Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:57:22Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837387; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:17:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837387; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''persamaan diferensial biasa''' (atau '''PDB,''' singkatan '''ODE''') adalah [[persamaan diferensial]] di mana fungsi yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas [[Ketunggalan (matematika)|tunggal]]. Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini adalah [[fungsi riil]] atau [[fungsi kompleks]], tetapi secara umum bisa juga berupa fungsi vektor maupun matriks. Lebih jauh lagi, persamaan diferensial biasa digolongkan berdasarkaan orde tertinggi dari turunan terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial sederhana yaitu PD orde satu. Berdasarkan definisi, suatu PD orde satu dapat dinyatakan secara umum dalam dua bentuk, yaitu bentuk implisit dan eksplisit. Contoh-contoh mengidentifikasi PD orde satu dapat dikaji lebih lanjut.

Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan persamaan diferensial

:<math>m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = F(x(t)),\,</math>

untuk gerakan partikel dengan [[massa]] konstan ''m''. Pada umumnya, [[gaya]] ''F'' tergantung kepada posisi partikel ''x(t)'' pada waktu ''t'', dan demikian fungsi yang tidak diketahui ''x(t)'' muncul pada kedua ruas persamaan diferensial, seperti yang diindikasikan dalam notasi ''F''(''x''(''t'')).

Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan [[persamaan diferensial parsial]], yang melibatkan [[turunan parsial]] dari beberapa variabel.

Persamaan diferensial biasa muncul dalam berbagai keadaan, termasuk [[geometri]], [[mekanika]], [[astronomi]] dan pemodelan populasi. Banyak [[matematikawan]] ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan memberi sumbangan terhadap bidang studi ini, termasuk [[Isaac Newton]], [[Gottfried Leibniz]], keluarga [[Bernoulli]], [[Riccati]], [[Alexis Claude Clairaut|Clairaut]], [[d'Alembert]] dan [[Euler]].

Dalam kasus persamaan tersebut [[transformasi linier|linier]], persamaan diferensial biasa dapat dipecahkan dengan metode analitik. Malangnya, kebanyakan persamaan diferensial nonlinier, dan kecuali sebagian kecil, tidak dapat dipecahkan secara eksak. Pemecahan hampiran dapat dicapai menggunakan komputer.

== Persamaan diferensial ==

[[Persamaan diferensial linear]] adalah persamaan diferensial yang ditentukan oleh [[polinomial linear]] dalam fungsi yang tidak diketahui dan turunannya, hal ini adalah [[persamaan]] dari bentuk
:<math>a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}+b(x)=0,</math>
di mana , ..., dan adalah nilai sembarang dari [[fungsi terdiferensiasi]] yang tidak perlu menggunakan linearr, dan adalah turunan berurutan dari fungsi yang tidak diketahui variabel .

Di antara persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial linear memainkan peran penting karena beberapa alasan. Sebagian besar fungsi [[Fungsi dasar|dasar]] dan [[Fungsi khusus|khusus]] yang ditemukan dalam [[fisika]] dan [[matematika terapan]] adalah solusi persamaan diferensial linier (lihat [[Fungsi holonomik]]). Ketika fenomena fisik dimodelkan dengan persamaan non-linier, umumnya didekati dengan persamaan diferensial linier untuk solusi yang lebih mudah. Beberapa PDB non-linier yang dapat diselesaikan secara eksplisit umumnya diselesaikan dengan mengubah persamaan menjadi PDB linier ekuivalen (lihat, contohnya [[persamaan Riccati]]).

==Definisi==
Berikut ini, bila ''y'' menjadi [[variabel dependen dan independen|variabel dependen]] dan ''x'' sebuah [[Variabel dependen dan independen|variabel independen]], dan ''y'' = ''f''(''x'') adalah fungsi yang tidak diketahui dari ''x''. [[Notasi untuk diferensiasi]] bervariasi tergantung pada penulis dan notasi mana yang paling berguna untuk tugas yang sedang dikerjakan. Dalam konteks ini, [[notasi untuk diferensiasi#notasi Leibniz|notasi Leibniz]] (''dy''/''dx'',''d''2''y''/''dx''2,...,''d''''n''''y''/''dx''''n'') lebih berguna untuk diferensiasi dan [[Integrasi (matematika)|integrasi]], sedangkan [[notasi untuk diferensiasi#notasi Lagrange|notasi Lagrange]] (''y′'',''y′′'', ..., ''y''(''n'')) lebih berguna untuk merepresentasikan turunan dari urutan apa pun secara kompak, dan [[notasi untuk diferensiasi#notasi Newton|notasi Newton]] <math>(\dot y, \ddot y, \overset{...}{y})</math> sering digunakan dalam fisika untuk mewakili turunan orde rendah sehubungan dengan waktu.

===Definisi umum===
biasanya ''F'', fungsi dari ''x'', ''y'', dan turunan dari ''y''. Kemudian persamaan bentuknya

:<math>F\left (x,y,y',\ldots, y^{(n-1)} \right )=y^{(n)}</math>

disebut sebagai [[Fungsi implisit dan eksplisit|eksplisit]] ''persamaan diferensial biasa'' dari nilai ''order'' ''n''.

Lebih umum lagi, persamaan diferensial biasa ''[[fungsi implisit dan eksplisit|implisit]]'' ''n'' mengambil bentuknya:

:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n)}\right) = 0</math>

==Sistem PDB==

Sejumlah persamaan diferensial berpasangan membentuk sistem persamaan. Jika '''y''' adalah vektor yang elemennya adalah fungsi; '''y'''(''x'') = [''y''1(''x''), ''y''2(''x''),..., ''ym''(''x'')], dan '''F''' adalah [[fungsi nilai vektor]] dari '' 'y' '' dan turunannya, maka

:<math>\mathbf{y}^{(n)} = \mathbf{F}\left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)</math>

adalah ''sistem eksplisit persamaan diferensial biasa'' dari ''orde'' ''n'' dan ''dimensi'' ''m''. Dalam bentuk [[vektor kolom]]:

:<math>\begin{pmatrix}
y_1^{(n)} \\
y_2^{(n)} \\
\vdots \\
y_m^{(n)}
\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}
f_1 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
f_2 \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right ) \\
\vdots \\
f_m \left (x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n-1)} \right)
\end{pmatrix}</math>

Ini tidak selalu linier. Analog ''implisit'' adalah:

:<math>\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)} \right) = \boldsymbol{0}</math>

di mana '''0''' = (0, 0, ..., 0) adalah [[vektor nol]]. Dalam bentuk matriks

:<math>\begin{pmatrix}
f_1(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\
f_2(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)}) \\
\vdots \\
f_m(x,\mathbf{y},\mathbf{y}',\mathbf{y}'',\ldots, \mathbf{y}^{(n)})
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}</math>

Untuk sistem bentuk <math>\mathbf{F} \left(x,\mathbf{y},\mathbf{y}'\right) = \boldsymbol{0}</math>, beberapa sumber juga mengharuskan [[matriks Jacobian]] <math>\frac{\partial\mathbf{F}(x,\mathbf{u},\mathbf{v})}{\partial \mathbf{v}}</math> jadilah [[matriks tunggal|non-singular]] untuk menyebutnya sebagai [sistem] PDB implisit; sistem PDB implisit yang memenuhi kondisi non-singularitas Jacobian ini dapat diubah menjadi sistem PDB eksplisit. Dalam sumber yang sama, sistem PDB implisit dengan Jacobian tunggal disebut [[persamaan aljabar diferensial]] (DAE). Perbedaan ini bukan hanya salah satu terminologi; DAE memiliki karakteristik yang berbeda secara fundamental dan umumnya lebih terlibat untuk diselesaikan daripada sistem PDB (nonsingular). Agaknya untuk turunan tambahan, [[matriks Hessian]] dan seterusnya juga diasumsikan non-singular menurut skema tersebut, meskipun perhatikan bahwa [[#Pengurangan ke sistem orde pertama|PDB apa pun dengan urutan yang lebih besar dari satu dapat [dan biasanya] ditulis ulang sebagai sistem PDB urutan pertama]], yang membuat kriteria singularitas Jacobian cukup untuk taksonomi ini menjadi komprehensif di semua urutan.

Perilaku sistem PDB dapat divisualisasikan melalui penggunaan [[potret fase]].

== Solusi ==
Solusi dari persamaan diferensial
:<math>F\left(x, y, y', \ldots, y^{(n)} \right) = 0</math>
sebuah fungsi , di mana ''I'' adalah interval, disebut ''solusi'' atau [[kurva integral]] untuk ''F'', if ''u'' adalah ''n''-kali dibedakan ''I'', and
:<math>F(x,u,u',\ \ldots,\ u^{(n)})=0 \quad x \in I.</math>

Given two solutions and , ''u'' is called an ''extension'' of ''v'' if and
:<math>u(x) = v(x) \quad x \in I.\,</math>

===Solusi tunggal===
Teori [[solusi tunggal]] s of biasa dan [[persamaan diferensial parsial]] adalah subjek penelitian dari zaman Leibniz, tetapi baru sejak pertengahan abad kesembilan belas hal itu mendapat perhatian khusus. Sebuah karya berharga tetapi sedikit diketahui tentang masalah hal ini adalah karya Houtain (1854). [[Jean Gaston Darboux|Darboux]] (dari tahun 1873) adalah pemimpin dalam teori, dan dalam interpretasi geometris solusi ini ia membuka bidang yang dikerjakan oleh berbagai penulis, terutama [[Felice Casorati (matematikawan)|Casorati]]. Untuk yang terakhir adalah karena (1872) teori solusi tunggal dari persamaan diferensial orde pertama yang diterima sekitar tahun 1900.

==Pengurangan menjadi kuadrat==
Upaya primitif dalam menangani persamaan diferensial telah melihat pengurangan ke [[kuadrat (matematika)|kuadrat]]. Sebagaimana telah menjadi harapan para ahli aljabar abad kedelapan belas untuk menemukan metode untuk memecahkan persamaan umum dari ''n'' derajat, jadi analis berharap untuk menemukan metode umum untuk mengintegralkan persamaan diferensial. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] (1799) menunjukkan, bagaimanapun, persamaan diferensial yang kompleks. Oleh karena itu, analis mulai menggantikan studi fungsi, sehingga membuka bidang baru dan subur. [[Cauchy]] adalah orang pertama yang menghargai pentingnya pandangan ini. Setelah itu, pertanyaan sebenarnya bukan lagi apakah suatu solusi dimungkinkan melalui fungsi yang diketahui atau integral, tetapi apakah persamaan diferensial yang diberikan cukup untuk definisi fungsi dari variabel bebas atau variabel, dan, jika demikian, apa sifat karakteristiknya.

==Teori==

===Teori Fuchsian===

Dua memoar oleh [[Lazarus Fuchs|Fuchs]] mengilhami pendekatan baru, yang kemudian diuraikan oleh Thomé dan [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]]. Collet adalah kontributor terkemuka mulai tahun 1869. Metodenya untuk mengintegrasikan sistem non-linier dikomunikasikan ke Bertrand pada tahun 1868. [[Alfred Clebsch|Clebsch]] (1873) menyerang teori sepanjang garis sejajar dengan teori [[Abelian integral]]. Karena yang terakhir dapat diklasifikasikan menurut sifat-sifat kurva fundamental yang tetap tidak berubah di bawah transformasi rasional, Clebsch mengusulkan untuk mengklasifikasikan fungsi transenden yang ditentukan oleh persamaan diferensial sesuai dengan sifat invarian dari permukaan yang sesuai ''f'' = 0 di bawah transformasi satu-ke-satu yang rasional.

===Teori Lie===
Dari tahun 1870, karya [[Sophus Lie]] menempatkan teori persamaan diferensial di atas fondasi yang lebih baik. Dia menunjukkan bahwa teori integrasi dari ahli matematika yang lebih tua bisa, menggunakan [[Lie grup]], dirujuk ke sumber yang sama, dan persamaan diferensial biasa yang mengakui hal yang sama [[infinitesimal transformasi]] menghadirkan kesulitan integrasi yang sebanding. Dia juga menekankan subjek [[transformasi kontak]].

=== Teori Sturm-Liouville ===

Teori Sturm-Liouville adalah teori jenis khusus dari persamaan diferensial biasa linier orde dua. Solusi mereka didasarkan pada [[eigenvalues]] dan korespondensi [[Fungsi eigen|eigenfunctions]] operator linier yang ditentukan melalui orde kedua [[Sistem persamaan lineatr|persamaan linier homogen]].

==Eksistensi dan keunikan solusinya==

Ada beberapa teorema yang menetapkan keberadaan dan keunikan solusi untuk [[masalah nilai awal]] yang melibatkan PDB baik secara lokal maupun global. Dua teorema utama tersebut adalah

:

Dalam bentuk dasarnya, kedua teorema ini hanya menjamin hasil lokal, meskipun yang terakhir dapat diperpanjang untuk memberikan hasil global, misalnya, jika kondisi [[Pertidaksamaan Grönwall]] terpenuhi.

Selain itu, teorema keunikan seperti Lipschitz di atas tidak berlaku untuk sistem [[persamaan aljabar diferensial|DAE]], yang mungkin memiliki beberapa solusi yang berasal dari bagian aljabar (non-linear) saja.

===Eksistensi lokal dan teorema keunikan disederhanakan===

Teorema dapat dinyatakan secara sederhana sebagai berikut. Untuk persamaan dan masalah nilai awal:

:<math> y' = F(x,y)\,,\quad y_0 = y(x_0)</math>

bila ''F'' and ∂''F''/∂''y'' bersambung dalam [[persegi panjang]] tertutup

:<math>R=[x_0-a,x_0+a]\times [y_0-b,y_0+b]</math>

dalam ''x-y'' bidang, di mana ''a'' dan ''b'' adalah [[bilangan real|real]] (secara simbolis: ''a, b'' ∈ ℝ) dan × menunjukkan [[produk kartesian]], tanda kurung siku menunjukkan [[notasi interval|interval tertutup]], lalu ada interval

:<math>I = [x_0-h,x_0+h] \subset [x_0-a,x_0+a]</math>

== Pengurangan pesanan ==
Persamaan diferensial biasanya dapat diselesaikan dengan lebih mudah jika urutan persamaan dapat dikurangi.

=== Pengurangan ke sistem orde pertama ===
Persamaan orde diferensial eksplisit apa pun ''n'',

:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \ldots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}</math>

dapat ditulis sebagai sistem ''n'' persamaan diferensial orde pertama dengan mendefinisikan keluarga baru fungsi yang tidak diketahui

:<math>y_i = y^{(i-1)}.\!</math>

bagi ''i'' = 1, 2,..., ''n''. Kemudian sistem dimensi ''n'' dari persamaan diferensial berpasangan orde satu

:<math>\begin{array}{rcl}
y_1'&=&y_2\\
y_2'&=&y_3\\
&\vdots&\\
y_{n-1}'&=&y_n\\
y_n'&=&F(x,y_1,\ldots,y_n).
\end{array}
</math>

lebih kompak dalam notasi vektor:

:<math>\mathbf{y}'=\mathbf{F}(x,\mathbf{y})</math>

di mana
:<math>\mathbf{y}=(y_1,\ldots,y_n),\quad \mathbf{F}(x,y_1,\ldots,y_n)=(y_2,\ldots,y_n,F(x,y_1,\ldots,y_n)).</math>

==Metode tebakan==

Ketika semua metode lain untuk menyelesaikan PDB gagal, atau dalam kasus di mana kami memiliki beberapa intuisi tentang seperti apa solusi untuk DE, Terkadang mungkin untuk menyelesaikan DE hanya dengan menebak solusi dan memvalidasinya benar. Untuk menggunakan metode ini, kita cukup menebak solusi dari persamaan diferensial, lalu memasukkan solusi tersebut ke dalam persamaan diferensial untuk memvalidasi apakah solusi tersebut memenuhi persamaan tersebut. Jika benar, maka kami memiliki solusi khusus untuk DE, jika tidak, kami mulai lagi dan coba tebakan lain. Misalnya kita bisa menebak bahwa solusi untuk DE memiliki bentuk: <math>y = Ae^{\alpha t}</math> karena ini adalah solusi yang sangat umum yang secara fisik berperilaku sinusoidal.

Dalam kasus PDB orde pertama yang tidak homogen, pertama-tama kita harus mencari solusi DE untuk bagian DE yang homogen, atau yang dikenal sebagai persamaan karakteristik.

<math>\text{solusi total} = \text{solusi homogen} + \text{solusi tertentu}</math>

==Lihat pula==
*[[Masalah nilai batas]]
*[[Contoh persamaan diferensial]]
*[[Transformasi Laplace diterapkan pada persamaan diferensial]]
*[[Daftar topik sistem dinamis dan persamaan diferensial]]
*[[Persamaan diferensial matriks]]
*[[Metode koefisien yang belum ditentukan]]
*[[Relasi perulangan]]

== Catatan ==

==Referensi==
*
*
* .
* Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, ''Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003.
*
*
*
*

== Bibliografi ==
*
*
* W. Johnson, [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=abv5010.0001.001 ''A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations''], John Wiley and Sons, 1913, in [http://hti.umich.edu/u/umhistmath/ University of Michigan Historical Math Collection]
*
* [[Witold Hurewicz]], ''Lectures on Ordinary Differential Equations'', Dover Publications,
*.
*
* [[Andrei Polyanin|A. D. Polyanin]], V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations'', Taylor & Francis, London, 2002.
* D. Zwillinger, ''Handbook of Differential Equations (3rd edition)'', Academic Press, Boston, 1997.

==Pranala luar==

*
* (termasuk daftar [[perangkat lunak]] untuk memecahkan persamaan diferensial).
*[http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm EqWorld: The World of Mathematical Equations], berisi daftar persamaan diferensial biasa beserta solusinya.
*[http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/de.aspx Online Notes / Differential Equations] oleh Paul Dawkins, [[Lamar University]].
*[http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Differential Equations], S.O.S. Matematika.
*[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/08ode/mws_gen_ode_bck_primer.pdf A primer on analytical solution of differential equations] dari Holistic Numerical Methods Institute, University of South Florida.
*[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems] lecture notes by [[Gerald Teschl]].
*[http://www.jirka.org/diffyqs/ Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers] Buku pengantar tentang persamaan diferensial oleh Jiri Lebl dari [[UIUC]].
*[http://www.openeering.com/sites/default/files/LHY_Scilab_Tutorial_Part1.pdf Modeling with PDBs using Scilab] Sebuah tutorial tentang bagaimana memodelkan sistem fisik yang dijelaskan oleh PDB menggunakan [[bahasa pemrograman]] standar Scilab oleh tim Openeering.
*[http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27+%2B+2xy+%3D+0 Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+diferensial+biasa&oldid=28837387 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837387 (2026-01-15T14:41:05Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Persamaan diferensial biasa - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28837387; atribusi sumber disertakan.