Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T23:10:02Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 23.10
Baris 1:		Baris 1:
	'''Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz''' atau '''pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz''', adalah salah satu [[pertidaksamaan]] yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam [[matematika]].		'''Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz''' atau '''pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz''',<ref>J.J. O'Connor. [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schwarz/ Hermann Amandus Schwarz]. ''University of St Andrews, Scotland''.</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>Branko Ćurgus. [http://faculty.wwu.edu/curgus/Courses/Math_pages/Math_504/Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky.html Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality]. ''Western Washington University''.</ref><ref>David E. Joyce. [https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf Cauchy's inequality]. ''Clark University''.</ref> adalah salah satu [[pertidaksamaan]] yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam [[matematika]].<ref>J. Michael Steele. [http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities]. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.</ref>

	Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.		Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh <ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.<ref>J. Michael Steele. [http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities]. The Mathematical Association of America. 2004. hlm. 1. ISBN 978-0521546775.</ref>

	== Pernyataan pertidaksamaan ==		== Pernyataan pertidaksamaan ==
	Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> dari [[ruang hasil kali dalam]] berlaku benar bahwadengan <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[hasil kali dalam]]. Setiap hasil kali dalam menimbulkan [[Norma (matematika)\|norma]], yang disebut sebagai [[Hasil kali dalam#Norma\|norma terimbas]] dengan norma dari vektor <math>\mathbf{u}</math> dinyatakan dan didefinisikan dengan:<math display="block">\\|\mathbf{u}\\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}</math>sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa <math>\\|\mathbf{u}\\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle,</math> dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah vektor yang [[Bebas linear\|tergantung linear]].		Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> dari [[ruang hasil kali dalam]] berlaku benar bahwadengan <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[hasil kali dalam]]. Setiap hasil kali dalam menimbulkan [[Norma (matematika)\|norma]], yang disebut sebagai [[Hasil kali dalam#Norma\|norma terimbas]] dengan norma dari vektor <math>\mathbf{u}</math> dinyatakan dan didefinisikan dengan:<math display="block">\\|\mathbf{u}\\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}</math>sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa <math>\\|\mathbf{u}\\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle,</math> dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:<ref>Gilbert Strang. ''Linear Algebra and its Applications''. Cengage Learning. 19 July 2005. hlm. 154–155. ISBN 978-0030105678.</ref><ref>John K. Hunter. [https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C Applied Analysis]. World Scientific. 2001. ISBN 981-02-4191-7.</ref>Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah vektor yang [[Bebas linear\|tergantung linear]].<ref>George Bachmann. [https://books.google.com/books?id=PkHhBwAAQBAJ Fourier and Wavelet Analysis]. Springer Science & Business Media. 2012-12-06. hlm. 14. ISBN 9781461205050.</ref><ref>Sadri Hassani. [https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations]. Springer. 1999. hlm. [https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass/page/29 29]. ISBN 0-387-98579-4.</ref><ref>Sheldon Axler. [https://books.google.com/books?id=CQWwoQEACAAJ Linear Algebra Done Right, 3rd Ed]. Springer International Publishing. 2015. hlm. 172. ISBN 978-3-319-11079-0.</ref>

	== Kasus istimewa ==		== Kasus istimewa ==

	=== Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif ===		=== Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif ===
	[[Pertidaksamaan Sadrayakan\|Pertidaksamaan Sedrakyan]], atau disebut pertidaksamaan [[Harald Bergström\|Bergström]], bentuk [[Arthur Engel (matematikawan)\|Engel]], lema T2, atau lema [[Titu Andreescu\|Titu]], mengatakan bahwa untuk [[Bilangan riil\|bilangan real]] positif:<math display="block">\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.</math>Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan [[Daab bintik\|hasil kali bintik]] di <math>\R^n</math> dengan memasukkan<math display="block">u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa [[bilangan kuadrat]].		[[Pertidaksamaan Sadrayakan\|Pertidaksamaan Sedrakyan]], atau disebut pertidaksamaan [[Harald Bergström\|Bergström]], bentuk [[Arthur Engel (matematikawan)\|Engel]], lema T2, atau lema [[Titu Andreescu\|Titu]], mengatakan bahwa untuk [[Bilangan riil\|bilangan real]] positif:<math display="block">\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.</math>Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan [[Daab bintik\|hasil kali bintik]] di <math>\R^n</math> dengan memasukkan<math display="block">u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa [[bilangan kuadrat]].
Baris 25:		Baris 24:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
			*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*

	== Kutipan ==		== Kutipan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	* .
	*
	* .
	*
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28032903 (2025-10-16T20:06:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28032903 (2025-10-16T20:06:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28032903; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:47:06Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28032903; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz''' atau '''pertidaksamaan Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz''', adalah salah satu [[pertidaksamaan]] yang sangat penting dan sering kali dipakai dalam [[matematika]].

Pertidaksamaan untuk penjumlahan diterbitkan oleh , sedangkan pertidaksamaan untuk integral pertama kali dibuktikan oleh dan . Bukti modern untuk versi integral diberikan oleh Schwarz.

== Pernyataan pertidaksamaan ==
Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz mengatakan bahwa untuk semua vektor <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> dari [[ruang hasil kali dalam]] berlaku benar bahwadengan <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> adalah [[hasil kali dalam]]. Setiap hasil kali dalam menimbulkan [[Norma (matematika)|norma]], yang disebut sebagai [[Hasil kali dalam#Norma|norma terimbas]] dengan norma dari vektor <math>\mathbf{u}</math> dinyatakan dan didefinisikan dengan:<math display="block">\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}</math>sehingga norma dan hasil kali dalam tersebut berkaitan dengan mendefinisikan syarat bahwa <math>\|\mathbf{u}\|^2 = \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle,</math> dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> selalu bernilai real non-negatif (bahkan jika hasil kali dalamnya bernilai kompleks). Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, pertidaksamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih familiar:Terlebih lagi, kedua ruas tersebut akan sama jika dan hanya jika <math>\mathbf{u}</math> dan <math>\mathbf{v}</math> adalah vektor yang [[Bebas linear|tergantung linear]].

== Kasus istimewa ==

=== Lema Sadrayakan untuk bilangan real positif ===
[[Pertidaksamaan Sadrayakan|Pertidaksamaan Sedrakyan]], atau disebut pertidaksamaan [[Harald Bergström|Bergström]], bentuk [[Arthur Engel (matematikawan)|Engel]], lema T2, atau lema [[Titu Andreescu|Titu]], mengatakan bahwa untuk [[Bilangan riil|bilangan real]] positif:<math display="block">\frac{\left(\sum_{i=1}^n u_i\right)^2 }{\sum_{i=1}^n v_i} \leq \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i} \quad \text{atau} \quad \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n} \geq \frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n}.</math>Pertidaksamaan ini merupakan akibat langsung dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz, yang diperoleh dengan menggunakan [[Daab bintik|hasil kali bintik]] di <math>\R^n</math> dengan memasukkan<math display="block">u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i}} \text{ dan } v_i' = \sqrt{v_i}.</math> Bentuk ini sangat berguna saat pertidaksamaan tersebut melibatkan pecahan yang mempunyai pembilang berupa [[bilangan kuadrat]].

=== Ruang Euklides dimensi- ===
Dalam [[ruang Euklides]] <math>\mathbb R ^n</math> dengan hasil kali dalam standar, yaitu [[Darab bintik|hasil kali bintik]], pertidaksamaan Cauchy–Schwarz ditulis sebagai<math display="block">\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)</math>Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz dapat dibuktikan dengan menggunakan gagasan [[aljabar elementer]]. Misalkan [[polinomial kuadrat]] di <math>x</math> di bawah berikut adalah:<math display="block">0 \leq (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \left( \sum u_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum u_i v_i \right) x + \sum v_i^2.</math>Pertidaksamaan tersebut setidaknya mempunyai satu buah solusi real untuk <math>x,</math> sebab nilainya tak negatif. Karena itu, [[diskriminan]] dari polinomial lebih kecil daripada sama dengan nol, dalam artian,<math display="block">\left(\sum_i u_i v_i\right)^2 - \left(\sum_i {u_i^2}\right) \left(\sum_i {v_i^2}\right) \leq 0,</math>

=== Ruang kompleks bidang- ===
Jika <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \C^n</math> dengan <math>\mathbf{u} = (u_1,\dots,u_n)</math> dan <math>\mathbf{v} = (v_1,\dots,v_n)</math>, dan <math>u_1,\ldots, u_n\in\mathbb C</math> dan <math>v_1,\ldots, v_n\in\mathbb C</math>; serta jika hasil kali dalam di ruang vektor <math>\C^n</math>merupakan hasil kali dalam kompleks kanonis (yang didefinisikan dengan <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n},</math> dengan notasi bar pada rumus tersebut melambangkan [[konjugasi sekawan]]), maka terdapat sebuah pertidaksamaan yang dapat dinyatakan lebih eksplisit sebagai berikut:<math display="block">\left| \sum_{i=1}^n u_i \bar{v}_i \right|^2 \leq \sum_{j=1}^n |u_j|^2 \sum_{k=1}^n |v_k|^2,</math>atau dengan kata lain,<math display="block">|u_1\bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n|^2 \leq (|u_1|^2 + \cdots + |u_n|^2) (|v_1|^2 + \cdots + |v_n|^2).</math>

=== ===
Untuk hasil kali dalam dari fungsi bernilai kompleks [[Fungsi terintegralkan kuadrat|terintegralkan kuadrat]], didapat pertidaksamaan berikut

: <math>\left|\int_{\mathbb{R}^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\mathbb{R}^n} |f(x)|^2\,dx \int_{\mathbb{R}^n} |g(x)|^2 \,dx.</math>

Pertidaksamaan di atas ini dapat diperumum menjadi [[pertidaksamaan Hölder]].

== Lihat pula ==

*
*
*
*
*
*

== Kutipan ==

== Referensi ==

*
*
*
*
*
*
* .
*
* .
*
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pertidaksamaan+Cauchy%E2%80%93Schwarz&oldid=28032903 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28032903 (2025-10-16T20:06:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.