Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:59:12Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837383; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:20:07Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837383; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[mekanika kuantum]], '''persamaan Schrödinger''' adalah [[persamaan matematika]] yang menjelaskan perubahan tiap waktu dari sebuah sistem fisika di mana efek kuantum, seperti [[dualitas gelombang-partikel]], menjadi signifikan. Persamaan ini merupakan perumusan matematis untuk mempelajari sistem mekanika kuantum. Persamaan ini diajukan oleh [[fisikawan]] [[Erwin Schrödinger]] pada tahun [[1925]] dan memublikasikannya pada tahun 1926. [[Erwin Schrödinger]] sendiri memperoleh [[Nobel Fisika|Hadiah Nobel Fisika]] pada tahun 1933 berkat karyanya ini. Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial dengan tipe [[persamaan gelombang]], yang digunakan sebagai model matematika dari pergerakan gelombang.

Dalam [[mekanika klasik]], [[Hukum gerak Newton|hukum kedua Newton]] () digunakan untuk membuat prediksi matematika di mana jalur sebuah sistem akan mengikuti sejumlah kondisi awal yang diketahui. Dalam mekanika kuantum, analogi dari hukum Newton adalah persamaan Schrödinger untuk sistem kuantum (biasanya atom, molekul, dan partikel subatomik yang bebas, terikat, maupun terlokalisasi). Persamaan ini bukan persamaan aljabar, melainkan secara umum adalah [[persamaan diferensial parsial linear]], menjelaskan perubahan waktu dari [[fungsi gelombang]] sistem (juga disebut "fungsi keadaan").

Konsep fungsi gelombang adalah dasar bagi [[postulat mekanika kuantum]]. Menggunakan postulat ini, persamaan Schrödinger dapat diturunkan berdasarkan fakta bahwa operator perubahan waktu haruslah kesatuan dan oleh karena itu harus dihasilkan oleh eksponensial dari sebuah operator ''self-adjoint'', di mana itu adalah Hamiltonian kuantum.

Dalam [[interpretasi Kopenhagen]] mekanika kuantum, fungsi gelombang adalah penjelasan paling lengkap untuk berbagai sistem fisik. Penyelesaian persamaan Schrödinger tidak hanya dapat menjelaskan sistem [[molekul]]ar, [[atom]]ik, dan [[Partikel subatom|subatomik]], tetapi juga [[sistem makroskopik]], mungkin juga seluruh [[alam semesta]]. Persamaan Schrödinger adalah rumusan inti bagi semua aplikasi mekanika kuantum termasuk [[teori medan kuantum]] yang menggabungkan [[relativitas khusus]] dengan mekanika kuantum. Teori [[gravitasi kuantum]], seperti [[teori dawai]], juga dapat diselesaikan dengan persamaan Schrödinger.

Persamaan Schrödinger bukanlah satu-satunya cara untuk mempelajari sistem mekanika kuantum dan membuat prediksi, karena formulasi mekanika kuantum lainnya seperti [[mekanika matriks]] yang dikenalkan oleh [[Werner Heisenberg]], dan [[formulasi integral lintasan]], dikembangkan oleh [[Richard Feynman]]. [[Paul A.M. Dirac|Paul Dirac]] menggabungkan mekanika matriks dan persamaan Schrödinger menjadi satu formulasi tunggal.

Dengan menggunakan [[notasi bra-ket]] [[Paul Dirac|Dirac]], definisi persamaan Schrödinger adalah:

:<math>H(t)\left|\psi\left(t\right)\right\rangle = \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi \left(t\right) \right\rangle</math>

<math>\mathrm{i}</math> adalah [[bilangan imaginer]], <math>t</math> adalah [[waktu]], ∂ / ∂<math>t</math> adalah [[turunan parsial]] terhadap <math>t</math>, ħ adalah [[konstanta Planck]] dibagi 2π, ψ(<math>t</math>) adalah [[fungsi gelombang]], dan H(<math>t</math>) adalah [[Hamiltonian]].

== Persamaan ==

=== Persamaan tergantung-waktu ===
Bentuk persamaan Schrödinger tergantung dari kondisi fisiknya (lihat dibawah untuk contoh-contoh khusus). Bentuk paling umumnya adalah [[Persamaan Schrödinger#Tergantung waktu|persamaan tergantung-waktu]] yang menjelaskan sebuah sistem berkembang dengan waktu:

dengan <math>\nabla</math> adalah operator nabla [[Divergence|divergensi]] lalu adalah [[satuan imajiner]], adalah [[konstanta Planck]] tereduksi yang sama dengan:<math>\hbar = \frac{h}{2 \pi}</math>, lambang menunjukkan [[turunan parsial]] terhadap [[waktu]] , (huruf Yunani [[psi (huruf)|psi]]) adalah [[fungsi gelombang]] sistem kuantum, dan adalah posisi vektor dan waktu, dan adalah [[operator (fisika)|operator]] [[Hamiltonian (mekanika kuantum)|Hamiltonian]] (yang mengkarakterisasi total energi sistem).

Contoh paling umum adalah persamaan [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] untuk partikel tunggal yang bergerak dalam sebuah [[medan listrik]] (bukan [[medan magnet]]; lihat [[Persamaan Pauli]]):

di mana adalah "[[massa tereduksi]]" partikel, [[energi potensial]], adalah [[Laplasian]] (operator diferensial), dan adalah fungsi gelombang (lebih tepatnya dalam konteks ini adalah "fungsi gelombang ruang-posisi"). Dalam bahasa sederhana, persamaan ini berarti "total [[energi]] sama dengan [[energi kinetik]] ditambah [[energi potensial]]", tetapi dengan bentuk yang tidak umum.

Dengan diketahui operator diferensial tertentu, maka persamaan ini adalah [[persamaan diferensial parsial]] [[persamaan diferensial linear|linear]]. Juga merupakan [[persamaan difusi]], tetapi tidak seperti [[persamaan panas]], persamaan ini juga persamaan gelombang karena adanya [[satuan imajiner]] pada bagian transient.

Istilah ''"Persamaan Schrödinger"'' dapat merujuk ke kedua persamaan umum atau versi nonrelativistiknya yang spesifik. Versi umumnya sangat umum dan bisa digunakan untuk semua mekanika kuantum, mulai dari [[persamaan Dirac]] hingga [[teori medan kuantum]], dengan memasukkan berbagai pernyataan pada Hamiltonian. Versi nonrelativistik adalah berupa perkiraan dari kenyataan sebenarnya tetapi menunjukkan hasil yang akurat pada banyak situasi, tetapi pada jangkauan tertentu saja (lihat [[mekanika kuantum relativistik]] dan [[teori medan kuantum relativistik]]).

Untuk menggunakan persamaan Schrödinger, digunakan operator Hamiltonian untuk sistemnya untuk menghitung energi kinetik dan potensial partikel-partikel pada sistem, kemudian dimasukkan dalam persamaan Schrödinger. Hasil persamaan diferensial parsial kemudian diselesaikan untuk persamaan gelombang yang kemudian akan memuat informasi mengenai sistem.

=== Persamaan tak tergantung-waktu ===
Persamaan Schrödinger tergantung-waktu yang dijelaskan diatas memprediksi bahwa fungsi gelombang dapat membentuk [[gelombang berdiri]] disebut [[keadaan stasioner]] (atau "orbital", seperti [[orbital atom]] atau [[orbital molekul]]). Keadaan-keadaan ini penting karena pada studi berikutnya, memudahkan dalam penyelesaian persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu untuk keadaan apapun. Keadaan stasioner juga dapat dijelaskan menggunakan bentuk persamaan yang lebih sederhana, ''persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu''.

dengan '''' adalah konstanta sama dengan total energi pada sistem. Hanya digunakan apabila operator [[Hamiltonian (mekanika kuantum)|Hamiltonian]] tidak tergantung waktu. Namun, dalam kasus ini keseluruhan fungsi gelombang tetap memiliki ketergantungan waktu.

Dengan kata lain, persamaan ini mengatakan:
::''Ketika operator Hamiltonian berperan pada fungsi gelombang tertentu dan hasilnya sebanding dengan fungsi gelombang yang sama , maka adalah [[keadaan stasioner]], dan konstanta proporsionalitas adalah energi dari keadaan .''
Dalam terminologi [[aljabar linear]], persamaan ini adalah [[Eigenvalue dan eigenvector|persamaan eigenvalue]] dan fungsi gelombang disini merupakan [[eigenfunction]] dari operator Hamiltonian.

Seperti sebelumnya, bentuk paling umum adalah persamaan [[mekanika kuantum relativistik|nonrelativistik]] untuk partikel tunggal yang bergerak dalam sebuah medan listrik (bukan medan magnet):

dengan definisi seperti diatas.

Persamaan Schrödinger tak tergantung-waktu dijelaskan lebih lanjut [[#Tak tergantung waktu|dibawah]].

== Latar belakang dan perkembangan sejarah ==

Setelah kemunculan kuantisasi cahaya [[Max Planck]] (lihat [[radiasi benda-hitam]]), [[Albert Einstein]] menginterpretasikan [[kuantum|kuanta]] Planck sebagai [[foton]], [[corpuscular theory of light|partikel cahaya]], dan mengemukakan bahwa [[hubungan Planck|energi sebuah foton berbanding lurus dengan frekuensinya]], salah satu tanda-tanda pertama [[dualitas gelombang-partikel]]. Karena energi dan [[momentum]] saling berhubungan seperti [[frekuensi]] dan [[bilangan gelombang]] pada [[relativitas khusus]], momentum sebuah foton berbanding terbalik dengan [[panjang gelombang]] , atau berbanding lurus dengan [[bilangan gelombang]] :

:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k,</math>

dengan adalah [[konstanta Planck]] dan adalah konstanta Planck tereduksi, . [[Louis de Broglie]] mengemukakan hipotesis bahwa persamaan ini benar untuk semua partikel, meski partikel yang bermassa seperti elektron. Ia mengasumsikan jika gelombang materi merambat bersama partikel mereka, elektron-elektron membentuk [[gelombang berdiri]], berarti hanya frekuensi rotasional tertentu di sekeliling atom nukleus yang dimungkinkan.
Orbit terkuantisasi ini sesuai dengan [[tingkat energi]] diskret, dan de Broglie memakai formula [[model Bohr]] untuk tingkat energi. Model Bohr didasarkan pada kuantisasi momentum sudut yang diasumsikan menurut:
:<math> L = n{h \over 2\pi} = n\hbar.</math>
Menurut de Broglie, elektron dijelaskan melalui sebuah gelombang dan sejumlah bilangan panjang gelombang yang harus sesuai sepanjang keliling orbit elektron:

:<math>n \lambda = 2 \pi r.\,</math>

Pendekatan ini membatasi gelombang elektron dalam satu dimensi, sepanjang orbit lingkar berjari-jari .

Pada tahun 1921, sebelum de Broglie, Arthur C. Lunn di Universitas Chicago telah menggunakan argumen yang sama yang berbasis dari penyelesaian energi-momentum relativistik untuk menurunkan apa yang kita sebtut saat ini sebagai hubungan de Broglie. Tidak seperti de Broglie, Lunn merumuskan persamaan diferensial yang saat ini dikenal sebagai persamaan Schrödinger. Sayangnya paper ini ditolak oleh Physical Review.

Menindaklanjuti ide de Broglie, fisikawan [[Peter Debye]] berkomentar bahwa jika partikel berperilaku seperti gelombang, maka pastinya memiliki bentuk persamaan gelombang. Schrödinger pun berusaha mencari persamaan gelombang 3-dimensi yang layak untuk elektron. Ia dibimbing oleh analogi [[William Rowan Hamilton|William R. Hamilton]] antara [[mekanika]] dan [[optik]], dikodekan dalam pengamatan bahwa batas panjang gelombang nol optik menyerupai sistem mekanis—lintasan sinar cahaya menjadi jejak tajam mematuhi [[prinsip Fermat]], sebuah analog dari [[prinsip tindakan terkecil]].

== Referensi ==

== Pranala luar ==

* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde108.pdf Linear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations].
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1403.pdf Nonlinear Schrödinger Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations].
* [http://www.colorado.edu/UCB/AcademicAffairs/ArtsSciences/physics/TZD/PageProofs1/TAYL07-203-247.I.pdf The Schrödinger Equation in One Dimension] .
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html All about 3D schrodinger Equation ]
* [http://tosio.math.toronto.edu/wiki/index.php/Main_Page Dispersive PDE Wiki] .

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+Schr%C3%B6dinger&oldid=28837383 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837383 (2026-01-15T14:40:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Persamaan Schrödinger - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837383; atribusi sumber disertakan.