Pecahan tak tersederhanakan - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:01:40Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.01
Baris 1:		Baris 1:
	'''Pecahan tak tersederhanakan''' () adalah [[pecahan]] dengan pembilang dan penyebutnya berupa [[bilangan bulat]] tetapi tidak mempunyai [[pembagi]] yang sama selain 1, dan juga selain −1 jika bilangannya negatif. Dengan kata lain, pecahan dikatakan tak tersederhanakan jika dan hanya jika dan adalah [[Koprima (bilangan)\|bilangan koprima]], dalam artian bahwa jika dan mempunyai [[faktor persekutuan terbesar]] dari 1.		'''Pecahan tak tersederhanakan''' () adalah [[pecahan]] dengan pembilang dan penyebutnya berupa [[bilangan bulat]] tetapi tidak mempunyai [[pembagi]] yang sama selain 1, dan juga selain −1 jika bilangannya negatif.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan+tak+tersederhanakan&oldid=24452674 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Dengan kata lain, pecahan dikatakan tak tersederhanakan jika dan hanya jika dan adalah [[Koprima (bilangan)\|bilangan koprima]], dalam artian bahwa jika dan mempunyai [[faktor persekutuan terbesar]] dari 1.

	Ada sebuah definisi ekuivalen yang terkadang berguna. Definisi tersebut mengatakan:		Ada sebuah definisi ekuivalen yang terkadang berguna. Definisi tersebut mengatakan:
Baris 6:		Baris 6:
	Sebagai contoh, , , dan adalah pecahan tak tersederhanakan. Sedangkan pecahan seperti adalah pecahan tersederhanakan karena nilainya sama dengan , dan pembilang dari lebih kecil dari pembilang .		Sebagai contoh, , , dan adalah pecahan tak tersederhanakan. Sedangkan pecahan seperti adalah pecahan tersederhanakan karena nilainya sama dengan , dan pembilang dari lebih kecil dari pembilang .

	Pecahan tersederhanakan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang penyebut dengan faktor yang sama. Pecahan dapat disederhanakan lebih lagi hingga mencapai nilai terkecil jika pembilang dan penyebut dibagi dengan [[faktor persekutuan terbesar]] darinya. Cara mencari faktor persekutuan terbesar darinya adalah dengan menggunakan [[algoritma Euklides]] atau [[faktorisasi prima]], dan algoritma Euklides adalah pemakaian yang paling umum karena metodenya dapat menyederhanakan pecahan dengan pembilang dan penyebutnya yang terlalu besar difaktorkan dengan mudah.		Pecahan tersederhanakan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang penyebut dengan faktor yang sama. Pecahan dapat disederhanakan lebih lagi hingga mencapai nilai terkecil jika pembilang dan penyebut dibagi dengan [[faktor persekutuan terbesar]] darinya.<ref>Judith D. Sally. [https://books.google.com/books?id=Ntjq07-FA_IC&pg=PA131 Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers]. American Mathematical Society. 2012. Vol. 10. hlm. 131–134. ISBN 9780821887981..</ref> Cara mencari faktor persekutuan terbesar darinya adalah dengan menggunakan [[algoritma Euklides]] atau [[faktorisasi prima]], dan algoritma Euklides adalah pemakaian yang paling umum karena metodenya dapat menyederhanakan pecahan dengan pembilang dan penyebutnya yang terlalu besar difaktorkan dengan mudah.<ref>Al Cuoco. [https://books.google.com/books?id=LelYGuQHResC&pg=PA33 Learning Modern Algebra]. Mathematical Association of America. 2013. hlm. 33. ISBN 9781939512017..</ref>

	==Contoh==		==Contoh==
Baris 17:		Baris 17:

	==Ketunggalan==		==Ketunggalan==
			Setiap [[bilangan rasional]] mempunyai representasi ''tunggal'' sebagai pecahan tak tersederhanakan dengan penyebutnya bernilai positif<ref>William Scott. ''Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College''. Longman, Brown, Green, and Longmans. 1844. Vol. 1. hlm. 75..</ref> (akan tetapi, = walaupun kedua pecahan tersebut sama-sama tidak dapat disederhanakan). Ketunggalan merupakan akibat dari [[Teorema dasar aritmetika\|faktorisasi prima tunggal]] dari bilangan bulat, karena menyiratkan . Demikian, kedua sisi pada persamaan terakhir harus membagi faktorisasi bilangan prima yang sama, tetapi dan tidak saling membagi faktor prima sehingga himpunan faktor prima dari (beserta kelipatannya) adalah subhimpunan dari himpunan faktor prima dari , dan begitupula sebaliknya. Hal ini mengartikan bahwa , dan berdasarkan argumen yang sama, .
	Setiap [[bilangan rasional]] mempunyai representasi ''tunggal'' sebagai pecahan tak tersederhanakan dengan penyebutnya bernilai positif (akan tetapi, = walaupun kedua pecahan tersebut sama-sama tidak dapat disederhanakan). Ketunggalan merupakan akibat dari [[Teorema dasar aritmetika\|faktorisasi prima tunggal]] dari bilangan bulat, karena menyiratkan . Demikian, kedua sisi pada persamaan terakhir harus membagi faktorisasi bilangan prima yang sama, tetapi dan tidak saling membagi faktor prima sehingga himpunan faktor prima dari (beserta kelipatannya) adalah subhimpunan dari himpunan faktor prima dari , dan begitupula sebaliknya. Hal ini mengartikan bahwa , dan berdasarkan argumen yang sama, .

	==Penerapan==		==Penerapan==

	Setiap bilangan rasional mempunyai representasi tunggal sebagai pecahan tak tersederhanakan mempunyai penerapan dalam berbagai [[Akar kuadrat dari 2#Bukti keirasionalan\|bukti keirasionalan dari akar kuadrat dari 2]], serta [[bilangan irasional]] lainnya. Sebagai contoh, ketika ingin membuktikan bahwa dapat direpresentasikan sebagai perbandingan dari bilangan bulat, maka secara khusus menyederhanakan sepenuhnya dengan dan kemungkinan merupakan nilai yang paling terkecil; tetapi karena sama dengan . Begitupula untuk		Setiap bilangan rasional mempunyai representasi tunggal sebagai pecahan tak tersederhanakan mempunyai penerapan dalam berbagai [[Akar kuadrat dari 2#Bukti keirasionalan\|bukti keirasionalan dari akar kuadrat dari 2]], serta [[bilangan irasional]] lainnya. Sebagai contoh, ketika ingin membuktikan bahwa dapat direpresentasikan sebagai perbandingan dari bilangan bulat, maka secara khusus menyederhanakan sepenuhnya dengan dan kemungkinan merupakan nilai yang paling terkecil; tetapi karena sama dengan . Begitupula untuk
	:<math>\frac{2b-a}{a-b},</math>		:<math>\frac{2b-a}{a-b},</math>
Baris 27:		Baris 25:

	==Perumuman==		==Perumuman==
			Terdapat gagasan pecahan tak tersederhanakan yang memperumum ke [[lapangan pecahan]] dari sebarang [[domain faktorisasi tunggal]]. Gagasan itu mengatakan bahwa setiap unsur dari suatu medan dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut dan pembilangnya adalah bilangan koprima dengan membaginya berdasarkan faktor persekutuan terbesar darinya.<ref>Paul B. Garrett. [https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183 Abstract Algebra]. CRC Press. 2007. hlm. 183. ISBN 9781584886907..</ref> Secara khusus, hal ini berlaku untuk [[Pecahan rasional\|ekspresi bilangan rasional]] atas lapangan. Pecahan tak tersederhanakan untuk unsur yang diberikan hanya memiliki tepat satu buah perkalian dari penyebut dan pembilang dengan unsur terbalikkan yang sama. Dalam kasus bilangan rasional, ini mengartikan bahwa setiap bilangan mempunyai dua pecahan tak tersederhanakan, yang dikaitkan dengan mengubah tanda pada pembilang dan penyebut, serta keambiguan tersebut dapat dihilangkan dengan membuat penyebut menjadi bernilai positif. Dalam kasus fungsi rasional, penyebut pada pecahan dapat dilakukan dengan serupa, yaitu dengan membuatnya menjadi [[polinomial monik]].<ref>Pierre Antoine Grillet. [https://books.google.com/books?id=CZzSBQAAQBAJ&pg=PA183 Abstract Algebra]. Springer. 2007. Vol. 242. ISBN 9780387715681..</ref>
	Terdapat gagasan pecahan tak tersederhanakan yang memperumum ke [[lapangan pecahan]] dari sebarang [[domain faktorisasi tunggal]]. Gagasan itu mengatakan bahwa setiap unsur dari suatu medan dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut dan pembilangnya adalah bilangan koprima dengan membaginya berdasarkan faktor persekutuan terbesar darinya. Secara khusus, hal ini berlaku untuk [[Pecahan rasional\|ekspresi bilangan rasional]] atas lapangan. Pecahan tak tersederhanakan untuk unsur yang diberikan hanya memiliki tepat satu buah perkalian dari penyebut dan pembilang dengan unsur terbalikkan yang sama. Dalam kasus bilangan rasional, ini mengartikan bahwa setiap bilangan mempunyai dua pecahan tak tersederhanakan, yang dikaitkan dengan mengubah tanda pada pembilang dan penyebut, serta keambiguan tersebut dapat dihilangkan dengan membuat penyebut menjadi bernilai positif. Dalam kasus fungsi rasional, penyebut pada pecahan dapat dilakukan dengan serupa, yaitu dengan membuatnya menjadi [[polinomial monik]].

	== ~~Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	*		*

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan+tak+tersederhanakan&oldid=24452674 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24452674 (2023-10-06T12:58:23Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan+tak+tersederhanakan&oldid=24452674 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24452674 (2023-10-06T12:58:23Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 24452674; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:27:20Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 24452674; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Pecahan tak tersederhanakan''' () adalah [[pecahan]] dengan pembilang dan penyebutnya berupa [[bilangan bulat]] tetapi tidak mempunyai [[pembagi]] yang sama selain 1, dan juga selain −1 jika bilangannya negatif. Dengan kata lain, pecahan dikatakan tak tersederhanakan jika dan hanya jika dan adalah [[Koprima (bilangan)|bilangan koprima]], dalam artian bahwa jika dan mempunyai [[faktor persekutuan terbesar]] dari 1.

Ada sebuah definisi ekuivalen yang terkadang berguna. Definisi tersebut mengatakan:
: Jika dan bilangan bulat, maka pecahan dikatakan tak tersederhanakan jika dan hanya jika tiada pecahan yang sama lainnya sehingga atau , dengan menyatakan notasi [[nilai mutlak]]. Dua pecahan dan dikatakan ''sama'' atau ''ekuivalen'' jika dan hanya jika .

Sebagai contoh, , , dan adalah pecahan tak tersederhanakan. Sedangkan pecahan seperti adalah pecahan tersederhanakan karena nilainya sama dengan , dan pembilang dari lebih kecil dari pembilang .

Pecahan tersederhanakan dapat disederhanakan dengan membagi pembilang penyebut dengan faktor yang sama. Pecahan dapat disederhanakan lebih lagi hingga mencapai nilai terkecil jika pembilang dan penyebut dibagi dengan [[faktor persekutuan terbesar]] darinya. Cara mencari faktor persekutuan terbesar darinya adalah dengan menggunakan [[algoritma Euklides]] atau [[faktorisasi prima]], dan algoritma Euklides adalah pemakaian yang paling umum karena metodenya dapat menyederhanakan pecahan dengan pembilang dan penyebutnya yang terlalu besar difaktorkan dengan mudah.

==Contoh==
Katakanlah adalah pecahan yang ingin disederhanakan. Langkah pertama yang dilakukan adalah membagi pembilang dan penyebut dengan 10, karena merupakan faktor dari 120 dan 90. Langkah yang kedua adalah membaginya dengan 3, sehingga pecahan tersebut menjadi , sebuah pecahan yang tidak dapat disederhanakan karena 4 dan 3 tidak mempunyai faktor yang sama selain 1.

Pecahan tadi dapat disederhanakan hanya sekali dengan menggunakan [[faktor persekutuan terbesar]] dari 90 dan 120, yang hasilnya adalah 30. Saat , dan , maka didapati
:<math> \frac{120}{90}=\frac{4}{3}</math>

Metode yang lebih cepat "dengan menghitung manual" tergantung pada bentuk pecahan dan menemukan faktor terbesarnya dengan mudah. Akan tetapi, ketika penyebut dan pembilang masih terlalu besar, dan kemudian memeriksanya dengan pasti bahwa mereka adalah koprima, maka perhitungan melalui faktor persekutuan terbesar diperlukan agar pasti bahwa pecahannya sudah tidak dapat disederhanakan lagi.

==Ketunggalan==

Setiap [[bilangan rasional]] mempunyai representasi ''tunggal'' sebagai pecahan tak tersederhanakan dengan penyebutnya bernilai positif (akan tetapi, = walaupun kedua pecahan tersebut sama-sama tidak dapat disederhanakan). Ketunggalan merupakan akibat dari [[Teorema dasar aritmetika|faktorisasi prima tunggal]] dari bilangan bulat, karena menyiratkan . Demikian, kedua sisi pada persamaan terakhir harus membagi faktorisasi bilangan prima yang sama, tetapi dan tidak saling membagi faktor prima sehingga himpunan faktor prima dari (beserta kelipatannya) adalah subhimpunan dari himpunan faktor prima dari , dan begitupula sebaliknya. Hal ini mengartikan bahwa , dan berdasarkan argumen yang sama, .

==Penerapan==

Setiap bilangan rasional mempunyai representasi tunggal sebagai pecahan tak tersederhanakan mempunyai penerapan dalam berbagai [[Akar kuadrat dari 2#Bukti keirasionalan|bukti keirasionalan dari akar kuadrat dari 2]], serta [[bilangan irasional]] lainnya. Sebagai contoh, ketika ingin membuktikan bahwa dapat direpresentasikan sebagai perbandingan dari bilangan bulat, maka secara khusus menyederhanakan sepenuhnya dengan dan kemungkinan merupakan nilai yang paling terkecil; tetapi karena sama dengan . Begitupula untuk
:<math>\frac{2b-a}{a-b},</math>
yang memperlihatkan bahwa hasilnya sama ketika mengali-silang ekspresi tersebut dengan . Karena dan lebih besar dari 1, ekspresi yang terakhir merupakan perbandingan dari dua bilangan bulat yang lebih kecil. Bukti ini [[pembuktian melalui kontradiksi|kontradiksi]] dengan pernyataan yang mengatakan bahwa akar kuadrat dari dua mempunyai representasi sebagai perbandingan dari dua bilangan bulat.

==Perumuman==

Terdapat gagasan pecahan tak tersederhanakan yang memperumum ke [[lapangan pecahan]] dari sebarang [[domain faktorisasi tunggal]]. Gagasan itu mengatakan bahwa setiap unsur dari suatu medan dapat ditulis sebagai pecahan dengan penyebut dan pembilangnya adalah bilangan koprima dengan membaginya berdasarkan faktor persekutuan terbesar darinya. Secara khusus, hal ini berlaku untuk [[Pecahan rasional|ekspresi bilangan rasional]] atas lapangan. Pecahan tak tersederhanakan untuk unsur yang diberikan hanya memiliki tepat satu buah perkalian dari penyebut dan pembilang dengan unsur terbalikkan yang sama. Dalam kasus bilangan rasional, ini mengartikan bahwa setiap bilangan mempunyai dua pecahan tak tersederhanakan, yang dikaitkan dengan mengubah tanda pada pembilang dan penyebut, serta keambiguan tersebut dapat dihilangkan dengan membuat penyebut menjadi bernilai positif. Dalam kasus fungsi rasional, penyebut pada pecahan dapat dilakukan dengan serupa, yaitu dengan membuatnya menjadi [[polinomial monik]].

== Referensi ==

== Pranala luar ==

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pecahan+tak+tersederhanakan&oldid=24452674 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 24452674 (2023-10-06T12:58:23Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.