Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:57:05Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29425831; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:19:10Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29425831; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Notasi anak panah atas Knuth''' adalah salah satu cara untuk merepresentasikan [[bilangan bulat]] yang sangat [[Bilangan besar|besar]]. Notasi ini diciptakan oleh [[Donald Knuth]] pada tahun 1976. Dalam makalahnya pada tahun 1947, R. L. Goodstein memperkenalkan [[urutan operasi]] spesifik yang sekarang disebut [[hiperoperasi]], yang mana [[perkalian]] dianggap sebagai iterasi atau perulangan dari [[Penambahan|penjumlahan]], [[perpangkatan]] adalah iterasi dari perkalian, iterasi selanjutnya adalah tetrasi, kemudian pentasi, dan seterusnya, di mana notasi anak panah Knuth dapat digunakan. misalnya:

* Anak panah tunggal <math>\displaystyle (\uparrow)</math> mewakili [[Eksponensiasi|eksponenisasi]] yang merupakan perkalian berulang.
<math>{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}</math>
* Anak panah ganda <math>\displaystyle (\uparrow \uparrow)</math> mewakili [[tetrasi]] yang merupakan [[Eksponensiasi|eksponenisasi]] yang berulang.
<math>{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}</math>
* Anak panah tripel <math>\displaystyle (\uparrow \uparrow \uparrow)</math> mewakili [[pentasi]] yang merupakan [[tetrasi]] yang berulang.<math>{\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ angka }}2\;\;\;\;\;{\mbox{(65,536 angka 2)}}\\\end{aligned}}}</math>

Definisi umum dari notasi anak panah adalah sebagai berikut, di mana <math>{\displaystyle { \mbox{di mana } (a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0)}}</math>:

<math>{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}</math>

Di sini, <math>\displaystyle \uparrow^n</math> merupakan singkatan dari anak panah yang berjumlah n sebagai contoh:

<math>{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3.}</math>

dan kurung siku adalah notasi lain dari [[hiperoperasi]]

== Pengenalan ==
Hiperoperasi secara alami memperluas operasi [[aritmetika]] dari operasi yang lebih kecil seperti [[Perkalian]] yang merupakan [[iterasi]], lelaran, perulangan atau [[Rekursi]] dari penjumlahan. yang direpresentasikan dengan notasi dibawah ini:

[[Penambahan]] dengan [[bilangan asli]] didefinisikan dengan penjumlahan yang berulang

<math>\displaystyle { H_1 (a,b)= a+ b = \underbrace{ a+1+\cdots+1 }_{b\ kali}}</math>

Misalnya

<math>\displaystyle {5+3 = 5 + 1+ 1+1=8}</math>

[[Perkalian]] merupakan iterasi atau perulangan dari penjumlahan

<math>\displaystyle { H_2 (a,b)= a\times b = \underbrace{ a+a+\cdots+a }_{b\ kali}}</math>

Misalnya:

<math>4\times 3 = 3+3+3+3 = 12</math>

[[Perpangkatan]] adalah iterasi dari perkalian, dalam notasi Knuth dilambangkan dengan satu anak panah:

<math>H_3 (a,b)= a\uparrow b= a^b = \underbrace{ a\times a\times\cdots\times a }_{b\ kali}</math>

Misalnya:

<math>4\uparrow 3= 4^3 = { 4\times 4\times 4} </math>

[[Tetrasi]] merupakan Iterasi dari perpangkatan, yang merupakan perpangkatan yang berulang, dilambangkan dengan dua anak panah:

<math>H_4(a,b)= a\uparrow\uparrow b=\ ^b\!a=\underbrace{ a^{a^{.^{.^{.^{.^a}}}}}}_{b\ kali}=\underbrace {a\uparrow(a\uparrow ({...\uparrow a))}}_{b\ kali}</math>

Misalnya:

<math>{\displaystyle {\begin{matrix}H_4(a,b)= 4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&{\mbox {4 sebanyak 3 tingkat}}&&{\mbox{3 angka 4}}\end{matrix}}}</math>

Berdasarkan definisi ini dapat diketahui bahwa anak panah ganda <math>(\uparrow \uparrow)</math> ini mewakili perpangkatan dengan tingkat sebanyak n tingkat, maka

<math>3 \uparrow \uparrow 2 = 3^{3} = 27</math>

<math>3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^{3}} = 3^{27} = 7.625.597.484.987 </math>

<math>3 \uparrow \uparrow 4 = 3^{3^{3^{3}}} = 3^{7625597484987} \approx 1,2580143 \times 10^{3638334640024}</math>

<math>3 \uparrow \uparrow 5 = 3^{3^{3^{3^3}}} = 3^{3^{3^{27}}} = 3^{3^{7625597484987}} = 3^{1,2580143 \times 10^{3638334640024}} </math>

Dan seterusnya, Walaupun bilangan ini sudah terlihat sangat besar. Hiperoperasi tidak berhenti disitu. Iterasi selanjutnya seperti pentasi, heksasi, dan lain-lain dilakukan dengan menambah jumlah anak panah pada notasi anak panah knuth:

[[Hiperoperasi|Pentasi]], mendefinisikan iterasi dari tetrasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap tiga <math>(\uparrow \uparrow \uparrow) </math>:

<math>H_5(a,b)= a\uparrow\uparrow\uparrow b=\underbrace {a\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow(...\uparrow\uparrow a))}_{b\ kali}</math>

[[Hiperoperasi|Heksasi]] mendefinisikan iterasi dari pentasi. Direpresentasikan dengan panah tripel atau rangkap empat <math>(\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow) </math>:

<math>H_6(a,b) = a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b=\underbrace {a\uparrow\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow\uparrow(...\uparrow\uparrow\uparrow a))}_{b\ kali}</math>

Jadi, notasi anak panah-<math>n</math> didefinisikan sebagai deret anak panah (<math>n-1</math>):

<math>a\underbrace{\uparrow\uparrow ...\uparrow}_n b =\underbrace {a\underbrace{\uparrow ... \uparrow}_{n-1}(a\underbrace{\uparrow ...\uparrow}_{n-1}(...\underbrace{\uparrow ...\uparrow}_{n-1} a))}_{b\ kali}</math>

Sebagai contoh:

<math>{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}</math>

<math>{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3{\mbox{ sebanyak }} 3\uparrow 3\uparrow 3 \end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{3 sebanyak 7,625,597,484,987 tingkat}}\end{matrix}}}</math>

== Notasi ==
Terdapat notasi versi simpel yang lebih pendek, dengan menggunakan <math>a\uparrow^nb</math>, contohnya <math>a\uparrow^4b=a\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow b= H_6(a,b)</math>. Tapi perlu diingat bentuk ini tidak sama dengan notasi hiperoperasi, misalnya dalam hiperoperasi contoh tersebut seharusnya bernama tetrasi karena ''n''-nya adalah empat, bukan heksasi yang ''n''-nya enam. Dalam hiperoperasi notasi tersebut berbentuk <math>a\uparrow^{n-2}b</math>, contohnya <math>a\uparrow ^5 b=a\uparrow\uparrow\uparrow b=H_7(a,b)</math>, dan diberinama pentasi sesuai dengan ''n''-nya yaitu lima.

Notasi anak panah dipilih karena beberapa hal seperti [[bahasa pemrograman]] dan [[e-mail]] berupa teks tidak mendukung simbol pangkat. Jika suatu [[pengodean karakter]] tidak memiliki simbol anak panah dapat digunakan simbol "caret" atau [[Superskrip]] (^).

Notasi alternatif lainnya adalah [[notasi anak panah berantai]] yang diciptakan John Horton Conway dan digunakan untuk melambangkan angka yang sangat besar, lebih besar dari notasi Knuth:

<math>a\uparrow^n b=a \rightarrow b\rightarrow n</math>

=== Merepresentasi notasi anak panah knuth dalam bentuk menara daya ===
notasi <math>a \uparrow \uparrow b </math> dapat direpresentasikan dengan menggunakan menara daya atau tetrasi yang berarti <math>a</math> pangkat <math>a</math> sebanyak <math>b</math> kali.

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}</math>

Menambahkan satu anak panah lagi akan menghasilkan menara daya bertumpuk yang menunjukkan jumlah anak panah untuk tingkat yang lebih tinggi diatasnya.

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}</math>

Melanjutkan dari notasi ini, <math>a \uparrow \uparrow \uparrow b</math> bisa digambar dengan titik di antara menara dengan informasi tambahan mengenai berapa jumlah tingkat menara yang disigkat menjadi titik.

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}</math>

Lebih-lebih lagi, anak panah 4. <math>a \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b</math> dapat ditulis dengan menumpuk menara anak panah tripel sebanyak b kali.

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}</math>

Dan lebih lanjut, lagi secara umum akan direpresentasikan setidaknya seperti ini:

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}</math>

Cara ini dapat terus dilakukan untuk merepresentasi <math>(a \uparrow)^nb</math> sebagai eksponenisasi iterasi dari eksponenisasi untuk a,b dan n. Meskipun ini akan semakin sulit dilakukan.

==== Menggunakan tetrasi ====
Notasi Rudy Rucker <math>^ba</math> membuat representasi notasi anak panah knuth menjadi sedikit lebih mudah sambil terus menggunakan menara daya (representasi geometris)

<math>^ab = b \uparrow \uparrow a</math>

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}</math>

<math>{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}</math>

Dan akhirnya, bilangan keempat dari Fungsi Ackerman, <math>4 (\uparrow)^44</math> dapat direpresentasikan dengan:

<math>{\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}</math>

== Penyederhanaan ==
Saat bilangan yang dibahas terlalu besar, dan jumlah anak panah terlalu panjang untuk ditulis, operator <math>\uparrow ^n</math> dapat sangat membantu, <math>n</math> dapat merepresentasikan jumah panah yang ada. Jika bilangan tersebut masih terlalu besar maka [[Notasi panah berantai Conway|Notasi anak panah berantai Conway]] dapat digunakan, notasi panah berantai tiga mungkin sama dengan notasi anak panah knuth, tapi jika rantai mencapai 4 anak panah, ini akan sangat jauh lebih kuat daripada anak panah Knuth.

<math>{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hiperoperasi)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}</math>

<math>6 \to 4 \to 2 = 6[4]4 = 6 \uparrow \uparrow 4 = \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4} = 6^{6^{6^{6}}} = 6^{6^{46656}}</math>

<math>{\displaystyle 10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)}</math>= <math>
{\displaystyle \underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...000} _{15}}}}</math> = <math>{\displaystyle 10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}}</math>

Fungsi yang tumbuh lebih cepat dari ini oun dapat dikategorikan menggunakan analisis [[Bilangan ordinal|ordinal]] yang disebut [[hierarki cepat bertumbuh]] Hierarki cepat bertumbuh menggunakan iterasi fungsi dan diagonalisasi yang berurutan untuk secara sistematis membuat fungsi yang tumbuh lebih cepat dari beberapa fungsi dasar. <math>f(x)</math> untuk hierarki cepat bertumbuh dapat menggunakan <math>f_0(x)=x+1</math>, <math>f_1(x)</math> menunjukkan perkalian, <math>f_2(x)</math> sudah menunjukkan eksponensial, <math>f_3(x)</math> menunjukkan iterasi eksponenisasi berupa tetrasi. Kemudian <math>
{\displaystyle f_{\omega }(x)}</math> sebanding dengan [[Fungsi Ackermann]] ,<math>\displaystyle {f_{\omega +1 } }</math>sudah berada di luar jangkauan panah bertingkat, tetapi masih dapat digunakan untuk memperkirakan [[Bilangan Graham]] , dan sebanding dengan notasi panah berantai Conway yang bisa dipanjangjan sepanjang apapun.

Semua fungsi ini dapat dihitung. Bahkan fungsi yang dapat dihitung lebih cepat, seperti [[Deret Goodstein]] dan [[Deret TREE]] yang memerlukan penggunaan ordinal besar, dapat terjadi dalam konteks [[Kombinatorika|kombinatorik]] dan teori pembuktian tertentu. Ada fungsi yang tumbuh sangat cepat, seperti [[Fungsi Busy Beaver]] , yang sifatnya akan sepenuhnya berada di luar jangkauan panah atas, atau bahkan analisis berbasis ordinal apa pun.

== Definisi ==
Tanpa referensi dari [[hiperoperasi]], Notasi anak panah atas Knuth masih dapat dijabarkan dengan rumus formal matematika.

<math>{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{jika }}n=1;\\1,&{\text{jika }}n>1{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak ada yang terpenuhi}}\end{cases}}}</math>

Di mana [[Bilangan bulat]] <math>\text{a, b, n}</math> adalah <math>{\displaystyle {a\geq 0, \text{ } n\geq 1,\text{ } b\geq 0}}</math>.

Definisi ini menggunakan [[Eksponensiasi|eksponenisasi]] <math>(a \uparrow ^1b = a \uparrow b = a^b )</math> sebagai kasus atau tingkatan dasar, dan [[tetrasi]] <math>(a \uparrow ^2b = a \uparrow \uparrow b)</math> sebagai eksponenisasi yang diulang(iterasi). ini setara dengan tingkatan hiperoperasi kecuali [[suksesi]], [[penjumlahan]] dan [[perkalian]].

Seseorang juga dapat memilih perkalian <math>( a \uparrow ^0 b = a \times b )</math>sebagai kasus dasar dan ulangi dari sana. Kemudian eksponensial menjadi perkalian berulang. Definisi formalnya adalah:

<math>{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{jika }}n=0;\\1,&{\text{jika }}n>0{\text{ dan }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{jika kondisi tidak terpenuhi }}\end{cases}}}</math>

Di mana [[Bilangan bulat]] <math>\text{a, b, n}</math> adalah <math>{\displaystyle {a\geq 0, \text{ } n\geq 0,\text{ } b\geq 0}}</math>.

Namun perlu dicatat bahwa simplifikasi Notasi anak panah Knuth tidak mendefinisikan "panah nol" <math>(\uparrow ^0)</math>, notasi ini daspat diperluas ke indeks <math>(n \geq -2)</math> sedemikian rupa sehingga sesuai dengan seluruh rangkaian hiperoperasi kecuali untuk jeda dalam pengindeksan:

<math>{\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ dengan }}n\geq 0.}</math>

Operasi panah ke atas adalah termasuk [[Sifat asosiatif|operasi asosiatif kanan]]. Yaitu di mana operasi <math>a \uparrow b \uparrow c</math>, dipahami sebagai <math>a \uparrow (b \uparrow c)</math>, alih-alih <math>(a \uparrow b) \uparrow c</math> Jika [[ambiguitas]] bukan masalah, tanda kurung terkadang dihilangkan.

== Tabel nilai bilangan ==

=== Menghitung 0↑nb ===
Menghitung <math>{\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}</math> akan menghasilkan:

* 0, jika ''n'' = 0
* 1, jika ''n'' = 1 dan ''b'' = 0
* 0, jika ''n'' = 1 dan ''b'' > 0
* 1, jika ''n'' > 1 dan ''b'' genap (termasuk juga ketika b = 0)
* 0, jika ''n'' > 1 dan ''b'' ganjil

=== Menghitung 1↑nb ===
Menghitung angka 1 dengan cara mengalikannya, memangkatkannya atau bahkan menumpuknya dengan tetrasi akan selalu menghasilkan angka 1.

=== Menghitung 2↑nb ===
Komputasi <math>2 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka <math>2^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 2.

=== Menghitung 3↑nb ===
Komputasi <math>3 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka <math>3^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 3.

=== Menghitung 4↑nb ===
Komputasi <math>4 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka <math>4^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 4.

=== Menghitung 10↑nb ===
Komputasi <math>10 \uparrow ^n b</math> dapat direpresentasikan dalam bentuk tabel yang berukuran tak terbatas. di sini hanya ditampilan angka-angka <math>10^b</math>pada baris paling atas, dan isi kolom kiri dengan nilai 10.

== Pranala luar ==
*
* Robert Munafo, ''[http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Large Numbers]''

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+anak+panah+atas+Knuth&oldid=29425831 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29425831 (2026-07-06T13:57:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Notasi anak panah atas Knuth - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29425831; atribusi sumber disertakan.