Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:58Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 12:		Baris 12:

	== Biografi ==		== Biografi ==

	[[Charles Hermite]] (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.		[[Charles Hermite]] (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.

Baris 20:		Baris 19:

	== Definisi ==		== Definisi ==

	=== Persamaan Diferensial ===		=== Persamaan Diferensial ===
	Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial		Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial
Baris 76:		Baris 74:

	== Sifat ==		== Sifat ==

	=== Visualisasi ===		=== Visualisasi ===
	Plot beberapa Polinomial Hermite pertama <math>H_n(x)</math> :		Plot beberapa Polinomial Hermite pertama <math>H_n(x)</math> :


	Plot bagian riil dari <math>H_n(x+iy)</math>:		Plot bagian riil dari <math>H_n(x+iy)</math>:


	Plot bagian imajiner dari <math>H_n(x+iy)</math>:		Plot bagian imajiner dari <math>H_n(x+iy)</math>:


	=== Ortogonalitas ===		=== Ortogonalitas ===
Baris 132:		Baris 126:

	Sekarang kita tahu bahwa <math>\psi</math> adalah fungsi <math>\epsilon</math> di mana <math>\epsilon</math> sendiri adalah fungsi <math>x</math>		Sekarang kita tahu bahwa <math>\psi</math> adalah fungsi <math>\epsilon</math> di mana <math>\epsilon</math> sendiri adalah fungsi <math>x</math>


	:<math>\frac{d\psi}{dx}=\frac{d\psi}{d\epsilon}\frac{d\epsilon}{dx}</math>		:<math>\frac{d\psi}{dx}=\frac{d\psi}{d\epsilon}\frac{d\epsilon}{dx}</math>
Baris 196:		Baris 189:

	:<math>\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right)e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>		:<math>\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right)e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>

	~~== Referensi ==~~


	*Mary L., Boas. (2006). Mathematical Methods in The Physical Sciences (Third Edition). United States: [[John Wiley & Sons]], Inc.
	*Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). ''Introduction to quantum mechanics''. [[Cambridge University Press\|Cambridge university press]].
	*Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial." From ''MathWorld''—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
	*Wolfram Research (1988), HermiteH, Wolfram Language function, https://reference.wolfram.com/language/ref/HermiteH.html (updated 2022)
	*The Harmonic-Oscillator Wavefunctions involve Hermite Polynomials. (2020, March 19). https://chem.libretexts.org/@go/page/210817



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Hermite&oldid=28321729 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28321729 (2025-11-03T15:06:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Hermite&oldid=28321729 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28321729 (2025-11-03T15:06:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28321729; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:23:09Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28321729; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Polinomial Hermite''' dalam matematika merupakan polinomial ortogonal klasik.

Polinomial Hermite muncul di:

* Pemrosesan sinyal sebagai wavelet Hermitian untuk analisis transformasi wavelet.
* Probabilitas, seperti deret Edgeworth, serta sehubungan dengan [[gerak Brown]];
* [[Kombinatorika|Kombinatorik]], sebagai contoh deret Appell, yang mematuhi kalkulus umbral;
* [[Analisis numerik]] sebagai kuadratur Gaussian;
* Fisika, di mana mereka memunculkan keadaan eigen dari osilator harmonik kuantum; dan mereka juga terjadi dalam beberapa kasus persamaan distribusi panas (heat equation)
* [[Teori sistem]] sehubungan dengan operasi nonlinier pada noise Gaussian.
* Teori matriks acak dalam ansambel Gaussian.

== Biografi ==

[[Charles Hermite]] (1822-1901) adalah matematikawan Perancis yang melakukan pekerjaan brilian di banyak cabang matematika. Namun, sendiri, ia menguasai memoar Lagrange tentang solusi persamaan numerik dan Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss. Dia diterima di cole Polytechnique. Dia terpaksa pergi setelah satu tahun ketika diputuskan bahwa kaki kanannya yang cacat bawaan tidak akan memungkinkan dia untuk mengambil komisi di militer, membuatnya tidak sepadan dengan waktu Politeknik.

Hermite telah banyak berjasa, terutama dalam fungsi Abelian. Tidak hanya itu, Hermite kerap membantu banyak matematikawan muda lainnya, seperti kontribusinya dalam menunjukkan mengenai bilangan transendental yang menjadi solusi persamaan polinomial terbatas. Dirinya sering dikenal sebagai tokoh utama dalam pengembangan teori bentuk aljabar, teori aritmetika bentuk kuadrat, dan bahkan hingga fungsi elips dan Abelian.

Pada tahun 1848, Hermite menyiapkan dirinya untuk gelar sarjana sains dan disaat yang bersamaan mengajar di Cole Polytechnique, Paris. Dan pada tahun 1869, Hermite diangkat sebagai Profesor di Cole Normale, Paris, serta diangkat dalam posisi yang lebih tinggi lagi di tahun 1870.

== Definisi ==

=== Persamaan Diferensial ===
Polinomial Hermite adalah solusi dari persamaan diferensial

:<math>y''-2xy'=-2ny</math>

Penyelesaiannya diberikan secara unik dalam bentuk polinomial Hermite dalam bentuk

:<math>y(x)=C_1H_n(x)</math>

dengan <math>C_1</math> menunjukkan suatu konstanta setelah menerapkan kondisi batas bahwa <math>u</math> harus dibatasi secara polinomial di tak hingga.

Persamaan diferensial lain yang solusinya dapat dituliskan dalam bentuk polinomial Hermite adalah :

:<math>y''-x^2y=-(2n+1)u</math>

Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah

:<math>y(x)=C_1(-1)^ne^{-\frac{x^2}{2}}H_n(x)</math>

Dalam beberapa sumber lain, <math>y</math> dituliskan dengan variabel <math>u</math>, dan <math>n</math> dituliskan dengan <math>\lambda</math>. Baik <math>y</math> atau <math>u</math>, keduanya sama-sama merupakan fungsi <math>x</math>, dan <math>n</math> atau <math>\lambda</math> merupakan bilangan cacah.

=== Persamaan Rodrigues ===
Persamaan Rodrigues untuk Polinomial Hermite adalah :

:<math>H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\left(\frac{d}{dx}\right)^ne^{-x^2}</math>

Berikut beberapa Polinomial Hermite pertama :

:<math>H_0(x)=1</math>
:<math>H_1(x)=2x</math>
:<math>H_2(x)=4x^2-2</math>
:<math>H_3(x)=8x^3-12x</math>
:<math>H_4(x)=16x^4-48x^2+12</math>
:<math>H_5(x)=32x^5-160x^3+120x</math>
:<math>H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120</math>
:<math>H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x</math>

=== Fungsi Pembangkit ===
Fungsi pembangkit untuk Polinomial Hermite adalah :

:<math>G_H(x,t)=e^{2tx-t^2}</math>

Fungsi pembangkit tersebut dapat diuraikan menjadi

:<math>e^{2tx-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{s=0}^{\frac{n}{2} atau \frac{n-1}{2}} \left[\frac{(-1)^s}{(n-2)!s!} (2x)^{n-2s}t^n\right]=\sum_{n=0}^{\infty}t^n\left(\sum_{s=0}^{\frac{n}{2} atau \frac{n-1}{2}} \left[\frac{(-1)^s}{(n-2)!s!} (2x)^{n-2s}\right]\right)</math>

Ingat bahwa

:<math>H_n(x)=\sum_{s=0}^{\frac{n}{2} atau \frac{n-1}{2}} (-1)^r \left[\frac{n!}{(n-2)!r!} (2x)^{n-2r}\right]</math>

Sehingga diperoleh

:<math>G_H(x,t)=e^{2tx-t^2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(x)}{n!} t^n</math>

== Sifat ==

=== Visualisasi ===
Plot beberapa Polinomial Hermite pertama <math>H_n(x)</math> :

Plot bagian riil dari <math>H_n(x+iy)</math>:

Plot bagian imajiner dari <math>H_n(x+iy)</math>:

=== Ortogonalitas ===
Dalam matematika , ortogonalitas adalah generalisasi dari gagasan geometris tentang tegak lurus . Dengan ekstensi, ortogonalitas juga digunakan untuk merujuk pada pemisahan fitur khusus dari suatu sistem. Istilah ini juga memiliki arti khusus di bidang lain termasuk seni dan kimia.

<math>H_n(x)</math> dan <math>He_n(x)</math> adalah polinomial derajat ke-n untuk n = 0, 1, 2, 3,.... Polinomial ini ortogonal terhadap fungsi bobot / pemberat

:<math>w(x)=e^{-x^2}</math>

Secara umum, berlaku ortogonalitas

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}2^n n!\delta_{nm}</math>

di mana <math>\delta_{nm}</math> adalah delta Kronecker

Dengan demikian polinomial probabilis ortogonal terhadap fungsi kerapatan probabilitas normal standar.

=== Sifat Rekursif ===
Sifat rekursif dari Polinomial Hermite adalah

:<math>H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)</math>
:<math>H'_n(x)=2nH_{n-1}(x)</math>

Persamaan ini didapat dapat diturunkan menggunakan fungsi pembangkit.

== Fenomena Kuantum ==
Operator Hamiltonian, operator [[mekanika kuantum]] umum untuk energi, mencakup operator [[energi kinetik]], <math>\hat{T}</math>, dan operator [[energi potensial]], <math>\hat{V}</math>

:<math>\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}</math>

Persamaan energi total pada osilator harmonis mencakup energi kinetik dan energi potensial harmonik. Sehingga persamaan Schrodinger independen waktu bisa ditulis sebagai berikut

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi</math>

Untuk suatu osilator sederhana <math>V(x)</math> diberikan oleh,

:<math>V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2</math>

Sehingga persamaan Schrodinger menjadi

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi=E\psi</math>

Misal suatu variable <math>\epsilon</math> yang didefinisikan sebagai berikut

:<math>\epsilon=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x</math>

Sekarang kita tahu bahwa <math>\psi</math> adalah fungsi <math>\epsilon</math> di mana <math>\epsilon</math> sendiri adalah fungsi <math>x</math>

:<math>\frac{d\psi}{dx}=\frac{d\psi}{d\epsilon}\frac{d\epsilon}{dx}</math>
:<math>\frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}\frac{d\epsilon}{dx}\frac{d\epsilon}{dx}+\frac{d\psi}{d\epsilon}\frac{d^2\epsilon}{dx^2}</math>
:<math>\frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2} \left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\right)^2+\frac{d\psi}{d\epsilon}(0)</math>
:<math>\frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}</math>

Substitusi kedalam persamaan differensial sebelumnya

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{m\omega}{\hbar}\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi=E\psi</math>

<math>x^2</math> dapat dinyatakan sebagai

:<math>x^2=\frac{\epsilon^2\hbar}{m\omega} \rightarrow \frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}=\epsilon^2\psi-\frac{2E}{\hbar\omega}\psi</math>

Definisikan

:<math>K=\frac{2E}{\hbar\omega} \rightarrow \frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}=(\epsilon^2-K)\psi</math>

Ketika <math>\epsilon</math> jauh lebih besar dari <math>K</math>,

:<math>\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}\approx\epsilon^2\psi </math>
:<math>\psi(\epsilon)=Ae^{-\frac{\epsilon^2}{2}}+Be^{\frac{\epsilon^2}{2}}</math>

Supaya bisa ternormalisasi maka dipastikan <math>B=0</math> supaya solusi <math>\psi(\epsilon)</math> tidak terus bertambah besar secara eksponensial ketika <math>\epsilon</math> menuju tak hingga,

:<math>\psi(\epsilon)=Ae^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>

Tinjau suatu kasus di mana koefisien <math>e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math> bukanlah konstanta melainkan sebuah fungsi dependen <math>\epsilon</math>,

:<math>\psi(\epsilon)=f(\epsilon)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>
:<math>\frac{d\psi}{d\epsilon}=\frac{df}{d\epsilon}e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}-\epsilon f e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}=\left(\frac{df}{d\epsilon}-\epsilon f\right)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>
:<math>\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}=\left(\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}-\left(f+\epsilon\frac{df}{d\epsilon}\right)\right)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}-\epsilon\left(\frac{df}{d\epsilon}-\epsilon f\right)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>
:<math>\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}=\left(\frac{d^2f}{d\epsilon^2}-2\epsilon\frac{df}{d\epsilon}+(\epsilon^2-1)f\right)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>

Substitusi kembali

:<math>\frac{d^2\psi}{d\epsilon^2}=(\epsilon^2-K)\psi</math>

Sehingga diperoleh

:<math>\frac{d^2f}{d\epsilon^2}-2\epsilon\frac{df}{d\epsilon}+(K-1)f=0</math>

Persamaan differensial diatas tidak lain adalah bentuk lain persamaan differensial Hermite di mana solusinya adalah polinomial Hermite. Dengan membandingkan koefisien persamaan di atas dengan persamaan diferensial Hermite,

:<math>K=2n+1</math>
:<math>E=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega</math>

Persamaan di atas menunjukkan bahwa energi terkuantisasi atau hanya dapat memiliki nilai tertentu. Yang menarik adalah energy ground state yang tidak nol yang tidak intuitif jika dilihat dari perspektif fisika klasik.

:<math>E_0=\frac{1}{2}\hbar\omega</math>

Sedangkan solusi persamaan differensial diatas menjadi,

:<math>f(\epsilon)=H_n(\epsilon)</math>
:<math>\psi(\epsilon)=H_n(\epsilon)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>

Dari ortogonalitas polinomial Hermite,

:<math>\psi_n(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2^nn!}\pi^{\frac{1}{4}}}H_n(\epsilon)e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}</math>

<math>\psi</math> sebagai fungsi <math>x</math>,

:<math>\psi_n(x)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x\right)e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}</math>

== Referensi ==

*Mary L., Boas. (2006). Mathematical Methods in The Physical Sciences (Third Edition). United States: [[John Wiley & Sons]], Inc.
*Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). ''Introduction to quantum mechanics''. [[Cambridge University Press|Cambridge university press]].
*Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial." From ''MathWorld''—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
*Wolfram Research (1988), HermiteH, Wolfram Language function, https://reference.wolfram.com/language/ref/HermiteH.html (updated 2022)
*The Harmonic-Oscillator Wavefunctions involve Hermite Polynomials. (2020, March 19). https://chem.libretexts.org/@go/page/210817

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Hermite&oldid=28321729 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28321729 (2025-11-03T15:06:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Polinomial Hermite - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28321729; atribusi sumber disertakan.