Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:04:05Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.04
Baris 19:		Baris 19:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* Setiap himpunan ''G'' dari struktur [[Grup (matematika)\|grup]] ( ''G'', ''m'', ''u'', <sup>−1</sup> ) didefinisikan sebagai objek grup dalam kategori [[Teori himpunan\|himpunan]]. Peta ''m'' adalah operasi grup, peta ''e'' (di mana domainnya [[Singleton (matematika)\|singleton]]) elemen identitas ''u'' dari ''G'', dan ''inv'' peta kebalikannya ke elemen grup. ''e'' <sub>''G''</sub> : ''G'' → ''G'' adalah peta order elemen ''G'' ke elemen identitas.		* Setiap himpunan ''G'' dari struktur [[Grup (matematika)\|grup]] ( ''G'', ''m'', ''u'', <sup>−1</sup> ) didefinisikan sebagai objek grup dalam kategori [[Teori himpunan\|himpunan]]. Peta ''m'' adalah operasi grup, peta ''e'' (di mana domainnya [[Singleton (matematika)\|singleton]]) elemen identitas ''u'' dari ''G'', dan ''inv'' peta kebalikannya ke elemen grup. ''e'' <sub>''G''</sub> : ''G'' → ''G'' adalah peta order elemen ''G'' ke elemen identitas.
	* [[Grup topologi]] adalah grup objek dalam kategori [[Topologi\|ruang topologi]] dengan [[fungsi kontinu]] .		* [[Grup topologi]] adalah grup objek dalam kategori [[Topologi\|ruang topologi]] dengan [[fungsi kontinu]] .
Baris 34:		Baris 33:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Aljabar hopf]] dapat dilihat sebagai generalisasi objek kelompok ke [[kategori monoid]] .		* [[Aljabar hopf]] dapat dilihat sebagai generalisasi objek kelompok ke [[kategori monoid]] .
	* [[Objek groupoid\|Objek grupoid]]		* [[Objek groupoid\|Objek grupoid]]

	~~== Referensi ==~~
	~~[[Templat:Lang Algebra]]~~



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Objek+grup&oldid=28423941 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28423941 (2025-11-12T08:16:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Objek+grup&oldid=28423941 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28423941 (2025-11-12T08:16:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28423941; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:30:23Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28423941; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori kategori]], cabang [[matematika]], '''objek grup''' adalah generalisasi tertentu dari [[Grup (matematika)|grup]] di atas struktur yang lebih rumit dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]]. Contoh tipikal dari objek grup adalah [[grup topologi]], grup yang himpunan dasarnya adalah [[ruang topologi]]s sehingga operasi grup [[Fungsi kontinu|kontinu]].

== Definisi ==
Secara formal, dengan [[Kategori (matematika)|kategori]] ''C'' dengan produk hingga (misalkan, ''C'' memiliki [[Objek terminal dan initial|objek terminal]] 1 dan dua [[Kategori (matematika)|objek]] ''C'' memiliki [[Produk (teori kategori)|hasil kali]]). '''Objek grup''' dalam ''C'' adalah objek ''G'' dari ''C'' dengan [[morfisme]]

* ''m'' : ''G'' × ''G'' → ''G'' (sebagai "perkalian grup")
* ''e'' : 1 → ''G'' (sebagai "penyertaan elemen identitas")
* ''inv'' : ''G'' → ''G'' (sebagai "operasi inversi")

sedemikian rupa sehingga sifat berikut (dimodelkan pada aksioma grup, pada [[Aljabar universal|definisi grup]] digunakan dalam [[aljabar universal]])

* ''m'' adalah asosiatif, yaitu ''m'' ( ''m'' × id ''G'' ) = ''m'' (id ''G'' × ''m'' ) sebagai morfisme ''G'' × ''G'' × ''G'' → ''G'', dan misalnya ''m'' × id ''G'' : ''G'' × ''G'' × ''G'' → ''G'' × ''G'' ; di sini kami mengidentifikasi ''G'' × ( ''G'' × ''G'' ) secara kanonik dengan ( ''G'' × ''G'' ) × ''G.''
* ''e'' adalah satuan dua sisi ''m'', yaitu ''m'' (id ''G'' × ''e'' ) = ''p'' 1, di mana ''p'' 1 : ''G'' × 1 → ''G'' adalah proyeksi kanonik, dan ''m'' ( ''e'' × id ''G'' ) = ''p'' 2, di mana ''p'' 2 : 1 × ''G'' → ''G'' adalah proyeksi kanonik
* ''inv'' adalah invers dua sisi untuk ''m'', yaitu jika ''d'' : ''G'' → ''G'' × ''G'' adalah peta diagonal, dan ''e'' ''G'' : ''G'' → ''G'' adalah komposisi morfisme unik ''G'' → 1 (disebut juga kounit) dengan ''e'', lalu ''m'' (id ''G'' × ''inv'' ) ''d'' = ''e'' ''G'' dan ''m'' ( ''inv'' × id ''G'' ) ''d'' = ''e'' ''G.''

Perhatikan bahwa ini dinyatakan dalam peta, produk dan invers harus peta dalam kategori, dan tanpa referensi yang mendasari "elemen" objek grup, kategori secara umum tidak memiliki elemen objek mereka.

Cara lain untuk menyatakan hal di atas adalah dengan ''G'' adalah grup objek dalam kategori ''C'' jika untuk objek ''X'' dalam ''C'', terdapat struktur grup pada morfisme Hom ( ''X'', ''G'' ) dari ''X'' ke ''G'' sedemikian rupa sehingga asosiasi ''X'' ke Hom ''(X,'' ''G)'' adalah (kontravarian) [[funktor]] dari ''C'' ke [[kategori grup]].

== Contoh ==

* Setiap himpunan ''G'' dari struktur [[Grup (matematika)|grup]] ( ''G'', ''m'', ''u'', −1 ) didefinisikan sebagai objek grup dalam kategori [[Teori himpunan|himpunan]]. Peta ''m'' adalah operasi grup, peta ''e'' (di mana domainnya [[Singleton (matematika)|singleton]]) elemen identitas ''u'' dari ''G'', dan ''inv'' peta kebalikannya ke elemen grup. ''e'' ''G'' : ''G'' → ''G'' adalah peta order elemen ''G'' ke elemen identitas.
* [[Grup topologi]] adalah grup objek dalam kategori [[Topologi|ruang topologi]] dengan [[fungsi kontinu]] .
* [[Grup Lie]] adalah grup objek dalam kategori [[Lipatan (matematika)|lipatan]] [[Peta smuth|halus]] dengan [[peta smuth]] .
* [[Superrup Lie|Supergrup Lie]] adalah grup objek dalam kategori [[supermanifold]].
* [[Grup aljabar]] adalah grup objek dalam kategori [[varietas aljabar]]. Dalam [[geometri aljabar]] modern, mempertimbangkan [[skema grup]], mengelompokkan objek dalam kategori [[Skema (matematika)|skema]].
* Grup lokal adalah objek grup dalam kategori [[Lokal (matematika)|lokal]] .
* Objek grup dalam kategori grup (atau [[monoid]] ) adalah [[Grup Abelian|grup abelian]] . Alasannya adalah, jika ''inv'' diasumsikan homomorfisme, maka ''G'' harus abelian. Lebih tepatnya: jika ''A'' adalah kelompok abelian dan kita dilambangkan dengan ''m'' perkalian kelompok ''A,'' melalui ''e'' dimasukkannya unsur identitas, dan dengan ''inv'' operasi inversi pada ''A,'' maka ''(A,'' ''m,'' ''e,'' ''inv)'' adalah objek kelompok dalam kategori grup (atau monoid). Sebaliknya, jika ( ''A'', ''m'', ''e'', ''inv'' ) adalah objek grup dalam salah satu kategori tersebut, maka ''m'' harus bertepatan dengan operasi yang diberikan pada ''A'', ''e'' adalah penyertaan elemen identitas tertentu pada ''A'', ''inv'' adalah operasi inversi dan ''A'' dengan operasi yang diberikan adalah grup abelian. Lihat pula [[Argumen Eckmann – Hilton|argumen Eckmann–Hilton]] .
* [[Grup-2]] adalah objek grup dalam [[Kategori kategori kecil|kategori kecil]] .
* Mengingat kategori ''C'' dengan terbatas [[koproduk]], '''benda kogrup''' adalah ''G'' objek ''C'' dengan "comultiplication" ''m:'' ''G'' → ''G'' <math>\oplus</math> ''G,'' "coidentity" ''e'' : ''G'' → 0, dan "coinversion" ''inv'' : ''G'' → ''G'' yang memenuhi versi [[Ganda (teori kategori)|ganda]] aksioma untuk objek grup. Di mana 0 adalah [[Objek terminal dan initial|objek awal]] ''C.'' Objek kogrup terjadi di dalam [[topologi aljabar]].

== Generalisasi teori grup ==
Banyak [[teori grup]] dapat dirumuskan dalam konteks objek grup yang lebih umum. [[Grup homomorfisme|Pengertian grup homomorfisme]] , [[subgrup]], [[subgrup normal]] dan [[Teorema Isomorfisme|teorema isomorfisme]] adalah contoh tipikal. Namun, hasil teori grup yang berbicara tentang elemen individu, atau urutan elemen atau subkelompok tertentu, biasanya tidak dapat digeneralisasikan ke objek grup secara langsung.

== Lihat pula ==

* [[Aljabar hopf]] dapat dilihat sebagai generalisasi objek kelompok ke [[kategori monoid]] .
* [[Objek groupoid|Objek grupoid]]

== Referensi ==
[[Templat:Lang Algebra]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Objek+grup&oldid=28423941 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28423941 (2025-11-12T08:16:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Objek grup - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28423941; atribusi sumber disertakan.