Pendiferensialan logaritmik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:01:19Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.01
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[kalkulus]], '''pendiferensialan logaritmik''' adalah metode untuk mencari [[turunan]] suatu [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] dengan menggunakan [[turunan logaritmik]] dari fungsi <math>f</math>		Dalam [[kalkulus]], '''pendiferensialan logaritmik''' adalah metode untuk mencari [[turunan]] suatu [[Fungsi (matematika)\|fungsi]] dengan menggunakan [[turunan logaritmik]] dari fungsi <math>f</math><ref>Steven G. Krantz. [https://archive.org/details/calculusdemystif0000kran Calculus demystified]. McGraw-Hill Professional. 2003. hlm. [https://archive.org/details/calculusdemystif0000kran/page/170 170]. ISBN 0-07-139308-0.</ref>
	<math display="block">(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \implies \quad f'(x) = f(x) \cdot (\ln f(x))'</math>		<math display="block">(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \implies \quad f'(x) = f(x) \cdot (\ln f(x))'</math>
	atau bisa juga ditulis		atau bisa juga ditulis
	<math display="block">f'(x) = \left( e^{\ln f(x)} \right)' = e^{\ln f(x)} \cdot (\ln f(x))'</math>		<math display="block">f'(x) = \left( e^{\ln f(x)} \right)' = e^{\ln f(x)} \cdot (\ln f(x))'</math>

	Teknik ini biasanya digunakan pada kasus di mana lebih mudah untuk mencari turunan logaritmik dari suatu fungsi, dibandingkan menurunkan fungsi tersebut secara langsung. Hal ini umumnya terjadi pada kasus di mana fungsinya terdiri dari perkalian beberapa suku, sehingga transformasi logaritmik akan mengubah operasi perkalian tersebut menjadi penjumlahan (yang tentunya lebih mudah untuk dicari turunannya). Teknik ini juga berguna ketika diterapkan pada fungsi yang dipangkatkan dengan suatu fungsi lain. Metode pendiferensialan logaritmik bergantung kepada [[kaidah rantai]] beserta sifat-sifat dari [[logaritma]] (khususnya [[logaritma alami]], yaitu logaritma dengan basis ''[[e (konstanta matematika)\|e]]'') untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan dan pembagian menjadi pengurangan.		Teknik ini biasanya digunakan pada kasus di mana lebih mudah untuk mencari turunan logaritmik dari suatu fungsi, dibandingkan menurunkan fungsi tersebut secara langsung. Hal ini umumnya terjadi pada kasus di mana fungsinya terdiri dari perkalian beberapa suku, sehingga transformasi logaritmik akan mengubah operasi perkalian tersebut menjadi penjumlahan (yang tentunya lebih mudah untuk dicari turunannya). Teknik ini juga berguna ketika diterapkan pada fungsi yang dipangkatkan dengan suatu fungsi lain. Metode pendiferensialan logaritmik bergantung kepada [[kaidah rantai]] beserta sifat-sifat dari [[logaritma]] (khususnya [[logaritma alami]], yaitu logaritma dengan basis ''[[e (konstanta matematika)\|e]]'') untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan dan pembagian menjadi pengurangan.<ref>N.P. Bali. ''Golden Differential Calculus''. Firewall Media. 2005. hlm. 282. ISBN 81-7008-152-1.</ref><ref>John Bird. [https://archive.org/details/higherengineerin0000bird_q7t8 Higher Engineering Mathematics]. Newnes. 2006. hlm. [https://archive.org/details/higherengineerin0000bird_q7t8/page/324 324]. ISBN 0-7506-8152-7.</ref>

	== Gambaran Umum ==		== Gambaran Umum ==
			Metode ini digunakan sebab sifat-sifat dari logaritma memberikan jalan cepat untuk menyederhanakan fungsi-fungsi rumit yang akan dicari turunannya.<ref>Brian E. Blank. ''Calculus, single variable''. Springer. 2006. hlm. 457. ISBN 1-931914-59-1.</ref> Sebelum proses pencarian turunan, sifat-sifat ini dapat dimanipulasi setelah kedua ruas dikenakan logaritma alami. Sifat-sifat logaritma yang umum digunakan ialah<ref>John Bird. [https://archive.org/details/higherengineerin0000bird_q7t8 Higher Engineering Mathematics]. Newnes. 2006. hlm. [https://archive.org/details/higherengineerin0000bird_q7t8/page/324 324]. ISBN 0-7506-8152-7.</ref>
	Metode ini digunakan sebab sifat-sifat dari logaritma memberikan jalan cepat untuk menyederhanakan fungsi-fungsi rumit yang akan dicari turunannya. Sebelum proses pencarian turunan, sifat-sifat ini dapat dimanipulasi setelah kedua ruas dikenakan logaritma alami. Sifat-sifat logaritma yang umum digunakan ialah
	<math display="block">\ln (ab) = \ln (a) + \ln (b), \qquad		<math display="block">\ln (ab) = \ln (a) + \ln (b), \qquad
	\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln (a) - \ln (b), \qquad		\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln (a) - \ln (b), \qquad
Baris 14:		Baris 13:

	== Penerapan ==		== Penerapan ==

	=== Hasil kali ===		=== Hasil kali ===

	Untuk mencari turunan dari hasil kali dua fungsi		Untuk mencari turunan dari hasil kali dua fungsi
	<math display="block">y(x) = f(x) \cdot g(x)</math>		<math display="block">y(x) = f(x) \cdot g(x)</math>
Baris 24:		Baris 21:
	&= \ln \left( f(x) \right) + \ln \left( g(x) \right)		&= \ln \left( f(x) \right) + \ln \left( g(x) \right)
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	Dengan menggunakan [[kaidah rantai]] dan [[kelinearan pendiferensialan\|kaidah penjumlahan]], maka diperoleh		Dengan menggunakan [[kaidah rantai]] dan [[kelinearan pendiferensialan\|kaidah penjumlahan]], maka diperoleh<ref>Benjamin Williamson. ''An Elementary Treatise on the Differential calculus''. BiblioBazaar, LLC. 2008. hlm. 25–26. ISBN 978-0-559-47577-1.</ref>
	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
	\frac{y'(x)}{y(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \\		\frac{y'(x)}{y(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \\
Baris 34:		Baris 31:

	=== Hasil-bagi ===		=== Hasil-bagi ===

	Untuk mencari turunan dari hasil bagi dua fungsi		Untuk mencari turunan dari hasil bagi dua fungsi
	<math display="block">y(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}</math>		<math display="block">y(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}</math>
Baris 92:		Baris 88:

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Turunan Darboux]]		* [[Turunan Darboux]]
	* [[Perumuman dari turunan]]		* [[Perumuman dari turunan]]
Baris 102:		Baris 97:
	== Catatan ==		== Catatan ==

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pendiferensialan+logaritmik&oldid=28431833 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431833 (2025-11-12T14:41:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pendiferensialan+logaritmik&oldid=28431833 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431833 (2025-11-12T14:41:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28431833; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:26:15Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28431833; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[kalkulus]], '''pendiferensialan logaritmik''' adalah metode untuk mencari [[turunan]] suatu [[Fungsi (matematika)|fungsi]] dengan menggunakan [[turunan logaritmik]] dari fungsi <math>f</math>
<math display="block">(\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \implies \quad f'(x) = f(x) \cdot (\ln f(x))'</math>
atau bisa juga ditulis
<math display="block">f'(x) = \left( e^{\ln f(x)} \right)' = e^{\ln f(x)} \cdot (\ln f(x))'</math>

Teknik ini biasanya digunakan pada kasus di mana lebih mudah untuk mencari turunan logaritmik dari suatu fungsi, dibandingkan menurunkan fungsi tersebut secara langsung. Hal ini umumnya terjadi pada kasus di mana fungsinya terdiri dari perkalian beberapa suku, sehingga transformasi logaritmik akan mengubah operasi perkalian tersebut menjadi penjumlahan (yang tentunya lebih mudah untuk dicari turunannya). Teknik ini juga berguna ketika diterapkan pada fungsi yang dipangkatkan dengan suatu fungsi lain. Metode pendiferensialan logaritmik bergantung kepada [[kaidah rantai]] beserta sifat-sifat dari [[logaritma]] (khususnya [[logaritma alami]], yaitu logaritma dengan basis ''[[e (konstanta matematika)|e]]'') untuk mengubah perkalian menjadi penjumlahan dan pembagian menjadi pengurangan.

== Gambaran Umum ==

Metode ini digunakan sebab sifat-sifat dari logaritma memberikan jalan cepat untuk menyederhanakan fungsi-fungsi rumit yang akan dicari turunannya. Sebelum proses pencarian turunan, sifat-sifat ini dapat dimanipulasi setelah kedua ruas dikenakan logaritma alami. Sifat-sifat logaritma yang umum digunakan ialah
<math display="block">\ln (ab) = \ln (a) + \ln (b), \qquad
\ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln (a) - \ln (b), \qquad
\ln (a^b) = b \ln(a).</math>

== Penerapan ==

=== Hasil kali ===

Untuk mencari turunan dari hasil kali dua fungsi
<math display="block">y(x) = f(x) \cdot g(x)</math>
maka kedua ruas dapat dikenakan [[logaritma alami]], sehingga operasi perkaliannya berubah menjadi penjumlahan
<math display="block">\begin{align}
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( f(x) \cdot g(x) \right) \\
&= \ln \left( f(x) \right) + \ln \left( g(x) \right)
\end{align}</math>
Dengan menggunakan [[kaidah rantai]] dan [[kelinearan pendiferensialan|kaidah penjumlahan]], maka diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \\
y'(x) &= y(x) \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= f(x) \cdot g(x) \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\end{align}</math>
yang merupakan [[kaidah darab]] dalam turunan.

=== Hasil-bagi ===

Untuk mencari turunan dari hasil bagi dua fungsi
<math display="block">y(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}</math>
maka kedua ruas dapat dikenakan [[logaritma alami]], sehingga operasi pembagiannya berubah menjadi pengurangan
<math display="block">\begin{align}
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) \\
&= \ln \left( f(x) \right) - \ln \left( g(x) \right)
\end{align}</math>
Dengan menggunakan [[kaidah rantai]] dan [[kelinearan pendiferensialan|kaidah penjumlahan]], maka diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \\
y'(x) &= y(x) \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot \left( \frac{f'(x)}{f(x)} - \frac{g'(x)}{g(x)} \right) \\
&= \frac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{g'(x)}{g(x)} \\
&= \frac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
\end{align}</math>
yang merupakan [[kaidah hasil-bagi]] dalam turunan.

=== Eksponen berupa fungsi ===
Apabila fungsinya memiliki bentuk umum
<math display="block">y(x) = f(x)^{g(x)}</math>
maka dengan mengenakan [[logaritma alami]] pada kedua ruas, operasi exponen yang ada akan menjadi perkalian, sehingga didapatkan
<math display="block">\begin{align}
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( f(x)^{g(x)} \right) \\
&= g(x) \cdot \ln \left( f(x) \right)
\end{align}</math>
Dengan menggunakan [[kaidah rantai]] dan [[Pendiferensialan_logaritmik#Hasil_kali|kaidah darab]], maka diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= g'(x) \cdot \ln \left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \\
y'(x) &= y(x) \cdot \left( g'(x) \cdot \ln \left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \\
&= f(x)^{g(x)} \cdot \left( g'(x) \cdot \ln \left( f(x) \right) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right) \\
\end{align}</math>
Hasil yang sama juga dapat diperoleh apabila fungsi <math>y</math> dinyatakan sebagai <math>y(x) = e^{g(x) \cdot \ln \left( f(x) \right)}</math> yang diikuti oleh [[kaidah rantai]].

==== Perumuman eksponen fungsi ====
Dengan menggunakan [[Perkalian#Notasi_kapital_Pi|notasi Pi kapital]], misalkan
<math display="block">\begin{align}
y(x) &= (f_1 (x))^{g_1 (x)} \cdot (f_2 (x))^{g_2 (x)} \cdot \ldots \cdot (f_n (x))^{g_n (x)} \\
y(x) &= \prod_{i \, = \, 1}^n f_i (x)^{g_i (x)}
\end{align}</math>
adalah hasil kali berhingga dari fungsi dengan eksponen fungsi.

Dengan mengenakan [[logaritma alami]] pada kedua ruas, operasi perkaliannya akan berubah menjadi operasi penjumlahan, sehingga notasi Pi kapital di atas akan berubah menjadi [[Penambahan#Notasi_dan_terminologi|notasi sigma kapital]].
<math display="block">\begin{align}
y(x) &= f_1 (x)^{g_1 (x)} \cdot f_2 (x)^{g_2 (x)} \cdot \ldots \cdot f_n (x)^{g_n (x)} \\
\ln \left( y(x) \right) &= \ln \left( (f_1 (x))^{g_1 (x)} \cdot (f_2 (x))^{g_2 (x)} \cdot \ldots \cdot (f_n (x))^{g_n (x)} \right) \\
&= \ln \left( f_1 (x)^{g_1 (x)} \right) + \ln \left( f_2 (x)^{g_2 (x)} \right) + \ldots + \ln \left( f_n (x)^{g_n (x)} \right) \\
&= g_1 (x) \cdot \ln \left( f_1 (x) \right) + g_2 (x) \cdot \ln \left( f_2 (x) \right) + \ldots + g_n (x) \cdot \ln \left( f_n (x) \right) \\
&= \sum_{i \, = \, 1}^n g_i (x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right)
\end{align}</math>
Apabila kedua ruas diturunkan terhadap <math>x</math>, maka didapatkan
<math display="block">\begin{align}
\frac{y'(x)}{y(x)} &= \sum_{i \, = \, 1}^n \left( g_i'(x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right) + g_i (x) \cdot \frac{f_i' (x)}{f_i (x)} \right) \\
y'(x) &= y(x) \cdot \sum_{i \, = \, 1}^n \left( g_i'(x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right) + g_i (x) \cdot \frac{f_i' (x)}{f_i (x)} \right) \\
&= \left( \prod_{i \, = \, 1}^n f_i (x)^{g_i (x)} \right) \cdot \sum_{i \, = \, 1}^n \left( g_i'(x) \cdot \ln \left( f_i (x) \right) + g_i (x) \cdot \frac{f_i' (x)}{f_i (x)} \right)
\end{align}</math>

== Lihat juga ==

* [[Turunan Darboux]]
* [[Perumuman dari turunan]]
* [[Grup Lie]]
* [[Indeks artikel logaritma]]
* [[Daftar identitas logaritma]]
* [[Bentuk Maurer–Cartan]]

== Catatan ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pendiferensialan+logaritmik&oldid=28431833 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28431833 (2025-11-12T14:41:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.