Perubahan basis - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:01:49Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.01
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar linear]], [[Basis (aljabar linear)\|basis terurut]] memungkinkan setiap elemen pada sebarang [[ruang vektor]] [[Dimensi\|berdimensi]] <math>n</math> dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu [[barisan]] <math>n</math>-[[Skalar (matematika)\|skalar]] yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen <math>v</math> atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. '''Perubahan basis''' adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.		Dalam [[aljabar linear]], [[Basis (aljabar linear)\|basis terurut]] memungkinkan setiap elemen pada sebarang [[ruang vektor]] [[Dimensi\|berdimensi]] <math>n</math> dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu [[barisan]] <math>n</math>-[[Skalar (matematika)\|skalar]] yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen <math>v</math> atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. '''Perubahan basis''' adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perubahan+basis&oldid=28456432 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perubahan+basis&oldid=28456432 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref><ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perubahan+basis&oldid=28456432 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>

	Perubahan basis tersebut dihasilkan dari ''rumus perubahan-basis'' yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan [[Matriks (matematika)\|matriks]], rumus ini dapat dituliskan sebagai		Perubahan basis tersebut dihasilkan dari ''rumus perubahan-basis'' yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan [[Matriks (matematika)\|matriks]], rumus ini dapat dituliskan sebagai
Baris 62:		Baris 62:

	\end{align}</math>kita dapatkan<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\qquad\text{untuk } i=1,\,\ldots,\,n. </math>Dalam bentuk matriks, ''rumus perubahan basis'' adalah<math display="block">\mathbf x = \mathbf A\,\mathbf y,</math>dengan <math>\mathbf x</math> dan <math>\mathbf y</math> masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat <math>\mathbf z</math> atas s <math>B_\mathrm{lama} </math> dan atas <math>B_\mathrm {baru}</math>.		\end{align}</math>kita dapatkan<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\qquad\text{untuk } i=1,\,\ldots,\,n. </math>Dalam bentuk matriks, ''rumus perubahan basis'' adalah<math display="block">\mathbf x = \mathbf A\,\mathbf y,</math>dengan <math>\mathbf x</math> dan <math>\mathbf y</math> masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat <math>\mathbf z</math> atas s <math>B_\mathrm{lama} </math> dan atas <math>B_\mathrm {baru}</math>.

	~~== Catatan kaki ==~~


	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
			*

	*		*

	*

	*		*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==

	* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-31-change-of-basis-image-compression/ ''MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis''] oleh MIT OpenCourseWare		* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-31-change-of-basis-image-compression/ ''MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis''] oleh MIT OpenCourseWare

	* ''[https://www.youtube.com/watch?v=1j5WnqwMdCk Khan Academy Lecture on Change of Basis]'' oleh Khan Academy		* ''[https://www.youtube.com/watch?v=1j5WnqwMdCk Khan Academy Lecture on Change of Basis]'' oleh Khan Academy

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perubahan+basis&oldid=28456432 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28456432 (2025-11-13T09:29:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perubahan+basis&oldid=28456432 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28456432 (2025-11-13T09:29:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28456432; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:25:20Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28456432; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar linear]], [[Basis (aljabar linear)|basis terurut]] memungkinkan setiap elemen pada sebarang [[ruang vektor]] [[Dimensi|berdimensi]] <math>n</math> dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu [[barisan]] <math>n</math>-[[Skalar (matematika)|skalar]] yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen <math>v</math> atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. '''Perubahan basis''' adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari ''rumus perubahan-basis'' yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan [[Matriks (matematika)|matriks]], rumus ini dapat dituliskan sebagai

: <math>\mathbf x_\mathrm{lama} = \mathbf{A} \,\mathbf x_\mathrm{baru},</math>

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, <math>\mathbf x_\mathrm{lama}</math> dan <math>\mathbf x_\mathrm{baru}</math> adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan <math>\mathbf{A}</math> adalah ''matriks perubahan-basis'' (juga disebut ''matriks transisi'') yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

== Contoh ==
Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada [[Ruang Euklides|ruang vektor Euklides]] <math>\mathbb R^2,</math> yang dihasilkan dari rotasi sebesar <math>t.</math> Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki [[Basis (aljabar linear)|basis standar]] <math>\mathbf{v}_1= (1,0)</math> dan <math>\mathbf{v}_2= (0,1); </math> sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi <math>\mathbf{w}_1=(\cos t,\,\sin t)</math> dan <math>\mathbf{w}_2=(-\sin t,\,\cos t);</math> sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai<math display="block">\begin{bmatrix}

\cos t& -\sin t\\

\sin t& \cos t

\end{bmatrix}.</math>Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika <math display="inline">(y_1,\, y_2)</math> adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat <math>(x_1,\, x_2),</math> maka

: <math>\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

\cos t& -\sin t\\

\sin t& \cos t

\end{bmatrix}\,\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}.</math>

Sehingga,

: <math>x_1=y_1\cos t - y_2\sin t \qquad\text{dan}\qquad x_2=y_1\sin t + y_2\cos t. </math>

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan <math>(x_1,\, x_2)</math> dan <math display="inline">(y_1,\, y_2)</math> merujuk pada objek yang sama,

: <math>\begin{align}

x_1\mathbf{v}_1+x_2\mathbf{v}_2 &= (y_1\cos t - y_2\sin t) \mathbf{v}_1 + (y_1\sin t + y_2\cos t) \mathbf{v}_2\\

&= y_1 (\cos (t) \mathbf{v}_1 + \sin(t)\mathbf{v}_2) + y_2 (-\sin(t) \mathbf{v}_1 +\cos(t) \mathbf{v}_2)\\

&=y_1\mathbf{w}_1+y_2\mathbf{w}_2.

\end{align}</math>

== Rumus perubahan basis ==
Misalkan <math>B_\mathrm{lama}=(\mathbf{v}_1,\, \ldots,\,\mathbf{v}_n)</math> adalah basis dari suatu [[ruang vektor]] dimensi hingga '''' atas suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] ''''. Seorang dapat mendefinisikan <math>n</math> elemen baru <math>\mathbf{w}_j</math> (dengan <math>j=1,\,\dots,\, n</math>) berdasarkan koordinat vektor tersebut <math>a_{i,j}</math>, atas <math>B_\mathrm{lama}\colon </math>

: <math>\mathbf{w}_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf{v}_i.</math>

Misalkan

: <math>\mathbf{A}=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}</math>

sebagai [[Matriks (matematika)|matriks]] yang kolom ke-''''-nya dibentuk dari koordinat <math>\mathbf{w}_j</math>. (Di bagian ini dan seterusnya, indeks '''' selalu digunakan untuk merujuk baris di <math>\mathbf{A}</math> dan <math>\mathbf{v}_i,</math> sedangkan indeks '''' selalu digunakan untuk merujuk kolom di <math>\mathbf{A}</math> dan <math>\mathbf{w}_j;</math> konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut <math>B_\mathrm {baru}=(\mathbf{w}_1,\,\ldots,\,\mathbf{w}_n) </math> disebut basis dari '''' jika dan hanya jika matriks <math>\mathbf{A}</math> [[Matriks terbalikkan|terbalikkan]], atau setara dengan itu, jika [[Determinan|determinannya]] tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, <math>\mathbf{A}</math> disebut ''matriks perubahan basis'' dari basis <math>B_\mathrm{lama} </math> ke basis <math>B_\mathrm {baru}</math>.

Untuk sebarang elemen <math>\mathbf{z}\in V,</math> misalkan <math>(x_1, \ldots, x_n) </math> adalah koordinat <math>\mathbf{z}</math> atas <math>B_\mathrm{lama} </math>, dan <math>(y_1, \ldots, y_n) </math> adalah koordinatnya atas <math>B_\mathrm {baru}</math>, kita memiliki hubungan<math display="block">\mathbf{z}=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{v}_i =\sum_{j=1}^ny_j\mathbf{w}_j.</math>Dengan menjabarkan hubungan tersebut,<math display="block">\begin{align}

\mathbf{z}&=\sum_{j=1}^n y_j\mathbf{w}_j\\

&=\sum_{j=1}^n \left(y_j\sum_{i=1}^n a_{i,j}\mathbf{v}_i\right)\\

&=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j \right) \mathbf{v}_i.

\end{align}</math>kita dapatkan<math display="block">x_i = \sum_{j=1}^n a_{i,j}y_j\qquad\text{untuk } i=1,\,\ldots,\,n. </math>Dalam bentuk matriks, ''rumus perubahan basis'' adalah<math display="block">\mathbf x = \mathbf A\,\mathbf y,</math>dengan <math>\mathbf x</math> dan <math>\mathbf y</math> masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat <math>\mathbf z</math> atas s <math>B_\mathrm{lama} </math> dan atas <math>B_\mathrm {baru}</math>.

== Catatan kaki ==

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

*

*

*

== Pranala luar ==

* [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-31-change-of-basis-image-compression/ ''MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis''] oleh MIT OpenCourseWare

* ''[https://www.youtube.com/watch?v=1j5WnqwMdCk Khan Academy Lecture on Change of Basis]'' oleh Khan Academy

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Perubahan+basis&oldid=28456432 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28456432 (2025-11-13T09:29:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.