Persamaan kubik - Riwayat revisi

Maintenance script: Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

2026-09-09T09:09:21Z

Pembersihan konten sesuai kebijakan Wiki Unissula

← Revisi sebelumnya		Revisi per 9 September 2026 09.09
Baris 22:		Baris 22:
	Pada abad ke-11, penyair-matematikawan Persia, [[Umar Khayyam]] (1048–1131), membuat kemajuan signifikan dalam teori persamaan kubik. Dalam karangan lamanya, dia menemukan bahwa sebuah persamaan kubik bisa memiliki lebih dari satu penyelesaiaan dan menyatakan bahwa persamaan kubik tidak bisa diselesaikan menggunakan konstruksi jangka dan penggaris. Dia juga menemukan sebuah [[#Penyelesaian Omar Khayyám\|penyelesaian geometris]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In one may read ''This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation'' ''and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables''. The ''then'' in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by ''also''. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting trigonometric tables. Textually: ''If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory.'' This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).</ref> Dalam karya lainnya kemudian, ''Treatise on Demonstration of Problems of Algebra'', dia menulis sebuah pengelompokan lengkap persamaan kubik dengan penyelesaian geometris umum yang ditemukan dengan cara memotongkan irisan kerucut.<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam] , MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."</ref><ref>states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>		Pada abad ke-11, penyair-matematikawan Persia, [[Umar Khayyam]] (1048–1131), membuat kemajuan signifikan dalam teori persamaan kubik. Dalam karangan lamanya, dia menemukan bahwa sebuah persamaan kubik bisa memiliki lebih dari satu penyelesaiaan dan menyatakan bahwa persamaan kubik tidak bisa diselesaikan menggunakan konstruksi jangka dan penggaris. Dia juga menemukan sebuah [[#Penyelesaian Omar Khayyám\|penyelesaian geometris]].<ref>A paper of Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), pages 323–337</ref><ref>In one may read ''This problem in turn led Khayyam to solve the cubic equation'' ''and he found a positive root of this cubic by considering the intersection of a rectangular hyperbola and a circle. An approximate numerical solution was then found by interpolation in trigonometric tables''. The ''then'' in the last assertion is erroneous and should, at least, be replaced by ''also''. The geometric construction was perfectly suitable for Omar Khayyam, as it occurs for solving a problem of geometric construction. At the end of his article he says only that, for this geometrical problem, if approximations are sufficient, then a simpler solution may be obtained by consulting trigonometric tables. Textually: ''If the seeker is satisfied with an estimate, it is up to him to look into the table of chords of Almagest, or the table of sines and versed sines of Mothmed Observatory.'' This is followed by a short description of this alternate method (seven lines).</ref> Dalam karya lainnya kemudian, ''Treatise on Demonstration of Problems of Algebra'', dia menulis sebuah pengelompokan lengkap persamaan kubik dengan penyelesaian geometris umum yang ditemukan dengan cara memotongkan irisan kerucut.<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (1999), [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Khayyam.html Omar Khayyam] , MacTutor History of Mathematics archive, states, "Khayyam himself seems to have been the first to conceive a general theory of cubic equations."</ref><ref>states, "Omar Al Hay of Chorassan, about 1079 AD did most to elevate to a method the solution of the algebraic equations by intersecting conics."</ref>

	Pada abad ke-12, matematikawan India Bhaskara II mencoba menyelesaikan persamaan kubik tetapi secara umum tidak berhasil. Akan tetapi, dia memberikan satu contoh persamaan kubik: <math>x^3 + 12x = 6x^2 + 35</math>.~~<ref>Bibhutibhushan Datta. ''History of Hindu Mathematics: A Source Book''. Bharattya Kala Prakashan. 2004. Vol. 2. hlm. 76. ISBN 81-86050-86-8.</ref>~~ Pada abad ke-12, [[Matematika Islam abad pertengahan\|matematikawan Persia]] lainnya, [[Sharaf al-Din al-Tusi]] (1135–1213), menulis ''Al-Muʿādalāt'' (''Treatise on Equations''), yang berurusan dengan delapan jenis persamaan kubik dengan penyelesaian positif dan lima jenis persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai "metode [[Aturan Ruffini\|Ruffini]]-[[Metode Horner\|Horner]]" untuk memperkirakan [[Analisis numerik\|secara numerik]] [[akar fungsi\|akar]] persamaan kubik. Dia juga menggunakan konsep [[maksimum dan minimum]] kurva untuk menyelesaikan persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+kubik&oldid=29539768 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Dia memahami pentingnya [[diskriminan]] suatu persamaan kubik dalam mencari penyelesaiaan aljabar dari jenis-jenis persamaan kubik tertentu.<ref>J. L. Berggren. ''Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt''. ''Journal of the American Oriental Society''. 1990. Vol. 110 (2). hlm. 304–309. doi:10.2307/604533.</ref>		Pada abad ke-12, matematikawan India Bhaskara II mencoba menyelesaikan persamaan kubik tetapi secara umum tidak berhasil. Akan tetapi, dia memberikan satu contoh persamaan kubik: <math>x^3 + 12x = 6x^2 + 35</math>. Pada abad ke-12, [[Matematika Islam abad pertengahan\|matematikawan Persia]] lainnya, [[Sharaf al-Din al-Tusi]] (1135–1213), menulis ''Al-Muʿādalāt'' (''Treatise on Equations''), yang berurusan dengan delapan jenis persamaan kubik dengan penyelesaian positif dan lima jenis persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai "metode [[Aturan Ruffini\|Ruffini]]-[[Metode Horner\|Horner]]" untuk memperkirakan [[Analisis numerik\|secara numerik]] [[akar fungsi\|akar]] persamaan kubik. Dia juga menggunakan konsep [[maksimum dan minimum]] kurva untuk menyelesaikan persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+kubik&oldid=29539768 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> Dia memahami pentingnya [[diskriminan]] suatu persamaan kubik dalam mencari penyelesaiaan aljabar dari jenis-jenis persamaan kubik tertentu.<ref>J. L. Berggren. ''Innovation and Tradition in Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī's Muʿādalāt''. ''Journal of the American Oriental Society''. 1990. Vol. 110 (2). hlm. 304–309. doi:10.2307/604533.</ref>

	Dalam bukunya ''Flos'', Leonardo de Pisa, juga dikenal sebagai [[Fibonacci]] (1170–1250), mampu memperkirakan dengan dekat penyelesaian positif untuk persamaan kubik <math>x^3 + 2x^2 + 10x = 20</math>. Menulis dengan [[angka-angka Babilonia]] dia memberikan hasil 1.22.7.42.33.4.40 (ekuivalen dengan <math display="inline">1 + \frac{22}{60} + \frac{7}{60^2} + \frac{42}{60^3} + \frac{33}{60^4} + \frac{4}{60^5} + \frac{40}{60^6}</math>), yang memiliki [[galat hampiran]] sekitar 10<sup>−9</sup>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+kubik&oldid=29539768 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>		Dalam bukunya ''Flos'', Leonardo de Pisa, juga dikenal sebagai [[Fibonacci]] (1170–1250), mampu memperkirakan dengan dekat penyelesaian positif untuk persamaan kubik <math>x^3 + 2x^2 + 10x = 20</math>. Menulis dengan [[angka-angka Babilonia]] dia memberikan hasil 1.22.7.42.33.4.40 (ekuivalen dengan <math display="inline">1 + \frac{22}{60} + \frac{7}{60^2} + \frac{42}{60^3} + \frac{33}{60^4} + \frac{4}{60^5} + \frac{40}{60^6}</math>), yang memiliki [[galat hampiran]] sekitar 10<sup>−9</sup>.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+kubik&oldid=29539768 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:57:09Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Lihat perubahan

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29539768; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:16:30Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29539768; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar]], '''persamaan kubik''' dalam satu variabel adalah [[persamaan]] yang berbentuk

: <math>{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}</math>

di mana <math>a</math> adalah tak nol.

Solusi dari persamaan ini disebut [[akar fungsi]] dari [[fungsi kubik]] yang didefinisikan oleh sisi kiri persamaan. Jika semua [[koefisien]] <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, dan <math>d</math> dari persamaan kubik adalah [[bilangan riil]], maka ia memiliki setidaknya satu akar nyata (ini berlaku untuk semua fungsi [[polinomial]] derajat ganjil). Semua akar persamaan kubik dapat ditemukan dengan cara berikut:

* secara [[aljabar]], yaitu, mereka dapat diekspresikan oleh '''rumus kubik''' yang melibatkan empat koefisien, empat operasi [[aritmetika]] dasar dan [[akar ke-n]] (radikal). (Ini juga berlaku untuk [[persamaan kuadrat]] (derajat dua) dan [[Persamaan Kuartik|kuartik]] (derajat empat), tetapi bukan persamaan derajat lebih tinggi, oleh teorema Abel-Ruffini.)
* [[trigonometri]]
* [[Analisis numeris|analisis numerik]] dari akar dapat ditemukan menggunakan [[algoritma pencarian akar]] seperti [[metode Newton]].

Koefisien tidak perlu bilangan riil. Banyak dari apa yang dibahas di bawah ini berlaku untuk koefisien dalam [[Medan (matematika)|medan]] apa pun dengan karakteristik selain 2 dan 3. Solusi dari persamaan kubik tidak harus milik bidang yang sama dengan koefisien. Sebagai contoh, beberapa persamaan kubik dengan koefisien rasional memiliki akar yang [[bilangan kompleks]] irasional (dan bahkan tidak nyata).

==Sejarah==
Persamaan kubik dikenal oleh orang-orang Babilonia, Yunani, Tionghoa, [[India]], dan [[Mesir Kuno|Mesir kuno]]. Papan aksara paku [[Babilonia]] (abad ke-20 sampai ke-16 SM) telah ditemukan berisi tabel untuk menghitung kubik dan akar kubik. Orang-orang Babilonia mungkin telah menggunakan tabel-tabel tersebut untuk menyelesaikan persamaan kubik, tetapi tidak ada bukti yang mengonfirmasinya. Masalah [[menggandakan kubus]] melibatkan persamaan kubik yang paling sederhana dan tua, dan dipercayai oleh orang-orang Mesir kuno tidak memiliki penyelesaian. Pada abad ke-5 SM, [[Hippokrates dari Khios|Hippokrates]] mereduksi masalah ini menjadi masalah mencari rata-rata geometri antara suatu garis dengan garis lain yang dua kali lipat panjangnya, tetapi tidak bisa menyelesaikan ini menggunakan sebuah [[konstruksi jangka dan penggaris]], cara yang sekarang diketahui tidak mungkin dilakukan. Metode untuk menyelesaikan persamaan kubik muncul dalam ''[[The Nine Chapters on the Mathematical Art]]'', sebuah teks [[matematika Tiongkok]] yang dikumpulkan pada sekitar abad ke-2 SM dan dikomentari oleh [[Liu Hui]] pada abad ke-3. Pada abad ke-3 Masehi, [[Matematika Yunani|matematikawan Yunani]] [[Diofantos]] menemukan penyelesaian [[bilangan bulat]] atau rasional untuk beberapa persamaan bivariat ([[persamaan Diophantine]]). [[Hippokrates dari Khios|Hippokrates]], [[Menaikhmos]] dan [[Archimedes]] dipercaya telah hampir menyelesaikan masalah menggandakan kubus menggunakan [[irisan kerucut]] yang berpotongan, meskipun sejarawan seperti Reviel Netz mempertanyakan apakah para orang Yunani memikirkan tentang persamaan kubik atau hanya masalah yang bisa menghasilkan persamaan kubik. Sebagian yang lain seperti [[T. L. Heath]], yang menerjemahkan semua karya [[Archimedes]], tidak setuju, memberikan bukti bahwa Archimedes benar-benar menyelesaikan persamaan kubik menggunakan perpotongan dua irisan kerucut, tetapi juga mendiskusikan apabila akarnya ada 0, 1 atau 2.

Pada abad ke-7, astronom-matematikawan [[dinasti Tang]] [[Wang Xiaotong]] dalam risalah matematikanya yang berjudul [[Jigu Suanjing]] secara sistematis menetapkan dan menyelesaikan [[Analisis numerik|secara numerik]] 25 persamaan kubik dengan bentuk <math>x^3 + px^2 + qx = N</math>, 23 di antaranya dengan <math>p,q \ne 0</math>, dan dua di antaranya dengan <math>q = 0</math>.

Pada abad ke-11, penyair-matematikawan Persia, [[Umar Khayyam]] (1048–1131), membuat kemajuan signifikan dalam teori persamaan kubik. Dalam karangan lamanya, dia menemukan bahwa sebuah persamaan kubik bisa memiliki lebih dari satu penyelesaiaan dan menyatakan bahwa persamaan kubik tidak bisa diselesaikan menggunakan konstruksi jangka dan penggaris. Dia juga menemukan sebuah [[#Penyelesaian Omar Khayyám|penyelesaian geometris]]. Dalam karya lainnya kemudian, ''Treatise on Demonstration of Problems of Algebra'', dia menulis sebuah pengelompokan lengkap persamaan kubik dengan penyelesaian geometris umum yang ditemukan dengan cara memotongkan irisan kerucut.

Pada abad ke-12, matematikawan India Bhaskara II mencoba menyelesaikan persamaan kubik tetapi secara umum tidak berhasil. Akan tetapi, dia memberikan satu contoh persamaan kubik: <math>x^3 + 12x = 6x^2 + 35</math>. Pada abad ke-12, [[Matematika Islam abad pertengahan|matematikawan Persia]] lainnya, [[Sharaf al-Din al-Tusi]] (1135–1213), menulis ''Al-Muʿādalāt'' (''Treatise on Equations''), yang berurusan dengan delapan jenis persamaan kubik dengan penyelesaian positif dan lima jenis persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai "metode [[Aturan Ruffini|Ruffini]]-[[Metode Horner|Horner]]" untuk memperkirakan [[Analisis numerik|secara numerik]] [[akar fungsi|akar]] persamaan kubik. Dia juga menggunakan konsep [[maksimum dan minimum]] kurva untuk menyelesaikan persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia memahami pentingnya [[diskriminan]] suatu persamaan kubik dalam mencari penyelesaiaan aljabar dari jenis-jenis persamaan kubik tertentu.

Dalam bukunya ''Flos'', Leonardo de Pisa, juga dikenal sebagai [[Fibonacci]] (1170–1250), mampu memperkirakan dengan dekat penyelesaian positif untuk persamaan kubik <math>x^3 + 2x^2 + 10x = 20</math>. Menulis dengan [[angka-angka Babilonia]] dia memberikan hasil 1.22.7.42.33.4.40 (ekuivalen dengan <math display="inline">1 + \frac{22}{60} + \frac{7}{60^2} + \frac{42}{60^3} + \frac{33}{60^4} + \frac{4}{60^5} + \frac{40}{60^6}</math>), yang memiliki [[galat hampiran]] sekitar 10<sup>−9</sup>.

Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia [[Scipione del Ferro]] (1465–1526) menemukan metode untuk menyelesaikan sebuah jenis persamaan kubik, yaitu yang berbentuk <math>x^3 + mx = n</math>. Sebenarnya, semua persamaan kubik bisa direduksi menjadi bentuk ini jika kita membolehkan <math>m</math> dan <math>n</math> bernilai negatif, tetapi [[bilangan negatif]] belum diketahuinya pada saat itu. Del Ferro merahasiakan pencapaiannya sampai kematiannya, pada mana dia memberi tahu muridnya Antonio Fior tentang itu.

Pada tahun 1530, [[Niccolò Tartaglia]] (1500–1557) menerima dua masalah persamaan kubik dari [[Zuanne da Coi]] dan mengumumkan bahwa dia bisa menyelesaikannya. Dia kemudian ditantang oleh Fior, yang menghasilkan pertandingan terkenal di antara keduanya. Masing-masing kontestan harus menaruh sejumlah uang dan mengusulkan banyak masalah yang lawannya harus selesaikan. Siapapun yang menyelesaikan lebih banyak masalah dalam waktu 30 hari akan mendapatkan semua uangnya. Tartaglia menerima pertanyaan dalam bentuk <math>x^3 + mx = n</math>, yang dia telah kembangkan metode umumnya. Fior menerima pertanyaan dalam bentuk <math>x^3 + mx^2 = n</math>, yang rupanya terlalu sulit untuk dia selesaikan, dan Tartaglia memenangkan pertandingannya.

Kemudian, Tartaglia dibujuk oleh [[Gerolamo Cardano]] (1501–1576) untuk mengungkapkan rahasianya dalam menyelesaikan persamaan kubik. Pada tahun 1539, Tartaglia melakukannya tetapi dengan syarat Cardano tidak boleh memberitahukannya dan apabila dia menulis buku mengenai kubik, dia harus memberikan Tartaglia untuk membuat terbitannya. Beberapa tahun kemudian, Cardano mempelajari tentang karya del Ferro dan menerbitkan metode del Ferro dalam bukunya ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars Magna]]'' pada tahun 1545, jadi Cardano memberikan Tartaglia enam tahun untuk menerbitkan hasilnya (dengan kredit diberikan kepada Tartaglia untuk penyelesaiannya sendiri). Janji Cardano kepada Tartaglia mengatakan bahwa dia tidak akan menerbitkan hasil pekerjaan Tartaglia, dan Cardano merasa dia menerbitkan hasil pekerjaan del Ferro, jadi perjanjiannya tidak dilanggar. Meskipun begitu, ini menyebabkan Cardano mendapatkan tantangan dari Tartaglia, yang Cardano tolak. Tantangannya akhirnya diterima oleh murid Cardano [[Lodovico Ferrari]] (1522–1565). Ferrari mendapatkan hasil yang lebih baik daripada Tartaglia dalam pertandingan mereka, dan Tartaglia kehilangan gengsi dan pendapatannya.

Cardano memperhatikan bahwa metode Tartaglia terkadang perlu melibatkan [[akar kuadrat]] dari bilangan negatif. Dia bahkan memasukkan sebuah penghitungan [[bilangan kompleks|bilangan-bilangan kompleks]] tersebut dalam ''Ars Magna'', tetapi dia tidak benar-benar memahaminya. [[Rafael Bombelli]] mempelajai masalah ini secara rinci dan dianggap sebagai penemu bilangan kompleks.

[[François Viète]] (1540–1603) secara mandiri menurunkan penyelesaian trigonometri untuk kubik dengan tidak akar real, dan [[René Descartes]] (1596–1650) memperluas karya Viète.

== Faktorisasi ==

Bila koefisien persamaan kubik adalah [[bilangan rasional]], kita dapat memperoleh persamaan ekivalen dengan koefisien bilangan bulat, dengan mengalikan semua koefisien dengan [[kelipatan persekutuan]]:
:<math>ax^3+bx^2+cx+d=0,</math>
dengan koefisien bilangan bulat, dikatakan [[polinomial yang dapat direduksi|dapat direduksi]] jika polinomial ruas kiri adalah hasil kali polinomial derajat yang lebih rendah. Menurut [[Lemma Gauss (polinomial)|lemma Gauss]], jika persamaan dapat direduksi, maka dapat dianggap bahwa faktor-faktor tersebut memiliki koefisien bilangan bulat.

Menemukan akar dari persamaan kubik yang dapat direduksi lebih mudah daripada menyelesaikan kasus umum. Faktanya, jika persamaan tersebut dapat direduksi, salah satu faktor pasti memiliki derajat satu, dan memiliki bentuk demikian
:<math>qx-p</math>
dengan dan adalah dua bilangan bulat yang [[koprima (bilangan)|koprima]]. [[Uji akar rasional]] memungkinkan penemuan dan dengan memeriksa jumlah kasus yang terbatas (karena harus menjadi pembagi dari , dan harus menjadi pembagi dari ).

Jadi, salah satu akarnya adalah <math>\textstyle x_1= \frac pq,</math> dan akar lainnya adalah akar dari faktor lainnya, yang dapat ditemukan dengan [[pembagian polinomial]]. Faktor lainnya adalah
:<math>\frac aq x^2+ \frac{bq+ap}{q^2}x+\frac{cq^2+bpq+ap^2}{q^3}</math>
(Koefisien tampaknya bukan bilangan bulat, tetapi harus bilangan bulat jika adalah akar.)

Kemudian, akar lainnya adalah akar dari [[fungsi kuadrat|polinomial kuadrat]] ini dan dapat ditemukan dengan menggunakan [[rumus kuadrat]].

== Kubik tertekan==
Bentuk kubik
:<math>t^3+pt+q</math>
dikatakan tertekan. Mereka jauh lebih sederhana daripada kubik umum, tetapi fundamental, karena studi tentang kubik apa pun dapat dikurangi dengan [[perubahan variabel]] sederhana menjadi kubik yang tertekan.

Bila diberikan persamaan kubik dalam bentuk
:<math>ax^3 + bx^2 + cx + d = 0</math>
Perubahan variabel
:<math>x=t-\frac b{3a}</math>
akan menghasilkan persamaan kubik yang tidak punya suku . Setelah membaginya dengan , maka diperoleh ''persamaan kubik tertekan''
:<math>t^3+pt+q=0,</math>
dengan
:<math>\begin{align}
t=&x+\frac b{3a}\\
p=&\frac{3ac-b^2}{3a^2} \\
q=&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.
\end{align}
</math>

[[Akar fungsi|akar]] <math>x_1, x_2, x_3</math> dari persamaan asli terkait dengan akar <math>t_1,t_2,t_3</math> dari persamaan tertekan oleh hubungan
::<math>x_i=t_i-\frac b{3a},</math>
untuk <math>i = 1, 2, 3</math>.

== Diskriminan dan sifat akar ==
Sifat (real atau tidak, berbeda atau tidak) dari [[akar fungsi|akar]] kubik dapat ditentukan tanpa menghitungnya secara eksplisit, dengan menggunakan [[diskriminan]].

=== Diskriminan ===
[[Diskriminan]] dari [[polinomial]] adalah fungsi dari koefisiennya, nilainya nol [[jika dan hanya jika]] polinomial tersebut memiliki [[banyak akar]], atau, jika habis habis dibagi kuadrat dari non konstanta. Dengan kata lain, diskriminan tidak sama dengan nol jika dan hanya jika polinomial [[polinomial bebas kuadrat|bebas kuadrat]].

Bila adalah tiga [[akar fungsi|akar]] (tidak harus berbeda atau [[bilangan real|real]]) dari kubik <math>ax^3+bx^2+cx+d,</math> maka diskriminannya
:<math>a^4(r_1-r_2)^2(r_1-r_3)^2(r_2-r_3)^2.</math>

Diskriminan kubik yang tertekan <math>t^3+pt+q</math> adalah
:<math>-\left(4\,p^3+27\,q^2\right).</math>

Diskriminan kubik umum <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> adalah
:<math>18\,abcd - 4\,b^3d + b^2c^2 - 4\,ac^3 - 27\,a^2d^2.</math>
Ini adalah produk dari <math>a^4</math> dan diskriminan kubik tertekan yang sesuai. Oleh karena itu, salah satu dari dua diskriminan ini adalah nol jika dan hanya jika yang lain juga nol, dan, jika koefisien dari [[bilangan real|bilangan asli]], kedua diskriminan tersebut memiliki tanda yang sama. Singkatnya, informasi yang sama dapat disimpulkan dari salah satu dari dua diskriminan ini.

Untuk membuktikan rumus sebelumnya, seseorang dapat menggunakan [[rumus Vieta]] untuk menyatakan semuanya sebagai polinomial di , dan . Buktinya kemudian menghasilkan verifikasi persamaan dua polinomial.

== Rumus Cardano ==

[[Gerolamo Cardano]] dikreditkan atas menerbitkan rumus pertama untuk menyelesaikan persamaan kubik, mengatribusikannya kepada [[Scipione del Ferro]]. Rumusnya berlaku untuk kubik tertekan, tetapi, seperti yang diperlihatkan di , rumus ini memungkinkan menyelesaikan semua persamaan kubik.

Hasil Cardano adalah, bila
:<math>x^3+px+q=0</math>
adalah persamaan kubik sehingga <math>p</math> dan <math>q</math> adalah [[bilangan real]] sedemikian rupa <math>4p^3+27q^2 >0,</math> maka persamaan tersebut memiliki akar yang sebenarnya
:<math>\sqrt[3]{-\frac q2+\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}} +\sqrt[3]{-\frac q2-\sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}}.</math>

Lihat , di bawah, untuk beberapa metode untuk mendapatkan hasil ini.

Seperti yang ditunjukkan di , dua akar lainnya adalah bilangan [[konjugasi kompleks]] tidak real, dalam kasus ini. Itu kemudian ditunjukkan (Cardano tidak tahu [[bilangan kompleks]]) bahwa dua akar lainnya diperoleh dengan mengalikan salah satu [[akar pangkat tiga]] dengan [[akar primitif kesatuan|akar pangkat tiga primitif kesatuan]] <math>\frac{-1+i\sqrt 3} 2</math>, dan akar pangkat tiga lainnya oleh <math>\frac{-1-i\sqrt 3} 2</math>.

==Referensi==

== Daftar pustaka ==
*

== Bacaan lebih lanjut ==
* Ch. 24.
*
*
*
*
*
*
*
*

==Pranala luar==

*
*[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html Sejarah persamaan kuadrat, kubik dan kuartik] di [[Arsip MacTutor]].
*[https://www.youtube.com/watch?v=N-KXStupwsc 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can't handle?] – video [[YouTube]] oleh [[Mathologer]] mengenai sejarah persamaan kubik dan penyelesaian Cardano, serta penyelesaian Ferrari untuk [[persamaan kuartik]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+kubik&oldid=29539768 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29539768 (2026-08-08T09:45:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.