\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)</math> , ([[distributif]] yang memungkinkan [[faktorisasi]])

<math>\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)</math> , ([[logaritma]] suatu [[Perkalian|produk]] adalah jumlah dari faktor-faktor logaritma)

<math>C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}</math> , ([[Eksponensiasi|eksponensial]] dari jumlah adalah produk dari eksponensial pada penjumlahan)

=== Eksponen dan Logaritma pada Deret Aritmetika ===
<math>{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }</math>, untuk setiap <math>c</math> yang tidak bergantung pada <math>i</math>.

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }</math> , (jumlah dari perkembangan [[aritmetika]] yang paling sederhana, terdiri dari <math>n</math> bilangan asli pertama)

<math>\sum_{i=1}^n [2i - 1]=n^2</math> , (jumlah [[bilangan asli]] ganjil pertama).

<math>\sum_{i = 0}^n [2i]=n(n+1)</math> , (jumlah [[bilangan asli]] genap pertama).

<math>\sum_{i = 1}^n \log i = \log n!</math> , (jumlah dari [[logaritma]] adalah logaritma produk)

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }</math> , (jumlah kuadrat pertama, lihat [[bilangan piramidal persegi]])

<math> {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }</math> , ([[Jumlah Segitiga Kuadrat|Teorema Nicomachus]])

Lebih umum, terdapat [[rumus Faulhaber]],

<math>{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1}}</math>

Dimana <math>B_k</math> melambangkan [[bilangan Bernoulli]], dan <math>\binom{p}{k}</math> adalah [[Koefisien Binomial|koefisien binomial]].

=== Indeks Penjumlahan dalam Eksponen ===
Dalam penjumlahan berikut, <math>a</math> diasumsikan berbeda dari <math>1</math>.

<math>\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}} </math> , (jumlah pada sebuah [[deret geometri]])

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}} </math> , (kasus spesial untuk <math>a = \frac{1}{2}</math>)

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}</math> , (<math>a</math> dikali turunan terhadap <math>a</math> pada deret geometri)

<math>{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}</math> , (jumlah pada sebuah [[deret aritmetika-geometri]])

=== Koefisien Binomial dan Faktorial ===
''Artikel Utama: [[Koefisien Binomial|Koefisien Binomial dan Jumlah pada Koefisien Binomial]]''

Ada sangat banyak penjumlahan identitas yang melibatkan koefisien binomial (seluruh bab ''[[Concrete Mathematics]]'' dikhususkan hanya untuk teknik dasar). Beberapa yang paling mendasar adalah sebagai berikut.

==== Melibatkan Teorema Binomial ====
<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n}}</math> , [[teorema binomial]]

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}} </math> , kasus spesial untuk <math>a=b=1</math>.

<math>}{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1</math> , kasusu spesial dimana <math>p=a=1-b</math>, dimana <math>0 \leq p \leq 1</math>, mengekspresikan jumlah pada [[distribusi binomial]].

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1})}</math> , nilai ketika <math>a=b=1</math> pada [[turunan]] terhadap <math>a</math> pada [[teorema binomial]].

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}}</math> , nilai ketika <math>a=b=1</math> pada [[antiturunan]] terhadap <math>a</math> pada [[teorema binomial]].

==== Melibatkan Permutasi ====
Dalam penjumlahan berikut, <math>_n P_k</math> adalah jumlah permutasi <math>k</math> dari <math>n</math>.

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}</math>

<math>\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}</math>

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}</math>, dimana <math>\lfloor x \rfloor</math> menyatakan [[fungsi floor]].

==== Lainnya ====
<math>{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}\left({\begin{array}{c}n+k\\n\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n+m+1\\n+1\\\end{array}}\right)}
</math>

<math>{\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}</math>

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}</math>

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}</math>

<math>{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}</math>

=== Bilangan Harmonik ===
<math>\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}</math> , (itu adalah [[bilangan harmonik]] <math>n</math>)

<math>\sum_{i = 1}^n \frac{1}{i^k}= H_n^k </math> , (itu adalah [[Bilangan harmonik|bilangan harmonik umum]] <math>n</math>)

== Pertumbuhan Rata-Rata ==
Berikut ini adalah [[aproksimasi]] yang berguna (menggunakan notasi [[theta]]):c

<math>\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})</math>, untuk [[bilangan real]] <math>c</math> lebih besar daripada <math>-1</math>.

<math>{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}</math>, lihat [[bilangan Harmonik]].

<math>\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})</math>, untuk bilangan real <math>c</math> lebih besar daripada <math>1</math>.

<math>\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})</math>, untuk bilangan real non-negatif <math>c</math>.

<math>\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})</math>, untuk bilangan real non-negatif <math>c</math>, <math>d</math>.

<math>\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})</math>, untuk bilangan real non-negatif <math>b>1</math>, <math>c</math>, <math>d</math>.

== Lihat Pula ==

* [[Notasi Einstein]]
* [[Kurung Iverson]]
* [[Opearsi biner berulang]]
* [[Algoritma penjumlahan Kahan]]
* [[Produk pada deret]]
* [[Produk (matematika)]]

== Catatan ==

# '''^''' Untuk penjelas, lihat [[bilangan triangular]].
# '''^''' Untuk penjelas terinci pada notasi Sigma dan Aritmetika dengan penjumlahan, lihat Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 2: Sums". ''Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science'' (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN <bdi>978-0201558029</bdi>.<sup>[''permanent dead link'']</sup>
# '''^''' Meskipun nama [[variabel boneka]] tidak masalah (menurut definisi), orang biasanya menggunakan huruf dari tengah alfabet (<math>i</math> melalui <math>q</math>) untuk menunjukkan bilangan bulat, jika ada risiko kebingungan. Sebagai contoh, bahkan jika seharusnya tidak ada keraguan tentang interpretasi, itu bisa terlihat sedikit membingungkan bagi banyak matematikawan untuk melihat <math>x</math> daripada <math>k</math> dalam rumus di atas yang melibatkan. Lihat juga [[konvensi tipografi dalam rumus matematika]].

== Sumber ==

# ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics'', Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, <nowiki>ISBN 0-8493-0149-1</nowiki>

== Bacaan lebih lanjut ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+Sigma&oldid=28591672 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28591672 (2025-11-21T17:34:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Notasi Sigma - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28591672; atribusi sumber disertakan.