Persamaan Laplace - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:02:09Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.02
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[matematika]] dan [[fisika]], '''persamaan Laplace''' adalah [[persamaan diferensial parsial]] orde dua yang dinamankan dengan nama [[Pierre-Simon Laplace]], yang pertama kali mempelajari sifat-sifatnya. Persamaan ini umum ditulis dalam bentuk<math display="block"> \nabla^2\! f = 0 </math>atau<math display="block"> \Delta f = 0,</math>dengan simbol <math> \Delta = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2</math> menyatakan [[operator Laplace]], <math>\nabla \cdot</math> menyatakan operator [[divergensi]] (juga disimbolkan dengan "div"), <math>\nabla</math> menyatakan operator [[gradien]] (juga disimbolkan dengan "grad"), dan <math>f (x, y, z)</math> adalah sebuah fungsi bernilai real yang [[Fungsi terdiferensialkan\|terdiferensialkan]] dua kali. Persamaan ini juga mengartikan operator Laplace memetakan sebuah fungsi bernilai skalar ke sebuah fungsi bernilai skalar yang lain.		[[File:Laplace,_Pierre-Simon,_marquis_de.jpg\|thumb\|right\|280px\|Pierre-Simon Laplace]]

			Dalam [[matematika]] dan [[fisika]], '''persamaan Laplace''' adalah [[persamaan diferensial parsial]] orde dua yang dinamankan dengan nama [[Pierre-Simon Laplace]], yang pertama kali mempelajari sifat-sifatnya. Persamaan ini umum ditulis dalam bentuk<math display="block"> \nabla^2\! f = 0 </math>atau<math display="block"> \Delta f = 0,</math>dengan simbol <math> \Delta = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2</math> menyatakan [[operator Laplace]],<ref>Simbol delta, Δ, juga umum digunakan untuk menyatakan perubahan suatu besaran, contohnya \Delta x = x_1 - x_2 . Penggunaan simbol delta untuk menyatakan operator Laplace seharusnya tidak menimbulkan kebingungan.</ref> <math>\nabla \cdot</math> menyatakan operator [[divergensi]] (juga disimbolkan dengan "div"), <math>\nabla</math> menyatakan operator [[gradien]] (juga disimbolkan dengan "grad"), dan <math>f (x, y, z)</math> adalah sebuah fungsi bernilai real yang [[Fungsi terdiferensialkan\|terdiferensialkan]] dua kali. Persamaan ini juga mengartikan operator Laplace memetakan sebuah fungsi bernilai skalar ke sebuah fungsi bernilai skalar yang lain.

	Jika ruas kanan persamaan Laplace berisi sebuah fungsi <math>h(x, y, z)</math>, maka akan didapatkan bentuk<math display="block">\Delta f = h.</math>Persamaan ini disebut dengan [[persamaan Poisson]], sebuah perumuman dari persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah contoh termudah dari [[persamaan diferensial eliptik parsial]]. Selain itu, persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari [[persamaan Helmholtz]].		Jika ruas kanan persamaan Laplace berisi sebuah fungsi <math>h(x, y, z)</math>, maka akan didapatkan bentuk<math display="block">\Delta f = h.</math>Persamaan ini disebut dengan [[persamaan Poisson]], sebuah perumuman dari persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah contoh termudah dari [[persamaan diferensial eliptik parsial]]. Selain itu, persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari [[persamaan Helmholtz]].

	Solusi kontinu dan terdiferensialkan dua kali dari persamaan Laplace akan berupa [[fungsi harmonik]], yang memiliki peran penting dalam banyak cabang fisika, contohnya di [[elektrostatika]], gravitasi, dan [[dinamika fluida]]. Dalam [[konduksi panas]], persamaan Laplace menyatakan [[persamaan panas]] yang [[Keadaan tunak\|tunak]] (''steady-state''). Secara umum, persamaan Laplace menyatakan kondisi keseimbangan, atau kondisi yang secara eksplisit tidak bergantung pada waktu.		Solusi kontinu dan terdiferensialkan dua kali dari persamaan Laplace akan berupa [[fungsi harmonik]],<ref>Stewart, James. ''[https://books.google.com/books?id=QyOYWR9RLI8C&printsec=frontcover&dq=isbn:9780538497909&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiT1Lz75K3jAhWkds0KHZV8C_wQ6AEIKjAA#v=snippet&q=%22Laplace's%20equation%22&f=false Calculus : Early Transcendentals]''. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. .</ref> yang memiliki peran penting dalam banyak cabang fisika, contohnya di [[elektrostatika]], gravitasi, dan [[dinamika fluida]]. Dalam [[konduksi panas]], persamaan Laplace menyatakan [[persamaan panas]] yang [[Keadaan tunak\|tunak]] (''steady-state'').<ref>Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. ''Differential Equations with Boundary-Value Problems''. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. .</ref> Secara umum, persamaan Laplace menyatakan kondisi keseimbangan, atau kondisi yang secara eksplisit tidak bergantung pada waktu.

	== Bentuk dalam sistem koordinat yang berbeda ==		== Bentuk dalam sistem koordinat yang berbeda ==
	Persamaan Laplace memiliki bentuk persamaan yang berbeda, tergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Dalam [[Sistem koordinat Kartesius\|sistem koordinat ortogonal (Kartesius)]], persamaan Laplace dapat dijabarkan menjadi<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0.</math>Dalam [[sistem koordinat silinder]],<math display="block">\nabla^2 f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0.</math>Dalam [[sistem koordinat bola]], dengan menggunakan konvensi <math>(r, \theta, \varphi)</math>,<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0.</math>Secara umum, persamaan Laplace dalam [[koordinat kurvilinear]] dapat dijabarkan menjadi bentuk<math display="block"> \nabla^2 f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{kj}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,</math>atau<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\~~sqrtg~~^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\det\{g_{ij}\}).</math>		Persamaan Laplace memiliki bentuk persamaan yang berbeda, tergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Dalam [[Sistem koordinat Kartesius\|sistem koordinat ortogonal (Kartesius)]], persamaan Laplace dapat dijabarkan menjadi<ref>Griffiths, David J. ''[https://books.google.com/books?id=ndAoDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=isbn:9781108420419&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiR9PCXocHjAhXjdc0KHexpCk0Q6AEIKjAA#v=snippet&q=%22Laplace's%20equation%22&f=false Introduction to Electrodynamics]''. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. .</ref><math display="block"> \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0.</math>Dalam [[sistem koordinat silinder]],<ref>Griffiths, David J. ''[https://books.google.com/books?id=ndAoDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=isbn:9781108420419&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiR9PCXocHjAhXjdc0KHexpCk0Q6AEIKjAA#v=snippet&q=%22Laplace's%20equation%22&f=false Introduction to Electrodynamics]''. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. .</ref><math display="block">\nabla^2 f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0.</math>Dalam [[sistem koordinat bola]], dengan menggunakan konvensi <math>(r, \theta, \varphi)</math>,<ref>Griffiths, David J. ''[https://books.google.com/books?id=ndAoDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=isbn:9781108420419&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiR9PCXocHjAhXjdc0KHexpCk0Q6AEIKjAA#v=snippet&q=%22Laplace's%20equation%22&f=false Introduction to Electrodynamics]''. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. .</ref><math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0.</math>Secara umum, persamaan Laplace dalam [[koordinat kurvilinear]] dapat dijabarkan menjadi bentuk<math display="block"> \nabla^2 f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{kj}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,</math>atau<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{\|g\|}} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\sqrt{\|g\|}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\det\{g_{ij}\}).</math>

	== Kondisi batas ==		== Kondisi batas ==


	[[Masalah Dirichlet]] untuk persamaan Laplace menanyakan cara mendapatkan sebuah solusi pada suatu domain sehingga pada batas dari domain akan sama dengan suatu fungsi yang ditentukan sebelumnya. Karena operator Laplace muncul dalam [[persamaan panas]], salah satu interpretasi fisik dari masalah ini adalah sebagai berikut: Buat suhu pada batas suatu domain sesuai spesifikasi kondisi batas. Lalu biarkan panas mengalir di domain hingga [[keadaan tunak]] dicapai; dalam kondisi ini suhu pada tiap titik tidak akan berubah. Distribusi suhu di domain ini adalah solusi dari masalah Dirichlet yang bersesuaian.		[[Masalah Dirichlet]] untuk persamaan Laplace menanyakan cara mendapatkan sebuah solusi pada suatu domain sehingga pada batas dari domain akan sama dengan suatu fungsi yang ditentukan sebelumnya. Karena operator Laplace muncul dalam [[persamaan panas]], salah satu interpretasi fisik dari masalah ini adalah sebagai berikut: Buat suhu pada batas suatu domain sesuai spesifikasi kondisi batas. Lalu biarkan panas mengalir di domain hingga [[keadaan tunak]] dicapai; dalam kondisi ini suhu pada tiap titik tidak akan berubah. Distribusi suhu di domain ini adalah solusi dari masalah Dirichlet yang bersesuaian.

Baris 16:		Baris 16:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~


	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
			*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*
	* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems)] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.		* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems)] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
	* [https://web.archive.org/web/20170703044238/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE:Laplaces_Equation Example initial-boundary value problems] using Laplace's equation from exampleproblems.com.		* [https://web.archive.org/web/20170703044238/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE:Laplaces_Equation Example initial-boundary value problems] using Laplace's equation from exampleproblems.com.
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+Laplace&oldid=28429016 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28429016 (2025-11-12T11:38:43Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+Laplace&oldid=28429016 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28429016 (2025~~-11-~~12T11:38:43Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28429016; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:26:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28429016; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]] dan [[fisika]], '''persamaan Laplace''' adalah [[persamaan diferensial parsial]] orde dua yang dinamankan dengan nama [[Pierre-Simon Laplace]], yang pertama kali mempelajari sifat-sifatnya. Persamaan ini umum ditulis dalam bentuk<math display="block"> \nabla^2\! f = 0 </math>atau<math display="block"> \Delta f = 0,</math>dengan simbol <math> \Delta = \nabla \cdot \nabla = \nabla^2</math> menyatakan [[operator Laplace]], <math>\nabla \cdot</math> menyatakan operator [[divergensi]] (juga disimbolkan dengan "div"), <math>\nabla</math> menyatakan operator [[gradien]] (juga disimbolkan dengan "grad"), dan <math>f (x, y, z)</math> adalah sebuah fungsi bernilai real yang [[Fungsi terdiferensialkan|terdiferensialkan]] dua kali. Persamaan ini juga mengartikan operator Laplace memetakan sebuah fungsi bernilai skalar ke sebuah fungsi bernilai skalar yang lain.

Jika ruas kanan persamaan Laplace berisi sebuah fungsi <math>h(x, y, z)</math>, maka akan didapatkan bentuk<math display="block">\Delta f = h.</math>Persamaan ini disebut dengan [[persamaan Poisson]], sebuah perumuman dari persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah contoh termudah dari [[persamaan diferensial eliptik parsial]]. Selain itu, persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari [[persamaan Helmholtz]].

Solusi kontinu dan terdiferensialkan dua kali dari persamaan Laplace akan berupa [[fungsi harmonik]], yang memiliki peran penting dalam banyak cabang fisika, contohnya di [[elektrostatika]], gravitasi, dan [[dinamika fluida]]. Dalam [[konduksi panas]], persamaan Laplace menyatakan [[persamaan panas]] yang [[Keadaan tunak|tunak]] (''steady-state''). Secara umum, persamaan Laplace menyatakan kondisi keseimbangan, atau kondisi yang secara eksplisit tidak bergantung pada waktu.

== Bentuk dalam sistem koordinat yang berbeda ==
Persamaan Laplace memiliki bentuk persamaan yang berbeda, tergantung pada sistem koordinat yang digunakan. Dalam [[Sistem koordinat Kartesius|sistem koordinat ortogonal (Kartesius)]], persamaan Laplace dapat dijabarkan menjadi<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2 } + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 } = 0.</math>Dalam [[sistem koordinat silinder]],<math display="block">\nabla^2 f=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0.</math>Dalam [[sistem koordinat bola]], dengan menggunakan konvensi <math>(r, \theta, \varphi)</math>,<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} =0.</math>Secara umum, persamaan Laplace dalam [[koordinat kurvilinear]] dapat dijabarkan menjadi bentuk<math display="block"> \nabla^2 f =\frac{\partial}{\partial \xi^j}\left(\frac{\partial f}{\partial \xi^k}g^{kj}\right) + \frac{\partial f}{\partial \xi^j} g^{jm}\Gamma^n_{mn} =0,</math>atau<math display="block"> \nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt} \frac{\partial}{\partial \xi^i}\!\left(\sqrtg^{ij} \frac{\partial f}{\partial \xi^j}\right) =0, \qquad (g=\det\{g_{ij}\}).</math>

== Kondisi batas ==

[[Masalah Dirichlet]] untuk persamaan Laplace menanyakan cara mendapatkan sebuah solusi pada suatu domain sehingga pada batas dari domain akan sama dengan suatu fungsi yang ditentukan sebelumnya. Karena operator Laplace muncul dalam [[persamaan panas]], salah satu interpretasi fisik dari masalah ini adalah sebagai berikut: Buat suhu pada batas suatu domain sesuai spesifikasi kondisi batas. Lalu biarkan panas mengalir di domain hingga [[keadaan tunak]] dicapai; dalam kondisi ini suhu pada tiap titik tidak akan berubah. Distribusi suhu di domain ini adalah solusi dari masalah Dirichlet yang bersesuaian.

Solusi dari persamaan Laplace disebut dengan [[fungsi harmonik]]; fungsi ini [[Fungsi analitik|analitik]] pada domain yang memenuhi persamaan Laplace. Jika ada dua fungsi menjadi solusi persamaan Laplace, maka penjumlahan (atau sembarang kombinasi linear) dari keduanya juga merupakan solusi. Sifat ini, yang disebut [[prinsip superposisi]], sangat berguna karena memungkinkan solusi dari masalah yang kompleks dibuat dengan menjumlahkan solusi-solusi yang sederhana.

== Catatan ==

== Referensi ==

== Bacaan lebih lanjut ==

*
*
*
*
*

== Pranala luar ==
*
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde301.pdf Laplace Equation (particular solutions and boundary value problems)] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20170703044238/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/PDE:Laplaces_Equation Example initial-boundary value problems] using Laplace's equation from exampleproblems.com.
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+Laplace&oldid=28429016 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28429016 (2025-11-12T11:38:43Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.