Persamaan diferensial parsial - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:00:50Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.00
Baris 2:		Baris 2:

	== Pengantar ==		== Pengantar ==

	Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah		Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

Baris 39:		Baris 38:

	== Klasifikasi ==		== Klasifikasi ==

	- Dalam pengembangan -		- Dalam pengembangan -

Baris 55:		Baris 53:

	=== Jenis umum PDP ===		=== Jenis umum PDP ===

	[[Persamaan diferensial parsial eliptik]], [[parabola]], dan [[hiperbolik]] orde dua telah mempelajari secara luas sejak awal abad ke-20. Namun, masih banyak jenis PDP yang sangat penting lainnya, termasuk persamaan [[Korteweg-de Vries]]. Hibrida [[Persamaan Euler-Tricomi]], yang bervariasi dari eliptik ke [[hiperbolik]] untuk berbagai wilayah domain. Ada pula perluasan penting dari tipe dasar ini ke PDP tingkat tinggi, tetapi pengetahuan semacam itu lebih terspesialisasikan.		[[Persamaan diferensial parsial eliptik]], [[parabola]], dan [[hiperbolik]] orde dua telah mempelajari secara luas sejak awal abad ke-20. Namun, masih banyak jenis PDP yang sangat penting lainnya, termasuk persamaan [[Korteweg-de Vries]]. Hibrida [[Persamaan Euler-Tricomi]], yang bervariasi dari eliptik ke [[hiperbolik]] untuk berbagai wilayah domain. Ada pula perluasan penting dari tipe dasar ini ke PDP tingkat tinggi, tetapi pengetahuan semacam itu lebih terspesialisasikan.

	Klasifikasi tersebut memberikan panduan untuk kondisi awal dan batas yang sesuai dan untuk kelancaran solusi.		Klasifikasi tersebut memberikan panduan untuk kondisi awal dan batas yang sesuai dan untuk kelancaran solusi.


	=== Persamaan linear dan nonlinear ===		=== Persamaan linear dan nonlinear ===

	==== Persamaan linear ====		==== Persamaan linear ====
	Sebuah PDP dikatakan sebagai persamaan '''linear''' jika variabel yang tidak diketahui dan turunannya adalah linear. Misalnya, untuk fungsi <math display=inline>u</math> dengan variabel <math display=inline>x</math> dan <math display=inline>y</math>, sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk		Sebuah PDP dikatakan sebagai persamaan '''linear''' jika variabel yang tidak diketahui dan turunannya adalah linear. Misalnya, untuk fungsi <math display=inline>u</math> dengan variabel <math display=inline>x</math> dan <math display=inline>y</math>, sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk
Baris 73:		Baris 68:

	==== Nonlinear equations ====		==== Nonlinear equations ====

	Tiga jenis [[persamaan diferensial parsial nonlinear\|PDP nonlinear]] adalah semi-linear, quasilinear, dan nonlinear penuh.		Tiga jenis [[persamaan diferensial parsial nonlinear\|PDP nonlinear]] adalah semi-linear, quasilinear, dan nonlinear penuh.

Baris 85:		Baris 79:
	Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan [[relativitas umum]] dan [[Persamaan Navier-Stokes]] yang mendeskripsikan pergerakan [[fluida]].		Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan [[relativitas umum]] dan [[Persamaan Navier-Stokes]] yang mendeskripsikan pergerakan [[fluida]].

	Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai '''nonlinear penuh''', dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi. Contohnya adalah [[Persamaan Monge–Ampère]] yang muncul dari [[geometri diferensial]].		Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai '''nonlinear penuh''', dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi. Contohnya adalah [[Persamaan Monge–Ampère]] yang muncul dari [[geometri diferensial]].<ref>Sergiu Klainerman. ''Partial Differential Equations''. Princeton University Press. 2008. hlm. 455–483.</ref>


	== Solusi analitis ==		== Solusi analitis ==
	=== Pemisahan variabel ===		=== Pemisahan variabel ===
	PDP linier dapat mengindetifikasi menjadi sistem persamaan diferensial biasa dengan teknik penting dengan [[pemisahan variabel]]. Teknik tersebut berpijak pada karakteristik dari solusi untuk persamaan diferensial. Kami berasumsi sebagai ansatz bahwa ketergantungan solusi pada keliling ruang dan waktu dapat dituliskan sebagai hasil kelompok masing tergantung pada satu keliling, kemudian dapat melihat apakah ini dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah.		PDP linier dapat mengindetifikasi menjadi sistem persamaan diferensial biasa dengan teknik penting dengan [[pemisahan variabel]]. Teknik tersebut berpijak pada karakteristik dari solusi untuk persamaan diferensial. Kami berasumsi sebagai ansatz bahwa ketergantungan solusi pada keliling ruang dan waktu dapat dituliskan sebagai hasil kelompok masing tergantung pada satu keliling, kemudian dapat melihat apakah ini dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah.<ref>Neil Gershenfeld. [https://archive.org/details/natureofmathemat0000gers The nature of mathematical modeling]. Cambridge Univ. Press. 2000. hlm. [https://archive.org/details/natureofmathemat0000gers/page/27 27]. ISBN 0521570956.</ref>

	Dalam metode pemisahan variabel, seseorang mengindetifikasi PDP menjadi PDP dalam variabel yang lebih sedikit, salah satu persamaan diferensial biasa ketika variabel tersebut gilirannya lebih mudah untuk dipecahkan.		Dalam metode pemisahan variabel, seseorang mengindetifikasi PDP menjadi PDP dalam variabel yang lebih sedikit, salah satu persamaan diferensial biasa ketika variabel tersebut gilirannya lebih mudah untuk dipecahkan.
Baris 99:		Baris 92:

	== Solusi numerik ==		== Solusi numerik ==
			== Pranala luar ==

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />

	~~== Pranala luar ==~~



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+diferensial+parsial&oldid=29500485 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29500485 (2026-07-28T03:27:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+diferensial+parsial&oldid=29500485 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29500485 (2026-07-28T03:27:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29500485; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:23:11Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29500485; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Persamaan diferensial parsial''' (PDP) adalah persamaan yang di dalamnya terdapat suku-suku [[diferensial parsial]], yang dalam [[matematika]] diartikan sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu [[fungsi]] yang tidak diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa [[variabel bebas]], dengan turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran [[suara]] dan [[panas]], [[elektrostatika]], [[elektrodinamika]], aliran [[fluida]], [[elastisitas]], atau lebih umum segala macam proses yang terdistribusi dalam [[ruang]], atau terdistribusi dalam ruang dan [[waktu]]. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat berbeda memiliki [[formulasi]] matematika yang mirip satu sama lain.

== Pengantar ==

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

:<math> \frac{\partial u}{\partial x}=0\, </math>

di mana ''u'' suatu fungsi tak diketahui dari ''x'' dan ''y''. Hubungan ini mengisyaratkan bahwa nilai-nilai ''u''(''x'',''y'') adalah tidak bergantung dari ''x''. Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

:<math>u(x,y) = f(y),\,</math>

di mana ''f'' adalah suatu fungsi sembarang dari variabel ''y''. [[Analogi]] dari [[persamaan diferensial biasa]] untuk persamaan ini adalah

:<math> \frac{du}{dx}=0\, </math>

yang memiliki solusi

:<math>u(x) = c,\,</math>

di mana ''c'' bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai ''x''). Kedua contoh di atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan harus disertakan lebih lanjut pada [[syarat batas]] dari daerah di mana solusi didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi <math>\!f(y)</math> dapat ditentukan jika <math>\!u</math> dispesifikasikan pada sebuah garis <math>\!x=0</math>.

== Keberadaan dan keunikan ==
Meskipun masalah keberadaan dan keunikan solusi pada persamaan diferensial biasa memiliki jawaban yang sangat memuaskan menggunakan [[Teorema Picard-Lindelöf]], yaitu kasus untuk persamaan diferensial parsial. Teorema [[Cauchy-Kowalevski]] menyatakan bahwa [[Masalah Cauchy]] untuk persamaan diferensial parsial yang koefisien adalah [[Fungsi analitik]] dalam fungsi yang tidak diketahui. Meskipun hasil ini mungkin menyelesaikan keberadaan dan keunikan solusi, contoh [[persamaan diferensial parsial linier]] koefisiennya memiliki turunan dari semua pesanan tetapi tidak memiliki solusi sama sekali: lihat [[ContohLewy|Lewy (1957)]].

Contoh perilaku patologis adalah urutan (tergantung pada ) [[Masalah Cauchy]] untuk [[Persamaan Laplace]]

: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,</math>

dengan [[syarat batas]]

: <math>\begin{align} u(x,0) &= 0, \\ \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) &= \frac{\sin nx}{n}, \end{align}</math>

darimana adalah [[bilangan bulat]].

Turunan dari adalah hubungan dengan yang mendekati nol dalam , tetapi solusinya adalah

: <math>u(x,y) = \frac{\sinh ny \sin nx}{n^2}.</math>

== Klasifikasi ==

- Dalam pengembangan -

=== Notasi ===
Penulisan PDP umumnya ditulis dengan menggunakan tika bawah. Misalnya:

<math display="block">u_x = \frac{\partial u}{\partial x},\quad u_{xx} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\quad u_{xy} = \frac{\partial^2 u}{\partial y\, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y } \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right). </math>

Pada situasi umum dengan <math display=inline>u</math> adalah fungsi dengan <math display=inline>n</math> variabel, maka <math display=inline>u_i</math> menunjukkan turunan parsial pertama terhadap input ke-<math display=inline>i</math>, <math display=inline>u_{ij}</math> menunjukkan turunan parsial kedua relatif terhadap input ke-<math display=inline>i</math> dan ke-<math display=inline>j</math>, dan seterusnya.

Huruf yunani <math display=inline>\Delta</math> menunjukkan [[Operator Laplace]]; jika <math display=inline>u</math> adalah funsi dengan jumlah <math display=inline>n</math> variabel, maka
<math display="block">\Delta u = u_{11} + u_{22} + \cdots + u_{nn}.</math>

Pada bacaan fisika, operator Laplace sering dituliskan sebagai <math display=inline>\nabla^2</math>. Pada bacaan matematika, <math display=inline>\nabla^2 u</math> dapat juga mempresentasikan [[matriks Hesse]] dari fungsi <math display=inline>u</math>.

=== Jenis umum PDP ===

[[Persamaan diferensial parsial eliptik]], [[parabola]], dan [[hiperbolik]] orde dua telah mempelajari secara luas sejak awal abad ke-20. Namun, masih banyak jenis PDP yang sangat penting lainnya, termasuk persamaan [[Korteweg-de Vries]]. Hibrida [[Persamaan Euler-Tricomi]], yang bervariasi dari eliptik ke [[hiperbolik]] untuk berbagai wilayah domain. Ada pula perluasan penting dari tipe dasar ini ke PDP tingkat tinggi, tetapi pengetahuan semacam itu lebih terspesialisasikan.

Klasifikasi tersebut memberikan panduan untuk kondisi awal dan batas yang sesuai dan untuk kelancaran solusi.

=== Persamaan linear dan nonlinear ===

==== Persamaan linear ====
Sebuah PDP dikatakan sebagai persamaan '''linear''' jika variabel yang tidak diketahui dan turunannya adalah linear. Misalnya, untuk fungsi <math display=inline>u</math> dengan variabel <math display=inline>x</math> dan <math display=inline>y</math>, sebuah PDP linear orde kedua dengan bentuk
<math display="block"> a_1(x,y)u_{xx} + a_2(x,y)u_{xy} + a_3(x,y)u_{yx} + a_4(x,y)u_{yy} + a_5(x,y)u_x + a_6(x,y)u_y + a_7(x,y)u = f(x,y)
</math>

dengan <math display=inline>a_i</math> dan <math display=inline>f</math> adalah fungsi dengan variabel independen <math display=inline>x</math> dan <math display=inline>y</math> saja. Sering kali turunan parsial campuran <math display=inline>u_xy</math> dan <math display=inline>u_yx</math> akan disamakan, tapi ini tidak diperlukan untuk diskusi tentang linearitas persamaan.

Jika <math display=inline>a_i</math> adalah konstan (independen terhadap <math display=inline>x</math> dan <math display=inline>y</math>), maka PDP tersebut dikatakan disebut sebagai '''linear dengan koefisien konstan'''. Jika <math display=inline>f</math> bernilai 0 di mana pun, maka PDP linear disebut '''homogenous''', jika tidak maka disebut '''inhomogenous'''. Ini berbeda dengan [[homogenisasi asimpotik]] yang mempelajari tentang efek dari [[osilasi]] [[frekuensi tinggi]] pada koefisien pada solusi PDP.

==== Nonlinear equations ====

Tiga jenis [[persamaan diferensial parsial nonlinear|PDP nonlinear]] adalah semi-linear, quasilinear, dan nonlinear penuh.

Jenis terdekat dengan PDP linear adalah PDP '''semi-linear''', di mana hanya turunan orde tertinggi muncul seperti bagian linear, dengan koefisien adalah fungsi dari variabel independen. Turunan orde lebih rendah dan fungsi yang tidak diketahui mungkin terlihat acak. Misalnya, sebuah persamaan PDP semi-linear orde kedua yang umum dengan dua variabel adalah
<math display="block"> a_1(x,y)u_{xx} + a_2(x,y)u_{xy} + a_3(x,y)u_{yx} + a_4(x,y)u_{yy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0 </math>

Pada PDP '''quasilinear'', turunan tertinggi juga muncul seperti bagian linear, tapi dengan koefisien yang kemungkinan fungsi terhadap variabel yang tidak diketahui atau turunan dengan orde yang lebih rendah:

<math display="block"> a_1(u_x, u_y, u, x, y)u_{xx} + a_2(u_x, u_y, u, x, y)u_{xy} + a_3(u_x, u_y, u, x, y)u_{yx} + a_4(u_x, u_y, u, x, y)u_{yy} + f(u_x, u_y, u, x, y) = 0 </math>

Banyak PDP fundamental pada fisika berjenis quasilinear, seperti persamaan [[relativitas umum]] dan [[Persamaan Navier-Stokes]] yang mendeskripsikan pergerakan [[fluida]].

Sebuah PDP tanpa properti linear apa pun dikenal sebagai '''nonlinear penuh''', dan memiliki nonlinearitas pada satu atau lebih turunan dengan orde tertinggi. Contohnya adalah [[Persamaan Monge–Ampère]] yang muncul dari [[geometri diferensial]].

== Solusi analitis ==
=== Pemisahan variabel ===
PDP linier dapat mengindetifikasi menjadi sistem persamaan diferensial biasa dengan teknik penting dengan [[pemisahan variabel]]. Teknik tersebut berpijak pada karakteristik dari solusi untuk persamaan diferensial. Kami berasumsi sebagai ansatz bahwa ketergantungan solusi pada keliling ruang dan waktu dapat dituliskan sebagai hasil kelompok masing tergantung pada satu keliling, kemudian dapat melihat apakah ini dapat dilakukan untuk menyelesaikan masalah.

Dalam metode pemisahan variabel, seseorang mengindetifikasi PDP menjadi PDP dalam variabel yang lebih sedikit, salah satu persamaan diferensial biasa ketika variabel tersebut gilirannya lebih mudah untuk dipecahkan.

Hal tersebut kemungkinan untuk PDP yanh sederhana, disebut pula persamaan diferensial parsial yang terpisahkan dan domain umum [[persegi panjang]] (hasil kali interval). PDP yang dapat memisahkan sesuai dengan hasil [[matriks diagonal]] dengan memikirkan "menetapkan nilai x" sebagai koordinat, setiap koordinat dapat dipahami secara terpisah.

Pada saat menggeneralisasi metode karakteristik dan juga digunakan dalam transformasi integral.

== Solusi numerik ==

== Referensi ==

== Pranala luar ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+diferensial+parsial&oldid=29500485 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29500485 (2026-07-28T03:27:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.