Persamaan aljabar - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:00:01Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.00
Baris 12:		Baris 12:

	== Sejarah ==		== Sejarah ==

	Studi tentang persamaan aljabar mungkin sudah setua matematika: [[matematika Babilonia\|matematikawan Babilonia]], sedini 2000 SM dapat memecahkan beberapa jenis [[persamaan kuadrat]] (ditampilkan pada [[Dinasti Babilonia Pertama\|Babilonia Tua]] [[lauh tanah liat]]).		Studi tentang persamaan aljabar mungkin sudah setua matematika: [[matematika Babilonia\|matematikawan Babilonia]], sedini 2000 SM dapat memecahkan beberapa jenis [[persamaan kuadrat]] (ditampilkan pada [[Dinasti Babilonia Pertama\|Babilonia Tua]] [[lauh tanah liat]]).

Baris 18:		Baris 17:

	== Bidang studi ==		== Bidang studi ==

	Persamaan aljabar adalah dasar dari sejumlah bidang matematika modern: [[Teori bilangan aljabar]] adalah studi tentang persamaan aljabar (univariat) di atas rasio (yaitu, dengan koefisien [[bilangan rasional\|rasional]]). [[Teori Galois]] diperkenalkan oleh [[Évariste Galois]] untuk menentukan kriteria untuk memutuskan apakah persamaan aljabar dapat diselesaikan dalam istilah akar. Dalam [[teori medan (matematika)\|teori medan]], [[ekstensi aljabar]] adalah perpanjangan sedemikian rupa sehingga setiap elemen adalah akar persamaan aljabar di atas bidang alas. [[Teori bilangan transendental]] adalah studi tentang bilangan real yang bukan merupakan solusi persamaan aljabar di atas rasio. [[Persamaan Diofantin]] adalah persamaan polinomial (biasanya multivariat) dengan koefisien integer yang mana salah satunya tertarik pada solusi bilangan bulat. [[Geometri aljabar]] adalah studi tentang solusi dalam [[bidang tertutup aljabar]] dari persamaan polinomial multivariat.		Persamaan aljabar adalah dasar dari sejumlah bidang matematika modern: [[Teori bilangan aljabar]] adalah studi tentang persamaan aljabar (univariat) di atas rasio (yaitu, dengan koefisien [[bilangan rasional\|rasional]]). [[Teori Galois]] diperkenalkan oleh [[Évariste Galois]] untuk menentukan kriteria untuk memutuskan apakah persamaan aljabar dapat diselesaikan dalam istilah akar. Dalam [[teori medan (matematika)\|teori medan]], [[ekstensi aljabar]] adalah perpanjangan sedemikian rupa sehingga setiap elemen adalah akar persamaan aljabar di atas bidang alas. [[Teori bilangan transendental]] adalah studi tentang bilangan real yang bukan merupakan solusi persamaan aljabar di atas rasio. [[Persamaan Diofantin]] adalah persamaan polinomial (biasanya multivariat) dengan koefisien integer yang mana salah satunya tertarik pada solusi bilangan bulat. [[Geometri aljabar]] adalah studi tentang solusi dalam [[bidang tertutup aljabar]] dari persamaan polinomial multivariat.

Baris 32:		Baris 30:
	== Teori ==		== Teori ==
	=== Polinomial ===		=== Polinomial ===
			Diberikan persamaan yang tidak diketahui

	Diberikan persamaan yang tidak diketahui
	:<math>(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0</math>,		:<math>(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0</math>,
	dengan koefisien dalam sebuah [[bidang (matematika)\|bidang]] , dapat dikatakan bahwa solusi dari (E) dalam adalah akar dalam dari polinomial		dengan koefisien dalam sebuah [[bidang (matematika)\|bidang]] , dapat dikatakan bahwa solusi dari (E) dalam adalah akar dalam dari polinomial
Baris 43:		Baris 39:

	=== Adanya solusi untuk persamaan nyata dan kompleks ===		=== Adanya solusi untuk persamaan nyata dan kompleks ===

	[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa [[bidang (matematika)\|bidang]] dari [[bilangan kompleks]] ditutup secara aljabar, artinya, semua persamaan polinomial dengan koefisien kompleks dan setidaknya satu derajat memiliki solusi.		[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa [[bidang (matematika)\|bidang]] dari [[bilangan kompleks]] ditutup secara aljabar, artinya, semua persamaan polinomial dengan koefisien kompleks dan setidaknya satu derajat memiliki solusi.

Baris 53:		Baris 48:

	=== Koneksi ke teori Galois ===		=== Koneksi ke teori Galois ===

	Ada rumus yang memberikan solusi dari polinomial nyata atau kompleks dengan derajat kurang dari atau sama dengan empat sebagai fungsi dari koefisiennya. [[Niels Henrik Abel\|Abel]] menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rumus seperti itu secara umum (hanya menggunakan empat operasi [[aritmetika]] dan mengambil akar) untuk persamaan derajat lima atau lebih tinggi. [[Teori Galois]] memberikan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk menentukan apakah solusi untuk persamaan polinomial tertentu dapat diekspresikan menggunakan akar.		Ada rumus yang memberikan solusi dari polinomial nyata atau kompleks dengan derajat kurang dari atau sama dengan empat sebagai fungsi dari koefisiennya. [[Niels Henrik Abel\|Abel]] menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rumus seperti itu secara umum (hanya menggunakan empat operasi [[aritmetika]] dan mengambil akar) untuk persamaan derajat lima atau lebih tinggi. [[Teori Galois]] memberikan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk menentukan apakah solusi untuk persamaan polinomial tertentu dapat diekspresikan menggunakan akar.

	== Solusi eksplisit persamaan numerik ==		== Solusi eksplisit persamaan numerik ==

	=== Pendekatan ===		=== Pendekatan ===

	Solusi eksplisit dari persamaan derajat 1 nyata atau kompleks adalah sepele. [[Penyelesaian persamaan\|Menyelesaikan]] persamaan derajat yang lebih tinggi berkurang menjadi memfaktorkan polinomial terkait, yaitu		Solusi eksplisit dari persamaan derajat 1 nyata atau kompleks adalah sepele. [[Penyelesaian persamaan\|Menyelesaikan]] persamaan derajat yang lebih tinggi berkurang menjadi memfaktorkan polinomial terkait, yaitu
	:<math>a_n(x-z_1)\dots(x-z_n)=0</math>,		:<math>a_n(x-z_1)\dots(x-z_n)=0</math>,
Baris 65:		Baris 57:

	Pendekatan ini berlaku lebih umum jika koefisien dan solusi termasuk dalam [[domain integral]].		Pendekatan ini berlaku lebih umum jika koefisien dan solusi termasuk dalam [[domain integral]].


	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Fungsi aljabar]]		* [[Fungsi aljabar]]
	* [[Bilangan aljabar]]		* [[Bilangan aljabar]]
Baris 84:		Baris 74:
	* [[Persamaan linear gelanggang]]		* [[Persamaan linear gelanggang]]
	* [[Teorema Cramer (kurva aljabar)]], pada jumlah titik biasanya cukup untuk menentukan kurva derajat ke-bivariat '' n ''		* [[Teorema Cramer (kurva aljabar)]], pada jumlah titik biasanya cukup untuk menentukan kurva derajat ke-bivariat '' n ''

	~~== Referensi ==~~
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+aljabar&oldid=28428511 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428511 (2025-11-12T11:17:29Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+aljabar&oldid=28428511 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428511 (2025-11-12T11:17:29Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428511; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:21:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28428511; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''Persamaan aljabar''' atau '''Persamaan polinomial''' adalah [[persamaan]] dari bentuk
:<math>P = 0</math>
di mana ''P'' adalah [[polinomial]] dengan [[koefisien]] di beberapa [[medan (matematika)|bidang]], sering kali bidang [[bilangan rasional]]. Bagi kebanyakan penulis, persamaan aljabar adalah ''univariat'', yang berarti hanya melibatkan satu [[variabel (matematika)|variabel]]. Di sisi lain, persamaan polinomial dapat melibatkan beberapa variabel, dalam hal ini disebut ''multivariate'' dan istilah ''persamaan polinomial'' biasanya lebih disukai daripada ''persamaan aljabar''.

Sebagai contoh:
:<math>x^5-3x+1=0</math>
adalah persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat dan
:<math>y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}</math>
adalah persamaan polinomial multivariat di atas rasio.

Beberapa tetapi tidak semua persamaan polinomial dengan [[Bilangan rasional|koefisien rasional]] memiliki solusi berupa [[ekspresi aljabar]] yang dapat ditemukan menggunakan sejumlah operasi yang terbatas, bisa [[Solusi aljabar|diselesaikan secara aljabar]]). Ini dapat dilakukan untuk semua persamaan [[derajat polinomial|derajat]] satu, dua, tiga, atau empat; tapi untuk derajat lima atau lebih hanya bisa dilakukan untuk beberapa persamaan, [[Teorema Abel–Ruffini|tidak untuk semua]]. Sejumlah besar penelitian telah dikhususkan untuk menghitung perkiraan yang akurat secara efisien dari solusi [[bilangan riil]] atau [[bilangan kompleks]] dari persamaan aljabar univariat (lihat [[Algoritme pencarian akar]]) dan solusi umum dari beberapa persamaan polinomial multivariat (lihat [[Sistem persamaan polinomial]]).

== Sejarah ==

Studi tentang persamaan aljabar mungkin sudah setua matematika: [[matematika Babilonia|matematikawan Babilonia]], sedini 2000 SM dapat memecahkan beberapa jenis [[persamaan kuadrat]] (ditampilkan pada [[Dinasti Babilonia Pertama|Babilonia Tua]] [[lauh tanah liat]]).

Persamaan aljabar univariat di atas rasio (yaitu, dengan koefisien [[bilangan rasional|rasional]]) memiliki sejarah yang sangat panjang. Ahli matematika kuno menginginkan solusi dalam bentuk [[ekspresi radikal]] , seperti <math>x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> for the positive solution of <math>x^2-x-1=0</math>. Orang [[Mesir Kuno|Mesir kuno]] tahu bagaimana menyelesaikan persamaan derajat 2 dengan cara ini. Matematikawan [[India]] Brahmagupta (597–668 M) secara eksplisit mendeskripsikan rumus kuadrat dalam risalahnya Brāhmasphuṭas, tetapi ditulis dengan kata-kata, bukan simbol. Pada abad ke-9 [[Muhammad bin Musa al-Khwarizmi]] dan ahli matematika Islam lainnya menurunkan [[rumus kuadrat]], solusi umum dari persamaan derajat 2, dan mengakui pentingnya [[diskriminan]]. Selama Renaisans pada tahun 1545, [[Gerolamo Cardano]] menerbitkan solusi [[Scipione del Ferro]] dan [[Niccolò Fontana Tartaglia]] menjadi [[Fungsi kubik|persamaan derajat 3]] dan [[Lodovico Ferrari]] untuk [[Fungsi kuartik|persamaan derajat 4]]. Akhirnya [[Niels Henrik Abel]] membuktikan, pada tahun 1824, bahwa [[persamaan kuintik|persamaan derajat 5]] dan yang lebih tinggi. [[Teori Galois]], dinamai berdasarkan [[Évariste Galois]], menunjukkan bahwa beberapa persamaan dengan setidaknya derajat 5 bahkan tidak memiliki solusi idiosinkratik dalam radikal, dan memberikan kriteria untuk memutuskan apakah suatu persamaan ternyata dapat diselesaikan menggunakan akar.

== Bidang studi ==

Persamaan aljabar adalah dasar dari sejumlah bidang matematika modern: [[Teori bilangan aljabar]] adalah studi tentang persamaan aljabar (univariat) di atas rasio (yaitu, dengan koefisien [[bilangan rasional|rasional]]). [[Teori Galois]] diperkenalkan oleh [[Évariste Galois]] untuk menentukan kriteria untuk memutuskan apakah persamaan aljabar dapat diselesaikan dalam istilah akar. Dalam [[teori medan (matematika)|teori medan]], [[ekstensi aljabar]] adalah perpanjangan sedemikian rupa sehingga setiap elemen adalah akar persamaan aljabar di atas bidang alas. [[Teori bilangan transendental]] adalah studi tentang bilangan real yang bukan merupakan solusi persamaan aljabar di atas rasio. [[Persamaan Diofantin]] adalah persamaan polinomial (biasanya multivariat) dengan koefisien integer yang mana salah satunya tertarik pada solusi bilangan bulat. [[Geometri aljabar]] adalah studi tentang solusi dalam [[bidang tertutup aljabar]] dari persamaan polinomial multivariat.

Dua persamaan dianggap ekivalen jika mereka memiliki himpunan [[Persamaan|solusi]] yang sama. Secara khusus persamaan <math>P = Q</math> setara dengan <math>P-Q = 0</math>. Oleh karena itu, studi tentang persamaan aljabar setara dengan studi tentang polinomial.

Persamaan polinomial di atas rasio selalu dapat diubah menjadi persamaan yang [[koefisien]] adalah [[bilangan bulat]]. Misalnya, mengalikan dengan 42 = 2 · 3 · 7 dan mengelompokkan suku-suku di anggota pertama, persamaan polinomial yang disebutkan sebelumnya <math>y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}</math> menjadi
:<math>42y^4+21xy-14x^3+42xy^2-42y^2+6=0.</math>

Karena [[sinus]], [[eksponen]], dan 1/'' T '' bukan fungsi polinomial,
:<math>e^T x^2+\frac{1}{T}xy+\sin(T)z -2 =0</math>
adalah '' bukan '' persamaan polinomial dalam empat variabel '' x '', '' y '', '' z '', dan '' T '' di atas bilangan rasional. Namun, ini adalah persamaan polinomial dalam tiga variabel '' x '', '' y '', dan '' z '' di atas bidang [[fungsi dasar]] dalam variabel ''T''.

== Teori ==
=== Polinomial ===

Diberikan persamaan yang tidak diketahui
:<math>(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0</math>,
dengan koefisien dalam sebuah [[bidang (matematika)|bidang]] , dapat dikatakan bahwa solusi dari (E) dalam adalah akar dalam dari polinomial
:<math>P = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 \quad \in K[X]</math>.
Dapat ditunjukkan bahwa polinomial derajat dalam suatu bidang memiliki paling banyak akar. Oleh karena itu, persamaan (E) memiliki paling banyak solusi .

Jika adalah [[ekstensi bidang]] dari , seseorang dapat menganggap (E) sebagai persamaan dengan koefisien dalam dan solusi (E) dalam juga solusi dalam (kebalikannya tidak berlaku secara umum). Itu selalu mungkin untuk menemukan ekstensi bidang dari yang dikenal sebagai [[medan pecah]] dari polinomial , di mana (E) memiliki setidaknya satu solusi.

=== Adanya solusi untuk persamaan nyata dan kompleks ===

[[Teorema dasar aljabar]] menyatakan bahwa [[bidang (matematika)|bidang]] dari [[bilangan kompleks]] ditutup secara aljabar, artinya, semua persamaan polinomial dengan koefisien kompleks dan setidaknya satu derajat memiliki solusi.

Oleh karena itu, semua persamaan polinomial derajat 1 atau lebih dengan koefisien nyata memiliki solusi '' kompleks ''. Di sisi lain, persamaan seperti <math>x^2 + 1 = 0 </math> tidak memiliki solusi di <math>\R </math> (solusinya adalah [[unit imajiner]] dan ).

Sementara solusi nyata dari persamaan nyata bersifat intuitif (mereka adalah - koordinat titik-titik di mana kurva memotong sumbu ), keberadaan solusi kompleks untuk persamaan riil dapat mengejutkan dan kurang mudah untuk divisualisasikan.

Namun, [[polinomial monik]] derajat [[paritas (matematika)|ganjil]] harus memiliki akar nyata. [[Fungsi polinomial]] terkait di kontinu, dan itu mendekati <math>-\infty</math> sebagai dengan <math>-\infty</math> dan <math>+\infty</math> saat mendekat <math>+\infty</math>. Dengan [[teorema nilai tengah]], ia harus mengasumsikan nilai nol pada beberapa nyata, yang kemudian merupakan solusi dari persamaan polinomial.

=== Koneksi ke teori Galois ===

Ada rumus yang memberikan solusi dari polinomial nyata atau kompleks dengan derajat kurang dari atau sama dengan empat sebagai fungsi dari koefisiennya. [[Niels Henrik Abel|Abel]] menunjukkan bahwa tidak mungkin menemukan rumus seperti itu secara umum (hanya menggunakan empat operasi [[aritmetika]] dan mengambil akar) untuk persamaan derajat lima atau lebih tinggi. [[Teori Galois]] memberikan kriteria yang memungkinkan seseorang untuk menentukan apakah solusi untuk persamaan polinomial tertentu dapat diekspresikan menggunakan akar.

== Solusi eksplisit persamaan numerik ==

=== Pendekatan ===

Solusi eksplisit dari persamaan derajat 1 nyata atau kompleks adalah sepele. [[Penyelesaian persamaan|Menyelesaikan]] persamaan derajat yang lebih tinggi berkurang menjadi memfaktorkan polinomial terkait, yaitu
:<math>a_n(x-z_1)\dots(x-z_n)=0</math>,
di mana solusinya maka <math>z_1, \dots, z_n</math>. Masalahnya adalah untuk mengekspresikan <math>z_i</math> dalam hal <math>a_i</math>.

Pendekatan ini berlaku lebih umum jika koefisien dan solusi termasuk dalam [[domain integral]].

== Lihat pula ==

* [[Fungsi aljabar]]
* [[Bilangan aljabar]]
* [[Kesimpulan akar]]
* [[Persamaan linear]] (derajat = 1)
* [[Persamaan kuadrat]] (derajat = 2)
* [[Persamaan kubik]] (derajat = 3)
* [[Persamaan kuartik]] (derajat = 4)
* [[Persamaan kuintik]] (derajat = 5)
* [[Persamaan urutan]] (derajat = 6)
* [[Persamaan septik]] (derajat = 7)
* [[Sistem persamaan linear]]
* [[Sistem persamaan polinomial]]
* [[Persamaan Diofantin|Persamaan Diofantin Linear]]
* [[Persamaan linear gelanggang]]
* [[Teorema Cramer (kurva aljabar)]], pada jumlah titik biasanya cukup untuk menentukan kurva derajat ke-bivariat '' n ''

== Referensi ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+aljabar&oldid=28428511 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28428511 (2025-11-12T11:17:29Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.