Polinomial Newton - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-23T13:57:49Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 23 Agustus 2026 13.57
Baris 101:		Baris 101:

	== Bentuk Newton dan polinomial Taylor ==		== Bentuk Newton dan polinomial Taylor ==


	Rumus Newton sangat menarik karena rumus Newton terlihat seperti versi [[beda hingga]] dari polinomial Taylor. Polinomial Taylor memberi tahu nilai suatu fungsi berdasarkan nilai <math>y</math> beserta turunan-turunannya (turunan pertama, turunan kedua, dst.) dari suatu titik <math>x</math> tertentu. Rumus Newton adalah polinomial Taylor yang didasarkan pada [[beda hingga]], dan bukan [[turunan\|laju perubahan sesaat]].		Rumus Newton sangat menarik karena rumus Newton terlihat seperti versi [[beda hingga]] dari polinomial Taylor. Polinomial Taylor memberi tahu nilai suatu fungsi berdasarkan nilai <math>y</math> beserta turunan-turunannya (turunan pertama, turunan kedua, dst.) dari suatu titik <math>x</math> tertentu. Rumus Newton adalah polinomial Taylor yang didasarkan pada [[beda hingga]], dan bukan [[turunan\|laju perubahan sesaat]].

Baris 144:		Baris 142:

	=== Bessel versus Stirling ===		=== Bessel versus Stirling ===

	=== Newton versus Lagrange ===		=== Newton versus Lagrange ===

	Dibandingkan interpolasi polinomial bentuk Newton, [[Polinomial Lagrange\|bentuk Lagrange]] memerlukan usaha yang lebih sedikit, dan terkadang direkomendasikan untuk masalah yang sudah diketahui (dari pengalaman sebelumnya) berapa banyak suku yang diperlukan agar tingkat akurasinya cukup.		Dibandingkan interpolasi polinomial bentuk Newton, [[Polinomial Lagrange\|bentuk Lagrange]] memerlukan usaha yang lebih sedikit, dan terkadang direkomendasikan untuk masalah yang sudah diketahui (dari pengalaman sebelumnya) berapa banyak suku yang diperlukan agar tingkat akurasinya cukup.

	Jika ditambahkan titik data yang baru, metode [[beda terbagi]] mempunyai keunggulan karena suku yang diperoleh dari data sebelumnya dapat digunakan kembali. Dengan rumus [[Joseph-Louis de Lagrange\|Lagrange]] yang biasa, pengerjaan soal dengan penambahan titik data akan membutuhkan perhitungan ulang seluruh soal.		Jika ditambahkan titik data yang baru, metode [[beda terbagi]] mempunyai keunggulan karena suku yang diperoleh dari data sebelumnya dapat digunakan kembali. Dengan rumus [[Joseph-Louis de Lagrange\|Lagrange]] yang biasa, pengerjaan soal dengan penambahan titik data akan membutuhkan perhitungan ulang seluruh soal.

	Secara umum, rumus [[beda terbagi]] lebih serbaguna pada berbagai situasi permasalahan. Dengan interpolasi polinomial bentuk Newton, terdapat algoritma yang singkat dan efektif untuk mencari koefisien dari polinomialnya.		Secara umum, rumus [[beda terbagi]] lebih serbaguna pada berbagai situasi permasalahan. Dengan interpolasi polinomial bentuk Newton, terdapat algoritma yang singkat dan efektif untuk mencari koefisien dari polinomialnya.<ref>Jeff Stetekluh. [http://stetekluh.com/NewtonPoly.html Algorithm for the Newton Form of the Interpolating Polynomial].</ref>

	== Penerapan ==		== Penerapan ==
Baris 179:		Baris 175:
	Sebagai contoh, misalkan dikonstruksikan interpolasi polinomial dari <math>f(x) = \sin x</math> dengan menggunakan metode [[beda terbagi]] pada titik berikut		Sebagai contoh, misalkan dikonstruksikan interpolasi polinomial dari <math>f(x) = \sin x</math> dengan menggunakan metode [[beda terbagi]] pada titik berikut

			{\| cellpadding=5px class="wikitable" style="text-align: left;"
			! <math>n</math> !! <math>x_n</math> !! <math>y_n</math>
			\|-
			\| <math>0</math> \|\| <math>0</math> \|\| <math>0</math>
			\|-
			\| <math>1</math> \|\| <math>0.1</math> \|\| <math>0.09983</math>
			\|-
			\| <math>2</math> \|\| <math>0.3</math> \|\| <math>0.29552</math>
			\|-
			\| <math>3</math> \|\| <math>0.6</math> \|\| <math>0.56464</math>
			\|-
			\| <math>4</math> \|\| <math>1</math> \|\| <math>0.84147</math>
			\|}

	Dengan menggunakan akurasi sebesar lima digit, maka diperoleh tabel beda terbagi sebagai berikut		Dengan menggunakan akurasi sebesar lima digit, maka diperoleh tabel beda terbagi sebagai berikut
Baris 208:		Baris 217:
	* [[Interpolasi Hermite]]		* [[Interpolasi Hermite]]
	* [[Teorema Carlson]]		* [[Teorema Carlson]]

	~~== Referensi ==~~


	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Modul tentang Polinomial Newton, karya John H. Mathews]		*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Modul tentang Polinomial Newton, karya John H. Mathews]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Newton&oldid=29409540 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409540 (2026-07-02T01:22:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Newton&oldid=29409540 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409540 (2026-07-02T01:22:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409540; atribusi sumber disertakan.

2026-08-23T13:23:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29409540; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[analisis numerik]], '''polinomial Newton''' adalah [[Interpolasi polinomial|interpolasi]] [[polinomial]] untuk suatu himpunan titik data yang diketahui. Polinomial ini dinamai dari penemunya, [[Isaac Newton]]. Terkadang, polinomial ini disebut '''interpolasi polinomial beda terbagi Newton''' karena koefisien dari polinomialnya dihitung menggunakan metode [[beda terbagi]] Newton.

Diberikan suatu himpunan <math>k + 1</math> titik data

:<math>(x_0, y_0), \ldots, (x_i, y_i), \ldots, (x_k, y_k)</math>

dengan syarat <math>x_p \neq x_q</math> apabila <math>p \neq q</math>, maka interpolasi polinomial Newton merupakan suatu [[kombinasi linear]] dari '''polinomial basis Newton'''. Secara matematis, hal tersebut dapat dituliskan sebagai

:<math>N(x) := \sum_{i = 0}^{k} a_{i} \, n_{i}(x)</math>

dengan polinomial basis Newton didefinisikan sebagai

:<math>n_i (x) := \prod_{j = 0}^{i - 1} (x - x_j)</math>

untuk <math>i > 0</math> dan <math>n_0 (x) = 1</math>. Koefisien dari polinomial tersebut didefinisikan sebagai <math>a_i := [ y_0, \ldots, y_i ]</math> dengan <math>[y_0, \ldots, y_i]</math> adalah notasi untuk [[beda terbagi]]. Dengan demikian, interpolasi polinomial Newton dapat ditulis sebagai <math display="block">N(x) = [y_0] + [y_0, y_1] (x - x_0) + \ldots + [y_0, \ldots, y_k] (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{k-1})</math>

== Rumus interpolasi Newton-Gregory maju ==
Bentuk dari Polinomial Newton dapat disederhanakan apabila <math>x_0, x_1, \ldots, x_k</math> diatur sehingga berjarak sama. Jika didefinisikan
* <math>h := x_{i + 1} - x_i</math>
* <math>x - x_0 = sh</math>, untuk suatu [[bilangan riil]] <math>s</math>
* <math>\Delta^0 y_i := y_i</math>
* <math>\Delta^{j + 1} y_i := \left( \Delta^j y_{i + 1} \right) - \left( \Delta^j y_i \right)</math>
dengan <math>i, j = 0, 1, \ldots, k - 1</math>, perhatikan bahwa

:<math>\begin{align}
x - x_1 &= x - x_0 - x_1 + x_0 \\
&= x - x_0 - \left( x_1 - x_0 \right) \\
&= sh - h \\
&= h(s - 1) \\
\\
x - x_2 &= x - x_0 - x_2 + x_1 - x_1 + x_0 \\
&= x - x_0 - \left( x_2 - x_1 \right) - \left( x_1 - x_0 \right) \\
&= sh - h - h \\
&= h(s - 2) \\
&\ldots \\
x - x_i &= h(s - i) \\
--------- &- -------------------- \\
\left[ y_0 \right] &:= y_0 \\
\left[ y_0, \, y_1 \right] &= \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \\
&= \dfrac{\Delta y_0}{h} \\
\\
\left[ y_0, \, y_1, \, y_2 \right] &= \dfrac{\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} \\
&= \dfrac{\dfrac{\Delta y_1}{h} - \dfrac{\Delta y_0}{h}}{2h} \\
&= \dfrac{\Delta^2 y_0}{2! \, h^2} \\
\\
\left[ y_0, \, y_1, \, y_2, y_3 \right] &= \dfrac{\dfrac{\dfrac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} - \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}{x_3 - x_1} - \dfrac{\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \dfrac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0}}{x_3 - x_0} \\
&= \dfrac{\dfrac{\dfrac{\Delta y_2}{h} - \dfrac{\Delta y_1}{h}}{2h} - \dfrac{\dfrac{\Delta y_1}{h} - \dfrac{\Delta y_0}{h}}{2h}}{3h} \\
&= \dfrac{\dfrac{\Delta^2 y_1}{2 \, h^2} - \dfrac{\Delta^2 y_0}{2 \,h^2}}{3h} \\
&= \dfrac{\Delta^3 y_0}{3! \, h^3} \\
&\ldots \\
\left[ y_0, \, y_1, \, \ldots, \, y_k \right] &= \dfrac{\Delta^k y_0}{k! \, h^k}
\end{align}</math>

Sehingga, interpolasi polinomial Newton menjadi

:<math>\begin{align}
N(x) &= [y_0] + [y_0, y_1] (x - x_0) + [y_0, y_1, y_2] (x - x_0) (x - x_1) + \ldots + [y_0, \ldots, y_k] (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{k-1}) \\
&= y_0 + \dfrac{\Delta y_0}{h} (sh) + \dfrac{\Delta^2 y_0}{2! \, h^2} (sh)(h(s - 1)) + \ldots + \dfrac{\Delta^k}{k! \, h^k} (sh) (h(s - 1)) \ldots (h(s - k + 1)) \\
&= y_0 + s \left( \Delta y_0 \right) + \dfrac{s (s - 1)}{2!} \left( \Delta^2 y_0 \right) + \ldots + \dfrac{s (s - 1) \ldots (s - k + 1)}{k!} \left( \Delta^k y_0 \right) \\
&= \dbinom{s}{0} \left( \Delta^0 y_0 \right) + \dbinom{s}{1} \left( \Delta^1 y_0 \right) + \dbinom{s}{2} \left( \Delta^2 y_0 \right) + \ldots + \dbinom{s}{k} \left( \Delta^k y_0 \right) \\
&= \sum_{i = 0}^{k} {s \choose i} \left( \Delta^i y_0 \right)
\end{align}</math>

Rumus ini disebut sebagai '''rumus beda terbagi Newton maju'''.

== Rumus interpolasi Newton-Gregory mundur ==
Jika titik data yang ada diubah urutannya menjadi <math>x_k, x_{k - 1}, \ldots, x_0</math>, bentuk polinomial Newtonnya menjadi

:<math>N(x) = [y_k] + [y_k, y_{k - 1}](x - x_k) + \ldots + [y_k, \ldots, y_0] (x - x_k) (x - x_{k - 1}) \ldots (x - x_1)</math>

Dengan asumsi serupa, jika <math>x_k, \; x_{k - 1}, \; \ldots, \; x_0</math> berjarak sama, serta didefinisikan
* <math>h := x_{i + 1} - x_i</math>
* <math>x - x_k = sh</math>, untuk suatu bilangan riil <math>s</math>
* <math>\Delta^0 y_i := y_i</math>
* <math>\Delta^{j + 1} y_i := \left( \Delta^j y_{i + 1} \right) - \left( \Delta^j y_i \right)</math>
dengan <math>i, j = 0, 1, \ldots, k - 1</math>, maka diperoleh

:<math>\begin{align}
x - x_{k - 1} &= \left( x - x_k \right) + \left( x_k - x_{k - 1} \right) \\
&= sh + h \\
&= h(s + 1) \\
\\
x - x_{k - 2} &= \left( x - x_k \right) + \left( x_k - x_{k - 1} \right) + \left( x_{k - 1} - x_{k - 2} \right) \\
&= sh + h + h \\
&= h(s + 2) \\
\ldots \\
x - x_{k - j} &= h(s + j) \\
\end{align}</math>

Sehingga, interpolasi polinomial Newton menjadi

:<math>\begin{align}
N(x) &= [y_k] + [y_k, y_{k - 1}](x - x_k) + [y_k, y_{k - 1}, y_{k - 2}](x - x_k)(x - x_{k - 1}) + \ldots + [y_k, \ldots, y_0] (x - x_k) (x - x_{k - 1}) \ldots (x - x_1) \\
&= y_k + \dfrac{\Delta y_{k - 1}}{h} (sh) + \dfrac{\Delta^2 y_{k - 2}}{2! \, h^2} (sh) (h(s + 1)) + \ldots + \dfrac{\Delta^k y_0}{k! \, h^k} (sh) (h(s + 1)) \ldots (h(s + k - 1)) \\
&= y_k + s \left( \Delta y_{k - 1} \right) + \dfrac{s (s + 1)}{2!} \left( \Delta^2 y_{k - 2} \right) + \ldots + \dfrac{s (s + 1) (s + 2) \ldots (s + k - 1)}{k!} \left( \Delta^k y_0 \right) \\
&= \dbinom{s - 1}{0} \left( \Delta^0 y_k \right) + \dbinom{s}{1} \left( \Delta y_{k - 1} \right) + \dbinom{s + 1}{2} \left( \Delta^2 y_{k - 2} \right) + \ldots + \dbinom{s + k - 1}{k} \left( \Delta^k y_0 \right) \\
&= \sum_{j = 0}^{k} {s + j - 1 \choose j} \left( \Delta^j y_{k - j} \right).
\end{align}</math>

Rumus ini disebut sebagai '''rumus beda terbagi Newton mundur'''

== Bentuk Newton dan polinomial Taylor ==

Rumus Newton sangat menarik karena rumus Newton terlihat seperti versi [[beda hingga]] dari polinomial Taylor. Polinomial Taylor memberi tahu nilai suatu fungsi berdasarkan nilai <math>y</math> beserta turunan-turunannya (turunan pertama, turunan kedua, dst.) dari suatu titik <math>x</math> tertentu. Rumus Newton adalah polinomial Taylor yang didasarkan pada [[beda hingga]], dan bukan [[turunan|laju perubahan sesaat]].

Limit dari polinomial Newton jika semua titik berhimpit menuju <math>x = a</math> adalah [[deret Taylor|polinomial Taylor]] di sekitar <math>x = a</math>, lantaran nilai dari koefisien beda terbagi akan menjadi turunan. Hal ini akan lebih mudah terlihat menggunakan rumus Newton-Gregory maju
<math display="block">\begin{align}
\lim_{\left( x_0, \, \dots, \, x_n \right) \, \to \, \left( a, \, \dots, \, a \right)} &[y_0] + [y_0, y_1] \cdot (x - x_0) + [y_0, y_1, y_2] \cdot (x - x_0) (x - x_1) + \ldots + [y_0, \, \dots, \, y_n] \cdot (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{n - 1}) \\
= \lim_{\left( x_0, \, \dots, \, x_n \right) \, \to \, \left( a, \, \dots, \, a \right)} &y_0 + \dfrac{\Delta y_0}{h} \cdot (x - x_0) + \dfrac{\Delta^2 y_0}{2! \, h^2} \cdot (x - x_0) (x - x_1) + \ldots + \dfrac{\Delta^n \, y_0}{n! \, h^n} \cdot (x - x_0) (x - x_1) \ldots (x - x_{n - 1}) \\
&= f(a) + f'(a) \cdot (x - a) + \dfrac{f''(a)}{2!} \cdot (x - a)^2 \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \cdot (x - a)^n
\end{align}</math>

== Ide utama ==
[[Penyelesaian masalah]] interpolasi akan mengarah ke permasalahan dalam [[aljabar linear]] mengenai penyelesaian sistem [[persamaan linear]]. Dengan menggunakan [[basis monomial]], maka akan diperoleh [[matriks Vandermonde]] yang sangat rumit. Dengan memilih basis lain, basis Newton, maka akan diperoleh sistem persamaan linear dengan [[matriks segitiga|matriks segitiga bawah]], yang lebih sederhana dan dapat diselesaikan dengan lebih cepat.

Jika diberikan <math>k + 1</math> titik data, maka dikonstruksikan basis Newton sebagai

:<math>n_0(x) := 1 \qquad n_j(x) := \prod_{i = 0}^{j - 1} (x - x_i) \qquad j = 1, 2, \, \ldots, \, k</math>

Dengan menggunakan polinomial ini sebagai basis yang baru, maka penyelesaian dari

:<math>\begin{bmatrix}
1 & & \ldots & & 0 \\
1 & x_1 - x_0 & & & \\
1 & x_2 - x_0 & (x_2 - x_0)(x_2 - x_1) & & \vdots \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \\
1 & x_k - x_0 & \ldots & \ldots & {\displaystyle \prod_{j = 0}^{k - 1}(x_k - x_j)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} a_0 \\ \\ \vdots \\ \\ a_k \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} y_0 \\ \\ \vdots \\ \\ y_k \end{bmatrix}</math>

akan menjawab masalah interpolasi polinomial di awal.

Sistem persamaan ini dapat diselesaikan secara iteratif dengan menyelesaikan

:<math> \sum_{i = 0}^{j} a_{i} \, n_{i}(x_j) = y_j \qquad j = 0, 1, \, \dots, \, k.</math>

== Penambahan titik baru ==
Sama seperti rumus selisih lainnya, derajat dari interpolasi polinomial Newton dapat dinaikkan dengan menambahkan [[Suku Dan|suku dan]] titik baru tanpa membuang suku yang sudah ada. Bentuk Newton memiliki kesederhanaan karena titik baru akan selalu ditambahkan di ujung: titik baru pada rumus Newton-Gregory maju dapat ditambahkan di kanan, sedangkan titik baru pada rumus Newton-Gregory mundur dapat ditambahkan di kiri.

== Keunggulan dan kelemahan berbagai rumus ==
Untuk setiap himpunan titik data yang berhingga, hanya terdapat satu polinomial dengan derajat terendah yang melewati semua titik yang diberikan. Maka dari itu, kata "interpolasi polinomial Bentuk Newton" (atau [[Polinomial Lagrange|bentuk Lagrange]], dll.) tidak akan memiliki makna yang ambigu. Meskipun demikian, pencarian polinomial ini bisa saja memiliki efisiensi komputasi yang berbeda apabila digunakan metode yang berbeda.

=== Bessel versus Stirling ===

=== Newton versus Lagrange ===

Dibandingkan interpolasi polinomial bentuk Newton, [[Polinomial Lagrange|bentuk Lagrange]] memerlukan usaha yang lebih sedikit, dan terkadang direkomendasikan untuk masalah yang sudah diketahui (dari pengalaman sebelumnya) berapa banyak suku yang diperlukan agar tingkat akurasinya cukup.

Jika ditambahkan titik data yang baru, metode [[beda terbagi]] mempunyai keunggulan karena suku yang diperoleh dari data sebelumnya dapat digunakan kembali. Dengan rumus [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]] yang biasa, pengerjaan soal dengan penambahan titik data akan membutuhkan perhitungan ulang seluruh soal.

Secara umum, rumus [[beda terbagi]] lebih serbaguna pada berbagai situasi permasalahan. Dengan interpolasi polinomial bentuk Newton, terdapat algoritma yang singkat dan efektif untuk mencari koefisien dari polinomialnya.

== Penerapan ==
Seperti yang bisa dilihat dari bentuk umum dari interpolasi polinomial Newton, titik data yang baru dapat ditambahakan ke himpunan data yang sudah ada untuk membuat interpolasi polinomial yang baru tanpa perlu menghitung ulang koefisien yang lama. Kalaupun terdapat titik data yang berubah nilainya, maka seluruh koefisien tidak perlu dihitung ulang. Selain itu, jika <math>x_0, \, x_1, \, \ldots, \, x_n</math> memiliki jarak yang sama antara satu dengan yang lain, perhitungan [[beda terbagi]] akan jauh lebih mudah. Maka dari itu, rumus [[beda terbagi]] lebih disukai dibandingkan [[Polinomial Lagrange|bentuk Lagrange]] untuk diterapkan.

=== Contoh ===
Nilai beda terbagi dapat dituliskan dalam bentuk tabel. Sebagai contoh, untuk mencari suatu fungsi <math>f</math> yang menginterpolasi titik <math>\left\{ (x_0, \, y_0), \, (x_1, \, y_1), \, \ldots, \, (x_n, y_n) \right\}</math>, maka dapat ditulis sebagai berikut

<math>\begin{matrix}
x & [y_i] & [y_i, y_{i + 1}] & [y_i, y_{i + 1}, y_{i + 2}] & [y_i, y_{i + 1}, y_{i + 2}, y_{i + 3}] & \ldots \\
--- & --- & ------ & -------- & ----------- & ------ \\
x_0 & y_0 & & & & \\
& & \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} & & & \\
x_1 & y_1 & & \frac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0} & & \\
& & \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} & & \frac{\frac{\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}{x_3 - x_1} - \frac{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}}{x_2 - x_0}}{x_3 - x_0} & \\
x_2 & y_2 & & \frac{\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}{x_3 - x_1} & & \\
& & \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} & & \vdots & \\
x_3 & y_3 & & \vdots & & \\
& & \vdots & & \vdots & \\
\vdots & & & \vdots & & \\
& & \vdots & & \\
x_n & y_n & & & &
\end{matrix}</math>

Maka koefisien dari interpolasi polinomialnya diperoleh dari entri teratas pada setiap kolom.

Sebagai contoh, misalkan dikonstruksikan interpolasi polinomial dari <math>f(x) = \sin x</math> dengan menggunakan metode [[beda terbagi]] pada titik berikut

Dengan menggunakan akurasi sebesar lima digit, maka diperoleh tabel beda terbagi sebagai berikut
:<math>\begin{matrix}
0 & 0 & & & & \\
& & 0.9983 & & & \\
0.1 & 0.09983 & & -0.06617 & & \\
& & 0.97845 & & -0.16102 & \\
0.3 & 0.29552 & & -0.16278 & & 0.01651 \\
& & 0.89706 & & -0.14451 & \\
0.6 & 0.56464 & & -0.29284 & & \\
& & 0.69208 & & & \\
1 & 0.84147 & & & & \\
\end{matrix}</math>

Sehingga, interpolasi polinomialnya adalah
:<math>\begin{align}
N(x) &= 0 + 0.9983 (x - 0) - 0.06617 (x - 0)(x - 0.1) - 0.16102 (x - 0)(x - 0.1)(x - 0.3) + 0.01651 (x - 0)(x - 0.1)(x - 0.3)(x - 0.6) \\
&= 0.999789 x + 0.0026957 x^2 - 0.17753 x^3 + 0.01651 x^4
\end{align}</math>

== Lihat juga ==
* ''[[De numeris triangularibus et inde de progressionibus arithmeticis: Magisteria magna]]'', karya dari [[Thomas Harriot]] yang menjelaskan metode interpolasi yang serupa, ditulis 50 tahun lebih awal dari karya Newton namun baru diterbitkan pada tahun 2009
* [[Deret Newton]]
* [[Algoritma Neville]]
* [[Interpolasi Polinomial]]
* Interpolasi polinomial [[Polinomial Lagrange|Bentuk Lagrange]]
* Interpolasi polinomial [[Polinomial Bernstein|Bentuk Bernstein]]
* [[Interpolasi Hermite]]
* [[Teorema Carlson]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Modul tentang Polinomial Newton, karya John H. Mathews]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+Newton&oldid=29409540 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29409540 (2026-07-02T01:22:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.