Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:07:27Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.07
Baris 85:		Baris 85:

	== Catatan ==		== Catatan ==

	~~== Referensi ==~~

	*

	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemisahan+variabel&oldid=29211325 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29211325 (2026-05-10T15:08:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemisahan+variabel&oldid=29211325 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29211325 (2026-05-10T15:08:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29211325; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:39:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29211325; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Pemisahan variabel''' (juga dikenal dengan nama '''metode Fourier''') adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan [[persamaan diferensial biasa]] dan [[persamaan diferensial parsial|parsial]]. Metode ini memungkinkan penulisan ulang persamaan agar setiap variabel berada di sisi yang berbeda.

== Persamaan diferensial biasa ==
Apabila persamaan diferensial ditulis dalam bentuk:
:<math>\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))</math>

persamaan ini dapat disederhanakan dengan membuat <math>y = f(x)</math>:

:<math>\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).</math>

Asalkan ''h''(''y'') ≠ 0, persamaan ini dapat disusun ulang menjadi:

:<math>{dy \over h(y)} = g(x) \, dx,</math>

sehingga dua variabel ''x'' dan ''y'' telah dipisahkan.

=== Notasi alternatif ===
Bagi yang tidak menyukai [[notasi Leibniz]], persamaannya bisa ditulis seperti ini:

:<math>\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x),</math>

Setiap sisi kemudian diintegrasikan sehubungan dengan <math>x</math>, sehingga diperoleh

:<math>\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx, \qquad\qquad (1) </math>

atau bisa juga ditulis:

:<math>\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx </math>

== Contoh ==
Pertumbuhan populasi sering kali dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial berikut:

: <math>\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)</math>

<math>P</math> adalah populasi pada waktu <math>t</math>, <math>k</math> adalah tingkat pertumbuhan, dan <math>K</math> adalah kemampuan lingkungan untuk menampung pertambahan jumlah penduduk.

Pemisahan variabel perlu dilakukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini:

: <math>
\begin{align}
& \frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right) \\[5pt]
& \int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt
\end{align}
</math>

Untuk mencari integral di sisi kiri, pecahannya disederhanakan:

: <math>\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\frac{K}{P\left(K-P\right)}</math>

dan pecahan kemudian diubah menjadi pecahan parsial:

: <math>\frac{K}{P(K-P)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}</math>

sehingga diperoleh:

: <math>
\begin{align}
& \int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\,dP=\int k\,dt \\[6pt]
& \ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}=kt+C \\[6pt]
& \ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}=-kt-C \\[6pt]
& \ln\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=-kt-C \\[6pt]
& \begin{vmatrix}\dfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-kt-C} \\[6pt]
& \begin{vmatrix}\dfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-C}e^{-kt} \\[6pt]
& \frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}e^{-kt} \\[6pt]
\text{Jika } & A=\pm e^{-C}. \\[6pt]
& \frac{K-P}{P}=Ae^{-kt} \\[6pt]
& \frac{K}{P}-1=Ae^{-kt} \\[6pt]
& \frac{K}{P}=1+Ae^{-kt} \\[6pt]
& \frac{P}{K}=\frac{1}{1+Ae^{-kt}} \\[6pt]
& P=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}
\end{align}
</math>

Maka solusi persamaan ini adalah:

: <math>P(t)=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}</math>

Untuk mencari <math>A</math>, asumsikan <math>t=0</math> dan <math>P\left(0\right)=P_0</math>. Maka diperoleh

: <math>P_0=\frac{K}{1+Ae^0}</math>

Mengingat bahwa <math>e^0=1</math>, maka diperoleh:

: <math>A=\frac{K-P_0}{P_0}.</math>

== Catatan ==

== Referensi ==

*

*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemisahan+variabel&oldid=29211325 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29211325 (2026-05-10T15:08:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Pemisahan variabel - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29211325; atribusi sumber disertakan.