Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:01:31Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.01
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]], khususnya [[teori grup]], '''pemusat''' (disebut juga '''komutan''') dari [[subset]] '' S '' dari [[grup (matematika) \| grup]] '' G '' adalah himpunan elemen '' G '' yang [[komutatif]] dengan setiap elemen '' S '', dan '''penormal''' dari '' S '' adalah [[Himpunan (matematika) \| himpunan]] elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari '' S '' adalah [[subgrup]] dari '' G '', dan dapat memberikan wawasan tentang struktur '' G ''.		Dalam [[matematika]], khususnya [[teori grup]], '''pemusat''' (disebut juga '''komutan'''<ref>Kevin O'Meara. [https://books.google.com/books?id=HLiWsnzJe6MC&pg=PA65 Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form]. Oxford University Press. 2011. hlm. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.</ref><ref>Karl Heinrich Hofmann. [https://books.google.com/books?id=fJyqSkEexNgC&pg=PA30 The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups]. European Mathematical Society. 2007. hlm. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.</ref>) dari [[subset]] '' S '' dari [[grup (matematika) \| grup]] '' G '' adalah himpunan elemen '' G '' yang [[komutatif]] dengan setiap elemen '' S '', dan '''penormal''' dari '' S '' adalah [[Himpunan (matematika) \| himpunan]] elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari '' S '' adalah [[subgrup]] dari '' G '', dan dapat memberikan wawasan tentang struktur '' G ''.

	Definisi juga berlaku untuk [[monoid]] dan [[semigrup]].		Definisi juga berlaku untuk [[monoid]] dan [[semigrup]].
Baris 9:		Baris 9:
	== Definisi ==		== Definisi ==
	=== Grup dan semigroup ===		=== Grup dan semigroup ===
	'''pemusat''' dari himpunan bagian '' S '' dari grup (atau semigroup) '' G '' didefinisikan sebagai		'''pemusat''' dari himpunan bagian '' S '' dari grup (atau semigroup) '' G '' didefinisikan sebagai<ref>Jacobson (2009), p. 41</ref>

	:<math>\mathrm{C}_G(S)=\{g \in G \mid gs=sg \text{ for all } s \in S\}.</math>		:<math>\mathrm{C}_G(S)=\{g \in G \mid gs=sg \text{ for all } s \in S\}.</math>
Baris 59:		Baris 59:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
	*		<references />
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemusat+dan+penormal&oldid=18563915 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18563915 (2021-06-24T06:45:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemusat+dan+penormal&oldid=18563915 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18563915 (2021-06-24T06:45:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18563915; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:25:00Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18563915; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori grup]], '''pemusat''' (disebut juga '''komutan''') dari [[subset]] '' S '' dari [[grup (matematika) | grup]] '' G '' adalah himpunan elemen '' G '' yang [[komutatif]] dengan setiap elemen '' S '', dan '''penormal''' dari '' S '' adalah [[Himpunan (matematika) | himpunan]] elemen yang memenuhi kondisi yang lebih lemah. Pemusat dan penormal dari '' S '' adalah [[subgrup]] dari '' G '', dan dapat memberikan wawasan tentang struktur '' G ''.

Definisi juga berlaku untuk [[monoid]] dan [[semigrup]].

Dalam [[teori cincin]], pemusat '''himpunan bagian dari [[gelanggang (matematika) | gelanggang]]''' didefinisikan sehubungan dengan operasi semigrup (perkalian) gelanggang. Pemusat dari bagian dari gelanggang '' R '' adalah [[subgelanggang]] dari '' R ''. Artikel ini juga membahas pemusat dan penormal di [[Aljabar Lie]].

[[Idealizer]] dalam semigrup atau gelanggang adalah konstruksi lain yang sejajar dengan pemusat dan penormal.

== Definisi ==
=== Grup dan semigroup ===
'''pemusat''' dari himpunan bagian '' S '' dari grup (atau semigroup) '' G '' didefinisikan sebagai

:<math>\mathrm{C}_G(S)=\{g \in G \mid gs=sg \text{ for all } s \in S\}.</math>

Jika tidak ada ambiguitas tentang grup tersebut, '' G '' dapat dihilangkan dari notasi. Jika ''S'' = {''a''} adalah himpunan [[Tunggal (matematika) | tunggal]], dirumuskan denagn C''G''(''a'') bukannya C''G''({''a''}). Notasi lain yang kurang umum untuk pemusat adalah Z('' a ''), yang sejajar dengan notasi untuk [[Pusat (teori grup) | pusat]]. Dengan notasi terakhir ini, seseorang harus berhati-hati untuk menghindari kebingungan antara '''pusat''' dari sebuah grup ''G'', Z(''G''), dan '' pemusat '' dari '' elemen '' ''g'' in ''G'', Z(''g'').

'''Penormal''' dari '' S '' dalam grup (atau semigrup) '' G '' didefinisikan sebagai

:<math>\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}.</math>

Definisi tersebut serupa tetapi tidak identik. Jika '' g '' di centralizer dari '' S '' dan '' s '' ada di '' S '', maka itu , tapi jika '' g '' ada di penormal, maka untuk beberapa '' t '' pada '' S '', dengan '' t '' mungkin berbeda dari '' s ''. Artinya, elemen sentralisator '' S '' dengan '' S '', tetapi elemen penormal '' S '' hanya perlu ngelaju dengan '' S sebagai satu himpunan ''. Ketentuan notasi yang sama yang disebutkan di atas untuk pemusat juga berlaku untuk penormal. Penormal tidak boleh bingung dengan [[penutupan konjugasi | penutupan normal]].

=== Gelanggang, aljabar di atas bidang, gelanggang Lie, dan aljabar Lie ===
Jika '' R '' adalah gelanggang atau [[aljabar di atas bidang]], dan '' S '' adalah himpunan bagian dari '' R '', maka pemusat dari '' S '' persis seperti yang didefinisikan untuk grup, dengan '' R '' di tempat '' G ''.

Jika <math>\mathfrak{L}</math> is a [[aljabar Lie]] (atau [[gelanggang Lie]]) dengan produk Lie ['' x '', '' y ''], lalu pemusat dari himpunan bagian '' S '' dari <math>\mathfrak{L}</math> didefinisikan sebagai

:<math>\mathrm{C}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]=0 \text{ for all } s\in S \}.</math>
Definisi pemusat untuk gelanggang Lie dikaitkan dengan definisi gelanggang dengan cara berikut. Jika '' R '' adalah cincin asosiatif, maka '' R '' dapat diberi [[komutator#(teori gelanggang) | produk braket]] . Tentu jika dan hanya jika . Jika kita menunjukkan himpunan '' R '' dengan produk braket sebagai L'' R '', maka jelaskan '' pemusat gelanggang '' dari '' S '' pada '' R '' sama dengan '' Pemusat gelanggang Lie '' dari '' S '' pada L''R''.

Penormal dari subset '' S '' dari aljabar Lie (atau gelanggang Lie) <math>\mathfrak{L}</math> didefinisikan oleh
:<math>\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)=\{ x \in \mathfrak{L} \mid [x,s]\in S \text{ for all } s\in S \}.</math>
Meskipun ini adalah penggunaan standar dari istilah "penormal" dalam aljabar Lie, konstruksi ini sebenarnya adalah [[pengidealisasi]] dari himpunan '' S '' pada <math>\mathfrak{L}</math>. Jika '' S '' adalah subgrup aditif dari <math>\mathfrak{L}</math>, kemudian <math>\mathrm{N}_{\mathfrak{L}}(S)</math> adalah subgelanggang Lie terbesar (atau subaljabar Lie, tergantung kasusnya) di mana '' S '' adalah Lie [[ideal (teori gelanggang) | ideal]].

== Sifat ==
=== Semigrup ===
Misalkan <math> S'</math> menunjukkan pemusat dari <math> S </math> di semigroup <math>A</math>, yaitu <math>S'=\{x\in A\mid sx=xs\ \mbox{for}\ \mbox{every}\ s\in S\}.</math> Kemudian <math>S'</math> membentuk [[subgrup]] dan <math>S' = S''' = S'''''</math>, yaitu komutan adalah dengan [[bikomutan]].

=== Grup ===
Sumber:
* Pemusat dan penormal '' S '' keduanya merupakan subgrup dari '' G ''.
* Jelas, '''C'''''G''(''S'') ⊆ '''N'''''G''(''S''). Faktanya, '''C'''''G''(''S'') merupakan [[subgrup normal]] dari '''N'''''G''(''S'').
* '''C'''''G''('''C'''''G''(''S'')) berisi '' S '', tapi '''C'''''G''(''S'') tidak perlu mengandung '' S ''. Penahanan terjadi tepat ketika '' S '' adalah abelian.
* Jika '' H '' adalah subgrup dari '' G '', maka '''N'''''G''(''H'') berisi '' H ''.
* Jika '' H '' adalah subgrup dari '' G '', maka subgrup terbesar dari '' G '' di mana '' H '' normal adalah subgrup '''N'''''G''(H).
* Jika '' S '' adalah himpunan bagian dari '' G '' sehingga semua elemen '' S '' saling berpindah-pindah, maka subgrup terbesar dari '' G '' yang pusatnya berisi '' S '' adalah subgrup '''C'''''G''(S).
* Sebuah subgrup '' H '' dari sebuah grup ''G'' disebut '''''' ''G'' if '''N'''''G''(''H'') = ''H''.
* Tepat di tengah '' G '' '''C'''''G''(G) dan '' G '' adalah [[grup abelian]] jika dan hanya jika '''C'''''G''(G) = Z(''G'') = ''G''.
* Untuk himpunan tunggal, '''C'''''G''(''a'') = '''N'''''G''(''a'').
* Secara simetri, jika '' S '' dan '' T '' adalah dua himpunan bagian dari '' G '', ''T'' ⊆ '''C'''''G''(''S'') jika dan hanya jika ''S'' ⊆ '''C'''''G''(''T'').
* Untuk subgrup '' H '' dari grup ''G'', '''teorema N/C''' menyatakan bahwa [[grup faktor]] '''N'''''G''(''H'')/'''C'''''G''(''H'') adalah [[isomorfisme grup | isomorfik]] menjadi subgrup dari Aut(''H'').

== Lihat pula ==
* [[Komutator]]
* [[Teorema pemusat ganda]]
* [[Idealizer]]
* [[Pengganda dan pemusat (ruang Banach)]]
* [[Subgrup penstabil]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pemusat+dan+penormal&oldid=18563915 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18563915 (2021-06-24T06:45:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Pemusat dan penormal - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18563915; atribusi sumber disertakan.