Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T09:04:11Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 09.04
Baris 1:		Baris 1:
	Sebuah '''persamaan beda rasional''' adalah [[persamaan beda]] nonlinear dalam bentuk		Sebuah '''persamaan beda rasional''' adalah [[persamaan beda]] nonlinear dalam bentuk<ref>Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, ''Biometrika'' '''38''' 196−218, eqns (41,42)</ref><ref>Elias Camouzis. [https://books.google.com/books?id=4Kb3lO31NcAC&q=on+third+order+rational+difference+equations Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures]. CRC Press. November 16, 2007. ISBN 9781584887669.</ref><ref>Mustafa R. S. Kulenovic. [https://books.google.com/books?id=zW7N4r64aZgC&q=on+second+order+rational+difference+equations Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures]. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.</ref><ref>Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", ''Mathematical Gazette'' 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.</ref>
	: <math>x_{n+1} = \frac{\alpha+\sum_{i=0}^k \beta_ix_{n-i}}{A+\sum_{i=0}^k B_ix_{n-i}}~,</math>		: <math>x_{n+1} = \frac{\alpha+\sum_{i=0}^k \beta_ix_{n-i}}{A+\sum_{i=0}^k B_ix_{n-i}}~,</math>
	di mana kondisi awal <math>x_{0}, x_{-1},\dots, x_{-k}</math> sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk <math>n</math> apa-pun.		di mana kondisi awal <math>x_{0}, x_{-1},\dots, x_{-k}</math> sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk <math>n</math> apa-pun.
Baris 8:		Baris 8:
	: <math>w_{t+1} = \frac{aw_t+b}{cw_t+d}.</math>		: <math>w_{t+1} = \frac{aw_t+b}{cw_t+d}.</math>

	Bila <math>a,b,c,d</math> dan kondisi awal <math>w_{0}</math> adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai '''persamaan beda Riccati'''.		Bila <math>a,b,c,d</math> dan kondisi awal <math>w_{0}</math> adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai '''persamaan beda Riccati'''.<ref>Mustafa R. S. Kulenovic. [https://books.google.com/books?id=zW7N4r64aZgC&q=on+second+order+rational+difference+equations Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures]. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.</ref>

	Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis <math>w_t</math> sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain <math>x_t</math> yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan [[persamaan beda linear]] pada <math>x_t</math>.		Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis <math>w_t</math> sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain <math>x_t</math> yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan [[persamaan beda linear]] pada <math>x_t</math>.

	Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.		Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.<ref>[https://physics.stackexchange.com/q/121297 Equivalent resistance in ladder circuit]. ''Stack Exchange''.</ref><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=rqckorUt2ck Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!]. ''Youtube''.</ref>

	== Memecahkan persamaan urutan pertama==		== Memecahkan persamaan urutan pertama==

	===Pendekatan pertama===		===Pendekatan pertama===
			Pendekatan pertama<ref>Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," ''American Mathematical Monthly'' '''62''', September 1955, 489–492. [https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362 online]</ref> untuk mengembangkan variabel yang diubah <math>x_t</math>, ketika <math>ad-bc \neq 0</math> ditulis sebagai
	Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah <math>x_t</math>, ketika <math>ad-bc \neq 0</math> ditulis sebagai
	: <math>y_{t+1}= \alpha - \frac{\beta}{y_t}</math>		: <math>y_{t+1}= \alpha - \frac{\beta}{y_t}</math>
	di mana <math>\alpha = (a+d)/c</math> dan <math>\beta = (ad-bc)/c^{2}</math> dan di mana <math>w_t = y_t -d/c</math>.		di mana <math>\alpha = (a+d)/c</math> dan <math>\beta = (ad-bc)/c^{2}</math> dan di mana <math>w_t = y_t -d/c</math>.
Baris 26:		Baris 24:

	===Pendekatan kedua ===		===Pendekatan kedua ===
			Pendekatan ini<ref>Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," ''Journal of Economic Dynamics and Control'' 24, 2000, 615–622.</ref> diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk <math>x_t</math> alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana <math>(d-a)^{2}+4bc</math> bukanlah negatif. Tulis sebagai <math>x_t = 1/(\eta + w_t)</math> diimplikasikan <math>w_t = (1- \eta x_t)/x_t</math>, di mana <math>\eta</math> yang diberikan oleh <math>\eta = (d-a+r)/2c</math> dan di mana <math>r=\sqrt{(d-a)^{2}+4bc}</math>. Maka dapat ditunjukkan bahwa <math>x_t</math> dievolusikan sebagai
	Pendekatan ini diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk <math>x_t</math> alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana <math>(d-a)^{2}+4bc</math> bukanlah negatif. Tulis sebagai <math>x_t = 1/(\eta + w_t)</math> diimplikasikan <math>w_t = (1- \eta x_t)/x_t</math>, di mana <math>\eta</math> yang diberikan oleh <math>\eta = (d-a+r)/2c</math> dan di mana <math>r=\sqrt{(d-a)^{2}+4bc}</math>. Maka dapat ditunjukkan bahwa <math>x_t</math> dievolusikan sebagai

	: <math>x_{t+1} =\left( \frac{d-\eta c}{\eta c+a}\right)x_t + \frac{c}{\eta c+a}.</math>		: <math>x_{t+1} =\left( \frac{d-\eta c}{\eta c+a}\right)x_t + \frac{c}{\eta c+a}.</math>
Baris 38:		Baris 35:
	:<math>X_{t+1} = -(E+BX_t)(C+AX_t)^{-1},</math>		:<math>X_{t+1} = -(E+BX_t)(C+AX_t)^{-1},</math>

	di mana semua ''A, B, C, E,'' dan ''X'' adalah matriks ''n''×''n'' (dalam hal ini ''n''=1); solusinya adalah		di mana semua ''A, B, C, E,'' dan ''X'' adalah matriks ''n''×''n'' (dalam hal ini ''n''=1); solusinya adalah<ref>Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), ''The Riccati Equation'', Springer-Verlag, 1991.</ref>

	:<math>X_{t}=N_tD_t^{-1}</math>		:<math>X_{t}=N_tD_t^{-1}</math>
Baris 47:		Baris 44:

	==Aplikasi==		==Aplikasi==
			Hal ini ditunjukkan<ref>Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," ''Journal of Economic Dynamics and Control'' 31, 2007, 141–159.</ref> bahwa [[matriks persamaan Riccati]] dinamis dari bentuk
	Hal ini ditunjukkan bahwa [[matriks persamaan Riccati]] dinamis dari bentuk

	: <math> H_{t-1} = K +A'H_tA - A'H_tC(C'H_tC)^{-1}C'H_tA, </math>		: <math> H_{t-1} = K +A'H_tA - A'H_tC(C'H_tC)^{-1}C'H_tA, </math>

	yang dapat muncul pada beberapa masalah [[kontrol optimal]] [[waktu-diskrit]], bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks ''C'' hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.		yang dapat muncul pada beberapa masalah [[kontrol optimal]] [[waktu-diskrit]], bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks ''C'' hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

	~~==Referensi==~~


	==Bacaan lebih lanjut==		==Bacaan lebih lanjut==

	* Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," ''Mathematical Gazette'' 93, November 2009, 500-504.		* Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," ''Mathematical Gazette'' 93, November 2009, 500-504.

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+beda+rasional&oldid=28837385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837385 (2026-01-15T14:40:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+beda+rasional&oldid=28837385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837385 (2026-01-15T14:40:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837385; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T08:37:20Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837385; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Sebuah '''persamaan beda rasional''' adalah [[persamaan beda]] nonlinear dalam bentuk
: <math>x_{n+1} = \frac{\alpha+\sum_{i=0}^k \beta_ix_{n-i}}{A+\sum_{i=0}^k B_ix_{n-i}}~,</math>
di mana kondisi awal <math>x_{0}, x_{-1},\dots, x_{-k}</math> sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk <math>n</math> apa-pun.

==Persamaan beda rasional urutan pertama==
Sebuah '''persamaan beda rasional urutan pertama''' adalah [[persamaan beda]] nonlinear dari bentuk

: <math>w_{t+1} = \frac{aw_t+b}{cw_t+d}.</math>

Bila <math>a,b,c,d</math> dan kondisi awal <math>w_{0}</math> adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai '''persamaan beda Riccati'''.

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis <math>w_t</math> sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain <math>x_t</math> yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan [[persamaan beda linear]] pada <math>x_t</math>.

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.

== Memecahkan persamaan urutan pertama==

===Pendekatan pertama===

Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah <math>x_t</math>, ketika <math>ad-bc \neq 0</math> ditulis sebagai
: <math>y_{t+1}= \alpha - \frac{\beta}{y_t}</math>
di mana <math>\alpha = (a+d)/c</math> dan <math>\beta = (ad-bc)/c^{2}</math> dan di mana <math>w_t = y_t -d/c</math>.

Penulisan lebih lanjut <math>y_t = x_{t+1}/x_t</math> ditampilkan sebagai hasil
: <math>x_{t+2} - \alpha x_{t+1} + \beta x_t =0. </math>

===Pendekatan kedua ===

Pendekatan ini diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk <math>x_t</math> alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana <math>(d-a)^{2}+4bc</math> bukanlah negatif. Tulis sebagai <math>x_t = 1/(\eta + w_t)</math> diimplikasikan <math>w_t = (1- \eta x_t)/x_t</math>, di mana <math>\eta</math> yang diberikan oleh <math>\eta = (d-a+r)/2c</math> dan di mana <math>r=\sqrt{(d-a)^{2}+4bc}</math>. Maka dapat ditunjukkan bahwa <math>x_t</math> dievolusikan sebagai

: <math>x_{t+1} =\left( \frac{d-\eta c}{\eta c+a}\right)x_t + \frac{c}{\eta c+a}.</math>

===Pendekatan ketiga===
Persamaan
: <math>w_{t+1} = \frac{aw_t+b}{cw_t+d}</math>
juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari [[Persamaan besa matriks#Persamaan beda matriks nonlinier: Persamaan Riccati|persamaan matriks lebih umum]]

:<math>X_{t+1} = -(E+BX_t)(C+AX_t)^{-1},</math>

di mana semua ''A, B, C, E,'' dan ''X'' adalah matriks ''n''×''n'' (dalam hal ini ''n''=1); solusinya adalah

:<math>X_{t}=N_tD_t^{-1}</math>

di mana

:<math>\begin{pmatrix} N_{t} \\ D_{t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -B & -E \\ A & C \end{pmatrix}^t\begin{pmatrix} X_0\\ I \end{pmatrix}. </math>

==Aplikasi==

Hal ini ditunjukkan bahwa [[matriks persamaan Riccati]] dinamis dari bentuk

: <math> H_{t-1} = K +A'H_tA - A'H_tC(C'H_tC)^{-1}C'H_tA, </math>

yang dapat muncul pada beberapa masalah [[kontrol optimal]] [[waktu-diskrit]], bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks ''C'' hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

==Referensi==

==Bacaan lebih lanjut==

* Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," ''Mathematical Gazette'' 93, November 2009, 500-504.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+beda+rasional&oldid=28837385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837385 (2026-01-15T14:40:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Persamaan beda rasional - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837385; atribusi sumber disertakan.