Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:00:14Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28463937; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:24:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28463937; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Perpangkatan bilangan dua''', (atau '''perpangkatan angka dua''', '''perpangkatan nilai dua''') adalah bilangan dengan basis adalah 2 dan <math>n</math> adalah [[bilangan bulat]].

Ketika <math>n</math> adalah bilangan bulat taknegatif ― dengan kata lain, [[bilangan cacah]] ― maka perpangkatan bilangan dua merupakan bilangan basis 2 yang dikali sebanyak <math>n</math> kali.

: <math>\underset{n}{\underbrace{2 \times \cdots \times 2}} = 2^n</math>.

== Tabel nilai ==
Tabel berikut merupakan nilai-nilai perpangkatan bilangan dua, untuk <math>n</math> adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 22.

Tabel berikut juga merupakan nilai-nilai bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua, untuk <math>n</math> adalah bilangan bulat taknegatif, dimulai dari 0 sampai dengan 8.

== Dalam aljabar ==

=== Segitiga Pascal ===

Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan [[segitiga Pascal]]. Pada barisan pertama, jumlah bilangannya adalah <math>1</math> yang sama saja dengan <math>2^0</math>. Lalu dilanjutkan pada barisan kedua, jumlah bilangannya adalah <math>1 + 1 = 2 = 2^1</math>. Ini terus berlanjut hingga memperoleh pola untuk <math>2^n</math>, yaitu:

: <math>2^n = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}</math>.

== Dalam teori bilangan ==

=== Sistem bilangan biner ===
Perpangkatan bilangan dua dapat dipakai dalam [[sistem bilangan biner]], yakni sistem bilangan yang terdiri dari digit "0" dan "1". Contoh hubungan sistem bilangan biner dengan Perpangkatan bilangan dua dapat dilihat di tabel bawah ini.

Seperti yang dilihat, jumlah digit dalam bilangan biner bergantung pada nilai <math>n</math>. Contohnya, <math>2^1</math> dikonversikan menjadi <math>10</math> dalam bilangan biner, dengan jumlah digit 0 adalah 1. <math>2^2</math> dikonversikan menjadi <math>100</math>, dengan jumlah digit 0 adalah 2. Hal ini terus berlanjut untuk <math>n</math> bilangan bulat taknegatif.

=== Bilangan Mersenne ===

Perpangkatan bilangan dua dapat diterapkan pada bilangan Mersenne, dengan bentuk <math>M_n \equiv 2^n - 1</math>. Jika <math>n = p</math> (di mana <math>p</math> [[bilangan prima]]), maka bilangan tersebut merupakan [[bilangan prima Mersenne]], yakni <math>M_p = 2^p - 1</math>.

==== Bilangan prima terbesar yang diketahui ====
Saat ini, [[bilangan prima terbesar yang diketahui]] ditemukan oleh ''Great Internet Mersenne Prime Search'' (atau diabreviasikan sebagai [[GIMPS]]) merupakan bilangan prima yang terdiri dari 24.862.048 digit, yakni <math>2^{82.589.933} - 1</math>. Bilangan prima tersebut ditemukan pada September 2021.

== Dalam teori himpunan ==

=== Himpunan kuasa ===
Perpangkatan bilangan dua berkaitan dengan [[himpunan kuasa]] <math>S</math> (dinotasikan <math>\wp(S)</math>), yaitu himpunan yang [[Anggota (matematika)|anggota]]<nowiki/>nya merupakan [[subhimpunan]] <math>S</math> dengan banyak anggota himpunan kuasa <math>S</math> sama dengan dua dipangkatkan dengan jumlah anggota <math>S</math>. Ini dituliskan secara matematis:

: <math>\wp(S) = 2^{n(S)}</math>.

=== Hipotesis kontinum ===
Dalam [[teori himpunan]], [[hipotesis kontinum]] merupakan [[hipotesis]] yang dinyatakan dalam sebuah persamaan [[bilangan alef]].

: <math>2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>.

== Kaitan dengan masalah yang belum terpecahkan ==

=== Barisan keirasionalan ===
Perpangkatan bilangan dua juga berkaitan dengan masalah yang belum terpecahkan. Contohnya, bilangan <math>2^{2^n}</math>membentuk [[barisan keirasionalan]], lihat [[Perpangkatan bilangan dua#Tabel nilai|tabel bilangan dua yang pangkatnya adalah perpangkatan bilangan dua]]. Maka, untuk setiap barisan [[bilangan bulat positif]] <math>x_i</math>, [[Deret (matematika)|deret]]

: <math>\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^{2^i} x_i}</math>

[[Deret konvergen|konvergen]] menuju [[bilangan irasional]]. Karena <math>2^{2^n}</math> merupakan barisan dengan pertumbuhan tercepat, deret tersebut merupakan barisan keirasionalan dengan pertumbuhan terlambat yang diketahui.
== Lihat pula ==

* [[Perpangkatan bilangan 10]]
* [[Perpangkatan bilangan tiga]]

== Catatan kaki dan rujukan ==

=== Catatan kaki ===

=== Rujukan ===

=== OEIS ===

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perpangkatan+bilangan+dua&oldid=28463937 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28463937 (2025-11-13T15:22:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Perpangkatan bilangan dua - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28463937; atribusi sumber disertakan.