Notasi ungkapan himpunan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:59:11Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 03.59
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[teori himpunan]], dan penerapannya dalam [[logika]], [[matematika]], dan [[ilmu komputer]], '''notasi pembentuk himpunan''' (juga disebut '''notasi ungkapan himpunan''') merupakan sebuah [[Notasi matematika\|notasi matematis]] untuk menjelaskan suatu [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] dengan menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi anggota himpunan tersebut.		Dalam [[teori himpunan]], dan penerapannya dalam [[logika]], [[matematika]], dan [[ilmu komputer]], '''notasi pembentuk himpunan''' (juga disebut '''notasi ungkapan himpunan<ref>Kerami, Djati. Sitanggang, Cormentyna. [http://worldcat.org/oclc/441289784 Glosarium matematika]. Pusat Bahasa, Departemen Pendidikan Nasional. 2008. ISBN 978-979-685-756-2.</ref>''') merupakan sebuah [[Notasi matematika\|notasi matematis]] untuk menjelaskan suatu [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] dengan menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi anggota himpunan tersebut.<ref>Kenneth Rosen. [https://books.google.com/books?id=ZYZfQgAACAAJ&pg=PA111 Discrete Mathematics and its Applications]. McGraw-Hill. 2007. hlm. 111–112. ISBN 978-0-07-288008-3.</ref>

	Mendefinisikan himpunan-himpunan oleh sifat-sifat juga dikenal sebagai '''pemahaman himpunan''', '''keniskalaan himpunan''' atau sebagai mendefinisikan "intensi" () suatu himpunan.		Mendefinisikan himpunan-himpunan oleh sifat-sifat juga dikenal sebagai '''pemahaman himpunan''', '''keniskalaan himpunan''' atau sebagai mendefinisikan "intensi" () suatu himpunan.
Baris 9:		Baris 9:
	* <math>\{a,c,b\} = \{a,b,c\}</math> adalah himpunan berisi <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math>, dan tidak ada lagi (tidak ada urutan antar unsur dalam himpunan).		* <math>\{a,c,b\} = \{a,b,c\}</math> adalah himpunan berisi <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math>, dan tidak ada lagi (tidak ada urutan antar unsur dalam himpunan).

	Ini terkadang disebut "metode daftar" untuk menentukan sebuah himpunan.		Ini terkadang disebut "metode daftar" untuk menentukan sebuah himpunan.<ref>Richard Aufmann, Vernon C. Barker, and Joanne Lockwood, 2007, ''Intermediate Algebra with Applications'', Brooks Cole, p. 6.</ref>

	Notasi [[elipsis]] dapat digunakan apabila hendak melambangkan himpunan yang berisi unsur-unsur dari sebuah barisan beraturan, seperti:		Notasi [[elipsis]] dapat digunakan apabila hendak melambangkan himpunan yang berisi unsur-unsur dari sebuah barisan beraturan, seperti:
Baris 28:		Baris 28:

	== Menyatakan himpunan dengan notasi ungkapan himpunan ==		== Menyatakan himpunan dengan notasi ungkapan himpunan ==
	Notasi ungkapan himpunan dapat digunakan untuk menjelaskan himpunan-himpunan yang didefinisikan oleh suatu predikat, daripada penyebutan satu demi satu secara eksplisit. Dalam bentuk ini, notasi ungkapan himpunan memiliki tiga bagian: peubah, tanda pemisah yaitu [[tanda titik dua]] atau [[batang vertikal\|garis vertikal]], dan predikat. Sehingga peubah terletak di sebelah kiri, dan predikat yang menjadi sifat himpunan berada di sebelah kanan. Tiga bagian berisi di dalam kurung kurawal, seperti:		Notasi ungkapan himpunan dapat digunakan untuk menjelaskan himpunan-himpunan yang didefinisikan oleh suatu predikat, daripada penyebutan satu demi satu secara eksplisit.<ref>Michael J Cullinan, 2012, ''A Transition to Mathematics with Proofs'', Jones & Bartlett, hlm. 44ff.</ref> Dalam bentuk ini, notasi ungkapan himpunan memiliki tiga bagian: peubah, tanda pemisah yaitu [[tanda titik dua]] atau [[batang vertikal\|garis vertikal]], dan predikat. Sehingga peubah terletak di sebelah kiri, dan predikat yang menjadi sifat himpunan berada di sebelah kanan. Tiga bagian berisi di dalam kurung kurawal, seperti:

	:<math>\{x \mid \Phi(x) \}</math>		:<math>\{x \mid \Phi(x) \}</math>
Baris 36:		Baris 36:
	:<math>\{x : \Phi(x) \}</math>		:<math>\{x : \Phi(x) \}</math>

	Garis vertikal (atau tanda titik dua) merupakan sebuah pemisah yang dapat dibaca sebagai "'''sedemikian sehingga'''". "untuk yang", atau "dengan sifatnya bahwa". Rumus <math>\Phi(x)</math> dikatakan menjadi ''kaidah'' atau ''predikat''. Semua nilai <math>x</math> untuk yang predikatnya berlaku (adalah benar) menjadi miliki himpunan telah didefinisikan. Semua nilai <math>x </math> untuk yang predikatnya tidak berlaku tidak menjadi milik himpunannya. Demikian, <math>\{x \mid \Phi(x)\}</math> adalah himpunan semua nilai <math>x </math> yang memenuhi rumus <math>\Phi</math>. Ini dapat menjadi [[himpunan kosong]], jika tidak ada nilai <math>x </math> memenuhi rumusnya.		Garis vertikal (atau tanda titik dua) merupakan sebuah pemisah yang dapat dibaca sebagai "'''sedemikian sehingga'''".<ref>[https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/ Comprehensive List of Set Theory Symbols]. ''Math Vault''. 2020-04-11.</ref> "untuk yang", atau "dengan sifatnya bahwa". Rumus <math>\Phi(x)</math> dikatakan menjadi ''kaidah'' atau ''predikat''. Semua nilai <math>x</math> untuk yang predikatnya berlaku (adalah benar) menjadi miliki himpunan telah didefinisikan. Semua nilai <math>x </math> untuk yang predikatnya tidak berlaku tidak menjadi milik himpunannya. Demikian, <math>\{x \mid \Phi(x)\}</math> adalah himpunan semua nilai <math>x </math> yang memenuhi rumus <math>\Phi</math>.<ref>Eric W. Weisstein. [https://mathworld.wolfram.com/Set.html Set]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref> Ini dapat menjadi [[himpunan kosong]], jika tidak ada nilai <math>x </math> memenuhi rumusnya.

	=== Menentukan daerah asal ===		=== Menentukan daerah asal ===
	Sebuah daerah asal <math>E</math> dapat muncul di sebelah kiri dari garis vertikal:		Sebuah daerah asal <math>E</math> dapat muncul di sebelah kiri dari garis vertikal:<ref>[https://www.mathsisfun.com/sets/set-builder-notation.html Set-Builder Notation]. ''mathsisfun.com''.</ref>

	:<math>\{x \in E \mid \Phi(x) \}</math>		:<math>\{x \in E \mid \Phi(x) \}</math>
Baris 49:		Baris 49:
	Simbol <math>\in</math> di sini melambangkan [[Elemen (matematika)\|anggota himpunan]], sedangkan simbol <math>\land</math> melambangkan operator logis "dan", dikenal sebagai [[konjungsi logis]]. Notasi ini mewakili himpunan semua nilai <math>x</math><math>x</math> yang menjadi miliki suatu himpunan <math>E</math> yang diberikan yang predikatnya adalah benar (lihat "[[Notasi ungkapan himpunan#Aksioma keberadaan himpunan\|Aksioma keberadaan himpunan]]". Jika <math>\Phi(x) </math> adalah sebuah konjugnsi <math>\Phi_1(x) \land \Phi_2(x)</math>, maka <math>\{x \in E \mid \Phi(x) \}</math> terkadang ditulis <math>\{x \in E \mid \Phi_1(x), \Phi_2(x) \}</math>, menggunakan sebuah koma sebagai ganti dari simbol <math>\land</math>.		Simbol <math>\in</math> di sini melambangkan [[Elemen (matematika)\|anggota himpunan]], sedangkan simbol <math>\land</math> melambangkan operator logis "dan", dikenal sebagai [[konjungsi logis]]. Notasi ini mewakili himpunan semua nilai <math>x</math><math>x</math> yang menjadi miliki suatu himpunan <math>E</math> yang diberikan yang predikatnya adalah benar (lihat "[[Notasi ungkapan himpunan#Aksioma keberadaan himpunan\|Aksioma keberadaan himpunan]]". Jika <math>\Phi(x) </math> adalah sebuah konjugnsi <math>\Phi_1(x) \land \Phi_2(x)</math>, maka <math>\{x \in E \mid \Phi(x) \}</math> terkadang ditulis <math>\{x \in E \mid \Phi_1(x), \Phi_2(x) \}</math>, menggunakan sebuah koma sebagai ganti dari simbol <math>\land</math>.

	Umumnya, ini bukanlah sebuah ide yang baik untuk menganggap himpunan tanpa menentukan sebuah daerah asal, karena ini akan mewakili [[himpunan bagian]] dari ''semua kemungkinan hal-hal yang mungkin ada'' untuk yang predikatnya adalah benar. Ini dapat dengan mudah mengarah ke kontradiksi dan paradoks. Misalnya, [[paradoks Russell]] menunjukkan bahwa ungkapan <math>\{x \mid x \notin x\}</math>, meskipun tampaknya dibentuk dengan baik sebagai sebuah notasi ungkapan himpunan, tidak dapat mendefinisikan sebuah himpunan tanpa menghasilkan sebuah kontradiksi.		Umumnya, ini bukanlah sebuah ide yang baik untuk menganggap himpunan tanpa menentukan sebuah daerah asal, karena ini akan mewakili [[himpunan bagian]] dari ''semua kemungkinan hal-hal yang mungkin ada'' untuk yang predikatnya adalah benar. Ini dapat dengan mudah mengarah ke kontradiksi dan paradoks. Misalnya, [[paradoks Russell]] menunjukkan bahwa ungkapan <math>\{x \mid x \notin x\}</math>, meskipun tampaknya dibentuk dengan baik sebagai sebuah notasi ungkapan himpunan, tidak dapat mendefinisikan sebuah himpunan tanpa menghasilkan sebuah kontradiksi.<ref>Andrew David Irvine. [http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ Russell's Paradox]. 9 October 2016.</ref>

	Dalam kasus di mana himpunan <math>E</math> jelas dari konteks, ini mungkin tidak ditentukan secara eksplisit. Ini biasanya dalam sastra untuk sebuah penulis untuk menyatakan daerah asal sebelumnya, dan kemudian tidak menentukannya dalam notasi ungkapan himpunan. Contohnya, seorang penulis dapat mengatakan sesuatu sebagai, "Kecuali jika tidak dinyatakan, peubah-peubahnya harus diambil menjadi bilangan asli."		Dalam kasus di mana himpunan <math>E</math> jelas dari konteks, ini mungkin tidak ditentukan secara eksplisit. Ini biasanya dalam sastra untuk sebuah penulis untuk menyatakan daerah asal sebelumnya, dan kemudian tidak menentukannya dalam notasi ungkapan himpunan. Contohnya, seorang penulis dapat mengatakan sesuatu sebagai, "Kecuali jika tidak dinyatakan, peubah-peubahnya harus diambil menjadi bilangan asli."
Baris 113:		Baris 113:
	Di Python, penjepit ungkapan himpunan digantikan dengan kurung siku persegi "[]", kurung "()", atau kurung kurawal "{}", memberikan daftar, [[Pembangkit (ilmu komputer)\|pembangkit]], dan objek himpunan, masing-masing. Python menggunakan sebuah sintaks berbasis Inggris. Haskell menggnatikan penjepit ungkapan himpunan dengan kurung siku persegi dan menggunakan simbol, termasuk garis vertikal ungkapan himpunan standar.		Di Python, penjepit ungkapan himpunan digantikan dengan kurung siku persegi "[]", kurung "()", atau kurung kurawal "{}", memberikan daftar, [[Pembangkit (ilmu komputer)\|pembangkit]], dan objek himpunan, masing-masing. Python menggunakan sebuah sintaks berbasis Inggris. Haskell menggnatikan penjepit ungkapan himpunan dengan kurung siku persegi dan menggunakan simbol, termasuk garis vertikal ungkapan himpunan standar.

	Hal yang sama dapat diperoleh di [[Scala (bahasa pemrograman)\|Scala]] menggunakan Sequence Comprehensions, di mana kata kunci "for" sesuai dengan sebuah daftar dari peubah yang dihasilkan menggunakan kata kunci "yield".		Hal yang sama dapat diperoleh di [[Scala (bahasa pemrograman)\|Scala]] menggunakan Sequence Comprehensions, di mana kata kunci "for" sesuai dengan sebuah daftar dari peubah yang dihasilkan menggunakan kata kunci "yield".<ref>[http://docs.scala-lang.org/tutorials/tour/sequence-comprehensions.html Sequence Comprehensions]. Scala.</ref>

	Anggaplah contoh-contoh notasi ungkapan himpunan ini dalam beberapa bahasa pemrograman:		Anggaplah contoh-contoh notasi ungkapan himpunan ini dalam beberapa bahasa pemrograman:

			{\| class="wikitable"
			\|-
			! !! Contoh 1 !! Contoh 2
			\|-
			! Ungkapan himpunan
			\| <math>\{l\ \|\ l \in L\}</math> \|\| <math>\{(k, x)\ \|\ k \in K \wedge x \in X \wedge P(x) \}</math>
			\|-
			! scope="row" \| [[Python (bahasa pemrograman)\|Python]]
			\| <syntaxhighlight lang="python">{l for l in L}</syntaxhighlight> \|\| <syntaxhighlight lang="python">{(k, x) for k in K for x in X if P(x)}</syntaxhighlight>
			\|-
			! scope="row" \| [[Haskell]]
			\| <syntaxhighlight lang="haskell">[l \| l <- ls]</syntaxhighlight> \|\| <syntaxhighlight lang="haskell">[(k, x) \| k <- ks, x <- xs, p x]</syntaxhighlight>
			\|-
			! scope="row" \| [[Scala (bahasa pemrograman)\|Scala]]
			\| <syntaxhighlight lang="scala">for (l <- L) yield l</syntaxhighlight> \|\| <syntaxhighlight lang="scala">for (k <- K; x <- X if P(x)) yield (k,x)</syntaxhighlight>
			\|-
			! scope="row" \| [[C Sharp (bahasa pemrograman)\|C#]]
			\| <syntaxhighlight lang="csharp">from l in L select l</syntaxhighlight> \|\| <syntaxhighlight lang="csharp">from k in K from x in X where P(x) select (k,x)</syntaxhighlight>
			\|-
			! scope="row" \| [[SQL]]
			\| <syntaxhighlight lang="sql">SELECT l FROM L_set</syntaxhighlight> \|\| <syntaxhighlight lang="sql"> SELECT k, x FROM K_set, X_set WHERE P(x)</syntaxhighlight>
			\|}

	Notasi ungkapan himpunannya dan daftar notasi pemahaman adalah keduanya contoh notasi lebih umum dikenal sebagai ''pemahaman monad'', yang membiarkan operasi seperti peta/tapis pada suatu ''[[Monad (pemrograman fungsional)\|monad]]'' dengan sebuah [[unsur nol]].		Notasi ungkapan himpunannya dan daftar notasi pemahaman adalah keduanya contoh notasi lebih umum dikenal sebagai ''pemahaman monad'', yang membiarkan operasi seperti peta/tapis pada suatu ''[[Monad (pemrograman fungsional)\|monad]]'' dengan sebuah [[unsur nol]].

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Glosarium teori himpunan]]		* [[Glosarium teori himpunan]]

	== Catatan ==		== Catatan ==

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+ungkapan+himpunan&oldid=28438137 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28438137 (2025-11-13T02:58:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+ungkapan+himpunan&oldid=28438137 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28438137 (2025-11-13T02:58:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28438137; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:20:05Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28438137; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori himpunan]], dan penerapannya dalam [[logika]], [[matematika]], dan [[ilmu komputer]], '''notasi pembentuk himpunan''' (juga disebut '''notasi ungkapan himpunan''') merupakan sebuah [[Notasi matematika|notasi matematis]] untuk menjelaskan suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dengan menyatakan sifat-sifat yang harus dipenuhi anggota himpunan tersebut.

Mendefinisikan himpunan-himpunan oleh sifat-sifat juga dikenal sebagai '''pemahaman himpunan''', '''keniskalaan himpunan''' atau sebagai mendefinisikan "intensi" () suatu himpunan.

== Menyatakan himpunan dengan menuliskan semua anggotanya ==
Suatu [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dapat dinyatakan secara langsung dengan menyebut satu demi satu semua unsurnya antara kurung kurawal, seperti:

* <math>\{7,3,15,31\}</math> adalah himpunan berisi empat bilangan, 3, 7, 15, dan 31, dan tidak ada lagi.
* <math>\{a,c,b\} = \{a,b,c\}</math> adalah himpunan berisi <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>c</math>, dan tidak ada lagi (tidak ada urutan antar unsur dalam himpunan).

Ini terkadang disebut "metode daftar" untuk menentukan sebuah himpunan.

Notasi [[elipsis]] dapat digunakan apabila hendak melambangkan himpunan yang berisi unsur-unsur dari sebuah barisan beraturan, seperti:

* <math>\{1,2,3,\dots,100\}</math> adalah himpunan bilangan bulat antara 1 dan 100, temasuk 1 san 100 itu.
* <math>\{1,2,3,\dots\}</math> adalah himpunan [[bilangan asli]].
* <math>\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} = \{0,1,-1,2,-2,\dots\} </math> adalah himpunan semua bilangan bulat.

Tidak ada urutan antar unsur dalam himpunan (ini menjelaskan keabsahan kesamaan dari contoh terakhir di atas), tapi dengan notasi elipsis, kita menggunakan sebuah barisan terurut sebelum (atau setelah) elipsisnya sebagai sebuah pembawa notasi konvensional untuk menjelaskan yang mana unsur-unsurnya ada di dalam sebuah himpunan. Beberapa unsur pertama dari barisan ditunjukkan, maka elipsisnya mengindikasikan bahwa interpretasi paling sederhana harus diterapkan untuk melanjutkan barisan. Tidak harus mengakhiri nilai yang muncul ke sebelah kanan dari elipsis, maka barisannya dianggap menjadi tak terbatas.

Umumnya, <math>\{1,\dots,n\}</math> melambangkan himpunan semua bilangan asli <math>i</math> sehingga <math>1 \le i \le n</math>. Notasi lainnya untuk <math>\{1,\dots,n\}</math> adalah notasi kurung siku <math>[n]</math>. Sebuah kasus khusus yang halus adalah <math>n = 0</math>, yang mana <math>[0] = \{1,\dots,0\}</math> sama dengan [[himpunan kosong]] <math>\emptyset</math>. Dengan cara yang serupa, <math>\{a_1,\dots,a_n\}</math> melambangkan himpunan semua <math>a_i</math> untuk <math>1 \le i \le n</math>.

Dalam setiap contoh sebelumnya, setiap himpunan digambarkan dengan menyebut unsurnya satu demi satu. Tidak semua himpunan dapat digambarkan dalam hal ini, atau jika dapat, menyebut satu demi satunya dapat menjadi terlalu lama atau terlalu rumit untuk digunakan. Oleh karena itu, banyak himpunan dapat didefinisikan oleh sebuah sifat yang mencirikan unsur-unsurnya. Pencirian ini dapat diselesaikan secara informal menggunakan gancaran umum, seperti di contoh berikutnya.

* <math>\{</math> beralamat Jl. Nenas <math>\}</math> merupakan himpunan semua tempat yang beralamat di Jl. Nenas.

Namun, pendekatan gancarannya dapat mengurangi ketepatan atau menjadi ambigu. Dengan demikian, notasi ungkapan himpunan sering kali digunakan dengan sebuah predikat mencirikan unsurnya dari himpunan menjadi terdefinisikan.

== Menyatakan himpunan dengan notasi ungkapan himpunan ==
Notasi ungkapan himpunan dapat digunakan untuk menjelaskan himpunan-himpunan yang didefinisikan oleh suatu predikat, daripada penyebutan satu demi satu secara eksplisit. Dalam bentuk ini, notasi ungkapan himpunan memiliki tiga bagian: peubah, tanda pemisah yaitu [[tanda titik dua]] atau [[batang vertikal|garis vertikal]], dan predikat. Sehingga peubah terletak di sebelah kiri, dan predikat yang menjadi sifat himpunan berada di sebelah kanan. Tiga bagian berisi di dalam kurung kurawal, seperti:

:<math>\{x \mid \Phi(x) \}</math>

atau

:<math>\{x : \Phi(x) \}</math>

Garis vertikal (atau tanda titik dua) merupakan sebuah pemisah yang dapat dibaca sebagai "'''sedemikian sehingga'''". "untuk yang", atau "dengan sifatnya bahwa". Rumus <math>\Phi(x)</math> dikatakan menjadi ''kaidah'' atau ''predikat''. Semua nilai <math>x</math> untuk yang predikatnya berlaku (adalah benar) menjadi miliki himpunan telah didefinisikan. Semua nilai <math>x </math> untuk yang predikatnya tidak berlaku tidak menjadi milik himpunannya. Demikian, <math>\{x \mid \Phi(x)\}</math> adalah himpunan semua nilai <math>x </math> yang memenuhi rumus <math>\Phi</math>. Ini dapat menjadi [[himpunan kosong]], jika tidak ada nilai <math>x </math> memenuhi rumusnya.

=== Menentukan daerah asal ===
Sebuah daerah asal <math>E</math> dapat muncul di sebelah kiri dari garis vertikal:

:<math>\{x \in E \mid \Phi(x) \}</math>

atau dengan berdampingannya menjadi predikat:

:<math>\{ x \mid x \in E \text{ dan } \Phi(x)\}\quad\text{atau}\quad\{ x \mid x \in E \land \Phi(x)\}</math>

Simbol <math>\in</math> di sini melambangkan [[Elemen (matematika)|anggota himpunan]], sedangkan simbol <math>\land</math> melambangkan operator logis "dan", dikenal sebagai [[konjungsi logis]]. Notasi ini mewakili himpunan semua nilai <math>x</math><math>x</math> yang menjadi miliki suatu himpunan <math>E</math> yang diberikan yang predikatnya adalah benar (lihat "[[Notasi ungkapan himpunan#Aksioma keberadaan himpunan|Aksioma keberadaan himpunan]]". Jika <math>\Phi(x) </math> adalah sebuah konjugnsi <math>\Phi_1(x) \land \Phi_2(x)</math>, maka <math>\{x \in E \mid \Phi(x) \}</math> terkadang ditulis <math>\{x \in E \mid \Phi_1(x), \Phi_2(x) \}</math>, menggunakan sebuah koma sebagai ganti dari simbol <math>\land</math>.

Umumnya, ini bukanlah sebuah ide yang baik untuk menganggap himpunan tanpa menentukan sebuah daerah asal, karena ini akan mewakili [[himpunan bagian]] dari ''semua kemungkinan hal-hal yang mungkin ada'' untuk yang predikatnya adalah benar. Ini dapat dengan mudah mengarah ke kontradiksi dan paradoks. Misalnya, [[paradoks Russell]] menunjukkan bahwa ungkapan <math>\{x \mid x \notin x\}</math>, meskipun tampaknya dibentuk dengan baik sebagai sebuah notasi ungkapan himpunan, tidak dapat mendefinisikan sebuah himpunan tanpa menghasilkan sebuah kontradiksi.

Dalam kasus di mana himpunan <math>E</math> jelas dari konteks, ini mungkin tidak ditentukan secara eksplisit. Ini biasanya dalam sastra untuk sebuah penulis untuk menyatakan daerah asal sebelumnya, dan kemudian tidak menentukannya dalam notasi ungkapan himpunan. Contohnya, seorang penulis dapat mengatakan sesuatu sebagai, "Kecuali jika tidak dinyatakan, peubah-peubahnya harus diambil menjadi bilangan asli."

=== Contoh-contoh ===
Contoh-contoh berikut mengilustrasikan himpunan-himpunan khusus didefinisikan oleh notasi ungkapan himpunan melalui predikat-predikat. Dalam setiap kasus, daerah asalnya ditentukan di sebelah kiri dari garis vertikal, sedangkan kaidahnya ditentukan di sebelah kanan.

* <math>\{x \in \R \mid x > 0 \}</math> merupakan himpunan semua [[bilangan real]] [[Tanda (matematika)#Terminologi tanda bagi non-negatif dan non-positif|positif]] sempurna, yang dapat ditulis dalam notasi selang sebagai <math>(0,\infty)</math>.
* <math>\{x \in \R \mid \left|x \right| = 1 \}</math> merupakan himpaunn dari <math>\{-1,1\}</math>. Himpunan ini dapat juga didefinisikan sebagai <math>\{x \in \R \mid x^2 = 1 \}</math>; lihat [[Notasi ungkapan himpunan#Predikat yang setara menghasilkan himpunan yang sama|predikat yang setara menghasilkan himpunan yang sama]] di bawah.
* Untuk setiap bilangan bulat <math>m</math>, kita dapat mendefinisikan <math>G_m = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge m \} = \{ m, m + 1, m + 2, \ldots\}</math>. Sebagai sebuah contoh, <math>G_3 = \{x \in \mathbb{Z} \mid x \ge 3 \} = \{ 3, 4, 5, \ldots\}</math> dan <math>G_{-2} = \{ -2, -1, 0, \ldots\}</math>.
* <math>\{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid 0 < y < f(x) \}</math> merupakan himpunan pasangan bilangan real sehingga <math>y</math> lebih besar dari <math>0</math> dan lebih kecil dari <math>f(x)</math>, untuk sebuah [[Fungsi (matematika)|fungsi]] <math>f</math> yang diberikan. Di sini [[Produk Kartesius|darab Cartesius]] <math>\R \times \R</math> melambangkan himpunan [[pasangan terurut]] bilangan real.
* <math>\{n \in \mathbb{N} \mid (\exists k) [k\in \mathbb{N}\land n = 2k] \}</math> merupakan himpunan semua [[bilangan asli]] [[Bilangan genap|genap]]. Tanda <math>\wedge</math> merupakan kepanjangan dari "dan", yang dikenal sebagai [[konjungsi logis]]. Tanda <math>\exists</math> merupakan kepanjangan dari "terdapat adanya", yang dikenal sebagai [[kuantifikasi eksistensial]]. Jadi misalnya, <math>(\exists x)P(x)</math> dibaca sebagai "terdapat adanya sebuah <math>x</math> sehingga <math>P(x)</math>".
* <math>\{n \mid (\exists k \in \mathbb{N} ) [n = 2k] \} </math> merupakan sebuah ragam notasi untuk himpunan yang sama mengenai bilangan asli genap. Ini tidak perlu untuk menentukan bahwa <math>n</math> adalah sebuah bilangan asli, karena ini disiratkan oleh rumus di sebelah kanan.
* <math>\{a \in \mathbb{R} \mid (\exists p\in \mathbb{Z} )(\exists q\in \mathbb{Z} )[ q \not = 0 \land aq=p] \}</math> merupakan himpunan [[bilangan rasional]]; yaitu, bilangan real yang dapat ditulis sebagai nisbah dua [[bilangan bulat]].

== Ungkapan yang lebih kompleks di sebelah kiri notasi ==
Sebuah perluasan notasi ungkapan himpunan menggantikan peubah tunggal <math>x</math> dengan sebuah [[Ungkapan (matematika)|ungkapan]]. Jadi sebagai gantinya <math>\{x \mid \Phi(x) \}</math>, kita mungkin memiliki <math>\{ \Psi(x) \mid \Phi(x)\}</math> yang seharusnya dibaca

:<math>\{ \Psi(x) \mid \Phi(x)\}=\{y\mid\exists (x), y=\Psi(x)\text{ dan }\Phi(x)\}</math>

Contohnya:

* <math>\{2 n \mid n \in \mathbb N\}</math>, di mana <math>\mathbb{N}</math> adalah himpunan semua bilangan asli, merupakan himpunan semua bilangan asli genap.
* <math>\{p/q \mid p,q \in \mathbb Z, q \not = 0 \}</math>, di mana <math>\mathbb{Z}</math> adalah himpunan semua bilangan bulat, adalah <math>\mathbb{Q}</math>, himpunan semua bilangan rasional.
* <math>\{ 2 t + 1 \mid t \in \mathbb Z\}</math> adalah himpunan bilangan bulat ganjil.
* <math>\{ (t, 2 t + 1) \mid t \in \mathbb Z\}</math> menciptakan sebuah himpunan pasangan, di mana setiap pasangan menaruh padanan ke dalam sebuah bilangan bulat dengan sebuah bilangan bulat ganjil.

Ketika [[fungsi invers]] dapat dinyatakan secara eksplisit, ungkapannya di sebelah kiri dapat dieliminasikan melalui substitusi sederhana. Anggap himpunan contohnya <math>\{ 2 t + 1 \mid t \in \mathbb Z\}</math>. Buat substitusi <math>u = 2t + 1</math>, yang berarti <math>t = \frac{u-1}{2}</math>, kemudian menggantikan <math>t</math> dalam notasi ungkapan himpunan untuk mencari

:<math>\{ 2 t + 1 \mid t \in \mathbb Z\} = \{ u \mid (u- 1)/2 \in \mathbb Z\}</math>

== Predikat yang setara menghasilkan himpunan yang sama ==
Dua himpunan dapat dikatakan sama [[jika dan hanya jika]] mereka memiliki unsur yang sama. Himpunan didefinisikan oleh notasi ungkapan himpunan adalah sama jika dan hanya jika kaidah ungkapan himpunannya, termasuk penentu daerah asalnya, adalah setara. Yakni

:<math>\{ x \in A \mid P(x) \}=\{ x \in B \mid Q(x) \}</math>

jika dan hanya jika

:<math>(\forall t)[ (t \in A \land P(t)) \Leftrightarrow (t \in B \land Q(t))]</math>

Oleh karena itu, dengan tujuan untuk membuktikan persamaan dua himpunan didefinisikan oleh notasi ungkapan himpunan, ini cukup untuk membuktikan kesetaraan predikatnya, termasuk pemberi sifat daerah asal.

Contohnya,

:<math> \{ x \in \mathbb{R}\mid x^2 = 1 \} = \{ x \in \mathbb{Q} \mid |x| = 1 \} </math>

karena dua predikat kaidahnya adalah setara secara logis:

:<math>(x \in \mathbb{R} \land x^2 = 1) \Leftrightarrow (x \in \mathbb{Q} \land |x| = 1)</math>

Kesetaraan ini berlaku karena, untuk suatu bilangan real <math>x</math>, kita memiliki <math>x^2 = 1</math> jika dan hanya jika <math>x</math> adalah sebuah bilangan rasional dengan <math>\left| x \right| = 1</math>. Khususnya, kedua himpunan sama dengan himpunan <math>\{-1,1\}</math>.

== Aksioma keberadaan himpunan ==
Dalam banyak teori himpunan formal, seperti [[teori himpunan Zermelo–Fraenkel]], notasi ungkapan himpunan bukanlah bagian dari sintaks formal dari teorinya. Sebagai gantinya, terdapat sebuah [[Aksioma pemahaman|skema aksioma keberadaan himpunan]], yang menyatakan bahwa jika <math>E</math> adalah sebuah himpunan dan <math>\Phi(x)</math> adalah sebuah rumus dalam bahasa teori himpunan, maka terdapat sebuah himpunan <math>Y</math> yang anggotanya persis unsur <math>E</math> yang memenuhi <math>\Phi</math>:

:<math>(\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x \in Y \Leftrightarrow x \in E \land \Phi(x)]</math>

Himpunan <math>Y</math> diperoleh dari aksioma ini persis himpunan yang digambarkan dalam notasi ungkapan himpunan sebagai <math>\{x \in E \mid \Phi(x) \} </math>.

== Paralel dalam bahasa pemrograman ==
Sebuah notasi yang serupa tersedia dalam jumlah [[bahasa pemrograman]] (terutama [[Python (bahasa pemrograman)|Python]] dan [[Haskell]]) adalah daftar pemahaman, yang menggabungkan operasi [[Peta (fungsi tingkat tinggi)|peta]] dan [[Tapis (fungsi tingkat tinggi)|tapis]] pada satu [[Daftar komputasi|daftar]] atau lebih.

Di Python, penjepit ungkapan himpunan digantikan dengan kurung siku persegi "[]", kurung "()", atau kurung kurawal "{}", memberikan daftar, [[Pembangkit (ilmu komputer)|pembangkit]], dan objek himpunan, masing-masing. Python menggunakan sebuah sintaks berbasis Inggris. Haskell menggnatikan penjepit ungkapan himpunan dengan kurung siku persegi dan menggunakan simbol, termasuk garis vertikal ungkapan himpunan standar.

Hal yang sama dapat diperoleh di [[Scala (bahasa pemrograman)|Scala]] menggunakan Sequence Comprehensions, di mana kata kunci "for" sesuai dengan sebuah daftar dari peubah yang dihasilkan menggunakan kata kunci "yield".

Anggaplah contoh-contoh notasi ungkapan himpunan ini dalam beberapa bahasa pemrograman:

Notasi ungkapan himpunannya dan daftar notasi pemahaman adalah keduanya contoh notasi lebih umum dikenal sebagai ''pemahaman monad'', yang membiarkan operasi seperti peta/tapis pada suatu ''[[Monad (pemrograman fungsional)|monad]]'' dengan sebuah [[unsur nol]].

== Lihat pula ==

* [[Glosarium teori himpunan]]

== Catatan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Notasi+ungkapan+himpunan&oldid=28438137 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28438137 (2025-11-13T02:58:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.