Permutasi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:06:00Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 '''Permutasi''' (, ) adalah penyusunan kembali suatu kumpulan [[objek]] dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam [[kalimat]] sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "''adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari.''" Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut [[sorting]].
@@ Baris 50: / Baris 52: @@
 Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah.
 Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari ''n'' unsur adalah sebanyak <math>n!</math>.
 == Bilangan Inversi ==
 Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah.
 Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai ''abcdefg'' adalah ''dacfgeb''. Maka untuk setiap unsur ''dacfgeb'' dapat dibuat bilangan inversinya:
+:{| class="wikitable"
 Maka barisan bilangan inversi dari ''dacfgeb'' adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.
 === Faktoradik ===
@@ Baris 63: / Baris 105: @@
 :<math>0 \leq a_i \leq i</math>
 Sistem bilangan ini disebut sebagai [[faktoradik]]. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-''k'' dari sebuah untai.
 == Membangkitkan Permutasi ==
@@ Baris 158: / Baris 199: @@
      ^ bagian yang dipermutasikan
 Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah ''n'', dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah ''n''-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak <math>(n-1)!</math>.
 == Contoh penggunaan permutasi ==
@@ Baris 218: / Baris 258: @@
 *  [http://www.idomaths.com/countingrules.php Kalkulator Permutasi and Kombinasi]
-== Sumber dan atribusi ==
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28470567; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:39:22Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28470567; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Permutasi''' (, ) adalah penyusunan kembali suatu kumpulan [[objek]] dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam [[kalimat]] sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "''adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari.''" Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut [[sorting]].

== Pengertian ==
Jika terdapat suatu untai abjad ''abcd'', maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: ''acbd'', ''dacb'', dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.

<pre>
abcd abdc acbd acdb adbc adcb
bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba
dabc dacb dbac dbca dcab dcba
</pre>

Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula ''abcd'', hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari ''abcd''.

=== Menghitung Banyaknya Permutasi yang Mungkin ===
Untuk membuat permutasi dari ''abcd'', dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:

<pre>
''Kartu Kotak kosong''
----------- ---------------
'''a b c d''' [ ] [ ] [ ] [ ]
</pre>

Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:

* Di kotak pertama, kita memiliki 4 pilihan kartu untuk dimasukkan.
''Kartu Kotak''
----------- ---------------
'''a b c d''' [ ] [ ] [ ] [ ]
^ 4 pilihan: a, b, c, d
* Sekarang, kondisi kartunya tinggal 3, maka kita tinggal memiliki 3 pilihan kartu untuk dimasukkan di kotak kedua.
''Kartu Kotak''
----------- ---------------
'''a * c d''' ['''b'''] [ ] [ ] [ ]
^ 3 pilihan: a, c, d
* Karena dua kartu telah dipakai, maka untuk kotak ketiga, kita tinggal memiliki dua pilihan.
''Kartu Kotak''
----------- ---------------
'''a * c *''' ['''b'''] ['''d'''] [ ] [ ]
^ 2 pilihan: a, c
* Kotak terakhir, kita hanya memiliki sebuah pilihan.
''Kartu Kotak''
----------- ---------------
'''a * * *''' ['''b'''] ['''d'''] ['''c'''] [ ]
^ 1 pilihan: a
* Kondisi terakhir semua kotak sudah terisi.
''Kartu Kotak''
----------- ---------------
'''* * * *''' ['''b'''] ['''d'''] ['''c'''] ['''a''']
Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah.
Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari ''n'' unsur adalah sebanyak <math>n!</math>.

== Bilangan Inversi ==
Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah.
Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai ''abcdefg'' adalah ''dacfgeb''. Maka untuk setiap unsur ''dacfgeb'' dapat dibuat bilangan inversinya:
:
Maka barisan bilangan inversi dari ''dacfgeb'' adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.
=== Faktoradik ===
Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:
:<math>a_i \in N</math>
dan
:<math>0 \leq a_i \leq i</math>
Sistem bilangan ini disebut sebagai [[faktoradik]]. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-''k'' dari sebuah untai.

== Membangkitkan Permutasi ==
Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:

Diberikan sebuah untai ''S'', tentukan:
* Semua permutasi dari ''S''
* Semua permutasi ''n''-elemen dari ''S''
* Permutasi berikutnya setelah ''S''
* Permutasi ke-''k'' dari ''s'' sesuai urutan [[leksikografik]] (atau aturan lainnya)

== Jenis-jenis Permutasi Lainnya ==
=== Permutasi-''k'' dari ''n'' benda ===
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-''k'' dari ''n'' benda. Pada contoh untai ''abcd'', maka permutasi-2 dari ''abcd'' (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
''ab ac ad''
''ba bc bd''
''ca cb cd''
''da db dc''
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
''abc abd acb acd adb adc''
''bac bca bad bda bcd bdc''
''cab cba cad cda cbd cdb''
''dab dba dac dca dbc dcb''
Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah
:<math>P^n_k = \frac{n!}{(n-k)!}</math>

=== Permutasi dengan elemen yang identik ===
Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang [[identik]] atau [[sama secara kualitas]]. Suatu untai ''aabc'' terdiri dari 4 macam unsur, yaitu ''a, b'', dan ''c'' tetapi unsur ''a'' muncul sebanyak dua kali. Kedua ''a'' tersebut identik. Permutasi dari ''aabc'' adalah berjumlah 12:

<pre>
''aabc aacb abac abca''
''acab acba baac baca''
''bcaa caab caba cbaa''
</pre>

Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur ''a'' dibedakan, yaitu a0 dan a1:

<pre>
''a0a1bc a1a0bc'' = '''''aabc'''''
''a0a1cb a1a0cb'' = '''''aacb'''''
''a0ba1c a1ba0c'' = '''''abac'''''
''a0bca1 a1bca0'' = '''''abca'''''
''a0ca1b a1ca0b'' = '''''acab'''''
''a0cba1 a1cba0'' = '''''acba'''''
''ba0a1c ba1a0c'' = '''''baac'''''
''ba0ca1 ba1ca0'' = '''''baca'''''
''bca0a1 bca1a0'' = '''''bcaa'''''
''ca0a1b ca1a0b'' = '''''caab'''''
''ca0ba1 ca1ba0'' = '''''caba'''''
''cba0a1 cba1a0'' = '''''cbaa'''''
</pre>

Total permutasi dari untai ''aabc'' adalah sebanyak 4! = 24. Namun, total permutasi ini juga mencakup posisi ''a0'' dan ''a1'' yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena ''a'' terdiri dari 2 unsur: ''a0'' dan ''a1''). Dengan demikian jika dianggap ''a0'' = ''a1'' maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:

Untuk untai ''S'' sepanjang ''n'' yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak ''k'':
:<math>\frac{n!}{k!}</math>

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah ''n'', mengandung ''m'' macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak ''k1'', ''k2'', ..., ''km'', maka:
:<math>\frac{n!}{k_1! k_2! ... k_m!}</math>
atau
:<math>\frac{n!}{\prod_{i=1}^m{k_i!}}</math>

Sebagai contoh, untai ''aaaaabbcccdddddd'' terdiri dari 5 ''a'', 2 ''b'', 3 ''c'', dan 6 ''d'', maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:
:<math>\frac{16!}{5! 2! 3! 6!} = 20180160</math>

Dalam permutasi biasa, misalnya ''abcd'', setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga
:<math>\frac{4!}{1! 1! 1! 1!} = 4!</math>

Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf ''A'' dan huruf ''a'' bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.

=== Permutasi siklis ===
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

<pre>
'' h a ''
'' g b ''
'' f c ''
'' e d ''
</pre>

Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:
''abcdefgh''
''bcdefgha''
''cdefghab''
''defghabc''
''efghabcd''
''fghabcde''
''ghabcdef''
''habcdefg''
Cara membaca untai ''abcdefgh'' dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain.
Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.
'''''a''''' ''bcdefgh''
--------
^ bagian yang dipermutasikan
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah ''n'', dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah ''n''-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak <math>(n-1)!</math>.

== Contoh penggunaan permutasi ==
* Berapa banyak kata yang terbentuk dari kata “KUKUS"?
: <math> \frac{5!} = 30</math> cara

* 4 bendera merah, 2 putih dan 5 biru. Berapa banyak cara jika:
** Bebas
: <math> \frac{11!} = 6,930</math> cara
** 2 bendera putih harus ditengah
: <math> \frac = 126</math> cara

* Ada berapa cara bila 4 orang remaja menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur (sejajar) jika:
** Posisi bebas
: <math> {4!} = 24</math> cara
** Dua orang harus berdampingan
: <math> {2!} \times {((4-2) + 1)!} = {2!} \times {(2 + 1)!} = 2 \times 3 \times 2 = 12</math> cara
** Hanya dua orang diundang
: <math>P^4_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = {4!} \cdot {2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 12</math> cara

* Ada 4 pria dan 4 wanita sedang berdiri. Ada berapa cara jika:
** Bebas
: <math> {8!} = 40,320</math> cara
** Hanya pria berdampingan
: <math> {4!} \times {((8-4) + 1)!} = {4!} \times {(4 + 1)!} = 2,880</math> cara
** pria dan wanita harus berdampingan
: <math> {4!} \times {4!} \times {(0 + 2)!} = 1,152</math> cara
** pria dan wanita selang seling
: <math> {4!} \times {4!} \times 2 = 1,152</math> cara

* Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah sepuluh mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja (melingkar) tersebut jika:
** Posisi bebas
: <math> {(10-1)!} = 362,880</math> cara
** Dua orang harus berdampingan
: <math> {2!} \times {((10-2)-1 + 1)!} = {2!} \times {(8-1 + 1)!} = 80,640</math> cara
** Hanya dua orang diundang
: <math>P^{(10 - 1)}_2 = P^9_2 = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 72</math> cara

* Saya memiliki 5 buku kimia, 3 buku matematika, dan 2 buku fisika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Buku-buku tersebut akan saya susun dalam sebuah rak buku. Berapa banyak cara penyusunan yang mungkin saya lakukan jika:
** Bebas
: <math> {10!} = 3,628,800</math> cara
** Hanya kimia berkelompok
: <math> {5!} \times {(5 + 1)!}= 86,400</math> cara
** Semua berkelompok masing-masing
: <math> {5!} \times {3!} \times {2!} \times {(0 + 3)!} = 8,640</math> cara

* Di dalam kelas mengadakan pemilihan ketua, wakil ketua dan sekretaris dimana kelas terdiri dari 15 murid. Ada berapa carakah jabatan tersebut dipilih?
: <math>P^{15}_3 = \frac{15!}{(15-3)!} = \frac{15!}{12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{12!} = 2,730</math> cara

== Lihat pula ==
* [[Faktorial]]
* [[Kombinasi dan permutasi]]
* [[Kombinasi]]
* [[Permutadik]]
* [[Membangkitkan Permutasi]]

== Pranala luar ==
* [http://msdn2.microsoft.com/en-us/library/aa302371.aspx Using Permutations in .NET for Improved Systems Security]
* [http://www.idomaths.com/countingrules.php Kalkulator Permutasi and Kombinasi]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Permutasi&oldid=28470567 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28470567 (2025-11-14T02:13:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.