Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:59:07Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Cuisenaire_ten.JPG\|thumb\|right\|280px\|Cuisenaire ten]]

	Dalam ilmu [[matematika]], '''pembagi''' () atau '''faktor''' () dari suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> adalah suatu bilangan bulat <math>m</math> yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan <math>n</math>, sehingga <math>n</math> merupakan hasil [[perkalian]] <math>m</math>. Dalam kasus tersebut, <math>n</math> '''habis dibagi''' dengan <math>m</math> jika <math>m</math> merupakan pembagi dari <math>n</math>, sehingga <math>n</math> dibagi <math>m</math> tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).		Dalam ilmu [[matematika]], '''pembagi''' () atau '''faktor''' () dari suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> adalah suatu bilangan bulat <math>m</math> yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan <math>n</math>, sehingga <math>n</math> merupakan hasil [[perkalian]] <math>m</math>. Dalam kasus tersebut, <math>n</math> '''habis dibagi''' dengan <math>m</math> jika <math>m</math> merupakan pembagi dari <math>n</math>, sehingga <math>n</math> dibagi <math>m</math> tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

Baris 22:		Baris 24:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* 7 adalah pembagi dari 42 karena <math>7 \times 6 = 42</math>, sehingga dapat dikatakan <math>7 \mid 42</math>. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.		* 7 adalah pembagi dari 42 karena <math>7 \times 6 = 42</math>, sehingga dapat dikatakan <math>7 \mid 42</math>. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
	* Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.		* Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
Baris 28:		Baris 29:
	* <math>5 \mid 0</math>, karena <math>5 \times 0 = 0</math>.		* <math>5 \mid 0</math>, karena <math>5 \times 0 = 0</math>.
	* [[Himpunan]] semua faktor 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, yang jika [[Himpunan terurut parsial\|diurutkan secara parsial]] berdasarkan [[Aturan keterbagian\|keterbagian]] (''divisibility''), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan [[diagram Hasse]]:		* [[Himpunan]] semua faktor 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, yang jika [[Himpunan terurut parsial\|diurutkan secara parsial]] berdasarkan [[Aturan keterbagian\|keterbagian]] (''divisibility''), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan [[diagram Hasse]]:


	== Pembahasan lanjutan ==		== Pembahasan lanjutan ==
Baris 57:		Baris 57:
	* [[Tabel pembagi]]—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000		* [[Tabel pembagi]]—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
	* [[Tabel faktor bilangan prima]]—A table of prime factors for 1–1000		* [[Tabel faktor bilangan prima]]—A table of prime factors for 1–1000

	~~== Referensi ==~~


	== Pustaka ==		== Pustaka ==
	*		*
	* [[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.		* [[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
	*		*
	* [[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).		* [[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
	*		*

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagi&oldid=26718322 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26718322 (2025-01-01T00:54:17Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagi&oldid=26718322 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26718322 (2025~~-01-~~01T00:54:17Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26718322; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:24:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26718322; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam ilmu [[matematika]], '''pembagi''' () atau '''faktor''' () dari suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> adalah suatu bilangan bulat <math>m</math> yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan <math>n</math>, sehingga <math>n</math> merupakan hasil [[perkalian]] <math>m</math>. Dalam kasus tersebut, <math>n</math> '''habis dibagi''' dengan <math>m</math> jika <math>m</math> merupakan pembagi dari <math>n</math>, sehingga <math>n</math> dibagi <math>m</math> tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).

== Definisi ==
Suatu [[bilangan bulat]] <math>n</math> habis dibagi oleh bilangan bulat taknol <math>m</math> jika terdapat bilangan bulat <math>k</math> yang memenuhi <math>n=km</math>. Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:

: <math>m\mid n</math>

Notasi tersebut dapat dibaca: <math>m</math> membagi <math>n,</math> <math>m</math> adalah pembagi <math>n,</math> <math>m</math> adalah faktor dari <math>n,</math> atau <math>n</math> adalah hasil perkalian <math>m.</math> Jika <math>m</math> tidak membagi <math>n</math>, maka notasinya adalah <math>m\not\mid n.</math>

Terdapat dua [[Ekspresi (matematika)|ekspresi matematika]] yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk <math>m</math>:
* Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk <math>m</math>, <math>m \mid 0</math> untuk setiap bilangan bulat <math>m</math>.
* Jika ekspresi tersebut mensyaratkan <math>m</math> bukan bilangan nol, <math>m \mid 0</math> untuk setiap bilangan bulat taknol <math>m</math>.

== Pengertian umum ==
Pembagi dapat berupa [[Bilangan nyata negatif|bilangan negatif]] atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.

1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap [[bilangan bulat]]. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut [[bilangan genap]], dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut [[bilangan ganjil]].

1, −1, <math>n</math> dan <math>-n</math> disebut '''pembagi trivial''' dari <math>n</math>, sedangkan pembagi <math>n</math> yang bukan merupakan pembagi trivial disebut '''pembagi nontrivial'''. Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut [[bilangan komposit]]. Angka −1 dan 1 serta [[bilangan prima]] tidak memiliki pembagi nontrivial.

[[Aturan keterbagian]] dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.

== Contoh ==

* 7 adalah pembagi dari 42 karena <math>7 \times 6 = 42</math>, sehingga dapat dikatakan <math>7 \mid 42</math>. Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
* Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
* Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
* <math>5 \mid 0</math>, karena <math>5 \times 0 = 0</math>.
* [[Himpunan]] semua faktor 60, <math>A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}</math>, yang jika [[Himpunan terurut parsial|diurutkan secara parsial]] berdasarkan [[Aturan keterbagian|keterbagian]] (''divisibility''), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan [[diagram Hasse]]:

== Pembahasan lanjutan ==
Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.

* Jika <math>a \mid b</math> dan <math>b \mid c</math>, maka <math>a \mid c</math>. Kaidah tersebut termasuk [[relasi transitif]].
* Jika <math>a \mid b</math> dan <math>b \mid a</math>, maka <math>a = b</math> atau <math>a = -b.</math>
* Jika <math>a \mid b</math> dan <math>a \mid c,</math> maka <math> a \mid (b + c)</math> berlaku, seperti halnya <math> a \mid (b - c).</math> Namun, jika <math>a \mid b</math> dan <math>c \mid b,</math> maka <math>(a + c) \mid b</math> ''tidak'' selalu berlaku (misalnya, <math>2\mid6</math> dan <math>3 \mid 6</math>, tapi <math>5\not\mid 6.</math>).

Jika <math>a \mid bc</math> dan <math>\gcd(a, b) = 1</math>, maka <math>a \mid c</math>. Kaidah ini disebut [[Lemma Euklidean]].

Jika <math>p</math> merupakan [[bilangan prima]] dan <math>p \mid ab</math>, maka <math>p \mid a</math> atau <math>p \mid b.</math>

Bilangan pembagi postif <math>n</math> yang tidak sama dengan <math>n</math> disebut '''''' atau '''''' dari <math>n</math> (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi <math>n</math> melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut '''''' dari <math>n</math>.

Bilangan bulat <math>n > 1</math> yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut [[bilangan prima]]. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.

Suatu pembagi positif dari bilangan <math>n</math> merupakan [[Darab|darab (hasil kali)]] atas bilangan faktor prima dari <math>n</math> yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari [[teorema dasar aritmetika]].

Bilangan <math>n</math> merupakan [[bilangan sempurna]] jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan [[bilangan defisien]] jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari <math>n,</math> atau merupakan [[bilangan berlimpah]] jika hasil jumlah tersebut lebih dari <math>n.</math>

== Lihat pula ==
* [[Fungsi aritmetik]]
* [[Kaidah divisibilitas]]
* [[Fungsi pembagi]]
* [[Algoritme Euclid]]
* [[Pecahan]]
* [[Tabel pembagi]]—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
* [[Tabel faktor bilangan prima]]—A table of prime factors for 1–1000

== Referensi ==

== Pustaka ==
*
* [[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
*
* [[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pembagi&oldid=26718322 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26718322 (2025-01-01T00:54:17Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Pembagi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26718322; atribusi sumber disertakan.