Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:58:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29413200; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:20:09Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29413200; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar linear]], '''polinomial karakteristik''' dari [[matriks persegi]] adalah suatu [[polinomial]] yang invarian dalam [[matriks serupa|keserupaan]] dan memiliki [[Nilai dan vektor eigen|nilai-nilai eigen]] sebagai [[Akar fungsi|akar-akarnya]]. Nilai [[Determinan]] dan [[Teras (aljabar linear)|teras]] dari matriks ada di dalam koefisien-koefisien polinomial karakteristik. ''Persamaan karakteristik'' atau juga dikenal sebagai ''persamaan determinan'', adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dengan definisi yang serupa, polinomial karakteristik dari [[endomorfisme]] suatu [[ruang vektor]] dimensi terhingga, adalah polinomial karakteristik dari representrasi matriks dari endomorfisme tersebut, atas sebarang basis; yang mengartikan polinomial karakteristik tidak bergantung pada pemilihan [[Basis (aljabar linear)|basis]]. Dalam [[teori graf spektral]], polinomial karakteristik dari sebuah [[Graf (matematika)|graf]] adalah polinomial karakteristik dari [[matriks kedampingan]] graf tersebut.

== Motivasi ==

Dalam [[aljabar linear]], [[nilai dan vektor eigen]] memainkan peran penting, karena untuk sebarang pilihan [[transformasi linear]], vektor eigen adalah vektor yang arahnya tidak berubah akibat transformasi tersebut, dan nilai eigen yang berkorespodensi dengan vektor eigen tersebut menyatakan perubahan besar vektor.

Dalam penjelasan yang lebih presisi, jika transformasi dinyatakan sebagai sebuah matriks persegi <math>A,</math> maka vektor eigen <math>\mathbf{v}</math> dan nilai eigen <math>\lambda</math> yang berkorespoden dengannya, harus memenuhi persamaan berikut<math display="block">A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},</math>atau, setara dengan bentuk di atas, <math display="block">(\lambda I - A) \mathbf{v} = 0</math>dengan <math>I</math> menyatakan [[matriks identitas]], dan <math>\mathbf{v}\ne \mathbf{0}</math> ([[vektor nol]] tidak dianggap sebagai vektor eigen, walaupun memenuhi persamaan tersebut untuk semua nilai <math>\lambda</math>). Hal ini menyimpulkan bahwa matriks <math>(\lambda I - A)</math> harus bersifat [[Matriks singular|singular]], dan determinan-nya bernilai nol, yang ditulis sebagai <math>\det(\lambda I - A) = 0.</math> Dengan kata lain, nilai eigen dari <math>A</math> adalah [[Akar fungsi|akar-akar]] dari <math display="inline">\det(xI - A),</math> yakni [[polinomial monik]] dalam <math>x</math> dan berderajat <math>n</math>, ketika <math>A</math> berukuran <math>n\times n</math>. Polinomial ini merupakan ''polinomial karakteristik'' dari <math>A</math>.

== Definisi formal ==

Misalkan <math>A</math> adalah matriks atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] <math>K</math> dan berukuran <math>n \times n</math>. Polinomial karakterisitik dari <math>A</math>, yang dinyatakan dengan notasi <math>p_A(t),</math> adalah polinomial yang didefinisikan sebagai<math display=block>p_A(t) = \det(tI - A)</math>dengan <math>I</math> melambangkan [[matriks identitas]] berukuran <math>n \times n</math>.

Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik sebagai <math>\det(A - tI)</math>. Polinomial tersebut berbeda dengan polinomial yang didefinisikan sebelumnya, dengan sebuah tanda <math>(-1)^n</math>. Walau tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti akar-akarnya adalah nilai eigen dari <math>A</math>, polinomial <math>\det(A - tI)</math> hanya bersifat monik ketika <math>n</math> genap.

== Contoh-contoh ==

Misalkan kita ingin menentukan polinomial karakteristik dari matriks<math display=block>A=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}.</math>Untuk itu, kita perlu menghitung [[determinan]] dari matriks
<math display=block>t I-A = \begin{pmatrix}
t-2&-1\\
1&t-0
\end{pmatrix}</math>sehingga diperoleh polinomial karakteristik dari matriks <math>A</math>, yaitu <math>(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1</math>.

Contoh berikut menggunakan [[fungsi hiperbolik]] dari [[sudut hiperbolik]] <math>\varphi</math>. Untuk matriks<math display="block">A=\begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix},</math> polinomial karakteristik dari matriks tersebut adalah
<math display=block>\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).</math>

== Sifat-sifat ==

Polinomial karakteristik <math>p_A(t)</math> dari sebuah matriks <math>n\times n</math> bersifat monik (koefisien dari suku terbesarnya adalah 1) dan derajatnya adalah <math>n</math>. Fakta yang terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah disebut di bagian Motivasi: nilai-nilai eigen <math>A</math> adalah [[Akar fungsi|akar-akar]] dari <math>p_A(t)</math> (fakta ini juga berlaku untuk [[Polinomial minimal (aljabar linear)|polinomial minimal]] dari <math>A</math>, tetapi derajatnya dapat lebih kecil dari <math>n</math>). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] dari entri-entri matriks. Secara khusus, koefisien <math>t^0</math> bernilai <math>\det(-A) = (-1)^n \det(A)</math>, koefisien <math>t^n</math> bernilai <math>1</math>, dan koefisien <math>t^{n-1}</math> bernilai <math>\operatorname{tr}(-A) = -\operatorname{tr}(A)</math>, dengan <math>\operatorname{tr}(A)</math> melambangkan [[Teras (aljabar linear)|teras]] dari <math>A</math>. (Tanda yang diberikan di bagian ini disesuaikan dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya; sedangkan untuk definisi alternatif, masing-masing koefisien tersebut akan memiliki nilai <math>\det(A)</math> dan <math>(-1)^{n-1} \operatorname{tr}(A)</math>.) Sebagai contoh, untuk sebarang matriks <math>A</math> dengan ukuran <math>2\times2</math>, polinomial karakteristiknya dirumuskan dengan<math display="block"> t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).</math>

Dengan menggunakan bahasa [[aljabar eksterior]], polinomial karakteristik dari matriks <math>A</math> berukuran <math>n\times n</math> dapat dinyatakan sebagai<math display=block>p_A (t) = \sum_{k=0}^n t^{n-k} (-1)^k \operatorname{tr}\left(\textstyle\bigwedge^k A\right)</math>dengan <math display="inline">\operatorname{tr} \left(\bigwedge^k A \right)</math> menyatakan [[Teras (aljabar linear)|teras]] dari [[Aljabar eksterior#Fungtorialitas|pangkat eksterior]] dari <math>A</math>, yang memiliki dimensi <math display="inline">\binom{n}{k}</math>. Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua [[Minor (aljabar linear)|minor utama]] ukuran <math>k</math> dari <math>A</math>. [[Algoritme Faddeev–LeVerrier|Algoritme rekursif Faddeev–LeVerrier]] menghitung koefisien-koefisien tersebut dengan cara yang lebih efisien. Ketika [[Lapangan (matematika)|lapangan]] dari koefisien-koefisien memiliki [[Karakteristik (aljabar)|karakteristik]] bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai sebuah determinan tunggal dari matriks <math>k\times k</math>, yakni<math display="block">\operatorname{tr}\left( \bigwedge^k A\right) = \frac{1}{k!}
\begin{vmatrix} \operatorname{tr}A & k-1 &0&\cdots & \\
\operatorname{tr}A^2 &\operatorname{tr}A& k-2 &\cdots & \\
\vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\
\operatorname{tr}A^{k-1} &\operatorname{tr}A^{k-2}& & \cdots & 1 \\
\operatorname{tr}A^k &\operatorname{tr}A^{k-1}& & \cdots & \operatorname{tr}A
\end{vmatrix}.</math>

[[Teorema Cayley–Hamilton]] menyatakan bahwa mensubtitusi <math>t</math> dalam polinomial karakteristik dengan <math>A</math> (dan memandang operasi perpangkatan sebagai perpangkatan matriks, dan suku konstan <math>c</math> sebagai perkalian <math>c</math> dengan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, hubungan ini mengartikan setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik mereka. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa [[Polinomial minimal (aljabar linear)|polinomial minimal]] <math>A</math> membagi polinomial karakteristik <math>A</math>.

Dua [[matriks serupa]] memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: dua matriks dengan polinomial karakteristik yang sama belum tentu serupa.

Sebarang matriks dan [[transpos]]-nya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks <math>A</math> serupa dengan [[matriks segitiga]] [[jika dan hanya jika]] polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor-faktor linear atas <math>K</math> (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal). Dalam kasus ini, <math>A</math> serupa dengan suatu matriks dalam [[bentuk normal Jordan]].

== Polinomial karakteristik dari perkalian dua matriks ==

Jika <math>A</math> dan <math>B</math> adalah dua matriks persegi berukuran <math>n\times n</math>, maka polinomial karakteristik dari <math>AB</math> dan <math>BA</math> adalah sama; dengan kata lain, <math display=block>p_{AB}(t)=p_{BA}(t).</math> Jika <math>A</math> bersifat [[Matriks terbalikkan|tak singular]] (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan dari fakta <math>AB</math> dan <math>BA</math> [[Matriks serupa|serupa]]: <math display="block">BA = A^{-1} (AB) A.</math>Sedangkan untuk kasus <math>A</math> dan <math>B</math> berupa matriks singular, identitas yang diinginkan adalah sebuah kesamaan pada kedua polinomial karakteristik (dalam <math>t</math>) mereka dan pada koefisien-koefisien dari matriks. Dengan demikian, kesamaan dapat ditunjukkan dengan cukup membuktikan bahwa kesamaan tersebut berlaku pada suatu [[Himpunan terbuka|subhimpunan buka]] tak kosong (untuk [[Ruang topologis|topologi]] biasa, atau lebih umumnya untuk [[topologi Zariski]]) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan buka dari ruang semua matriks, maka kesamaan berhasil ditunjukkan.

Lebih umumnya, jika matriks <math>A</math> berukuran <math>m\times n</math> dan <math>B</math> berukuran <math>n\times m</math>, maka <math>AB</math> adalah matriks <math>m\times m</math> dan <math>BA</math> adalah matriks <math>n\times n</math>, dan terdapat hubungan <math display="block"> p_{BA}(t) = t^{n-m} p_{AB}(t).</math> Untuk membuktikan hal tersebut, anggap <math>n > m</math>, dengan menukarkan <math>A</math> dan <math>B</math> kalau diperlukan. Lalu, dengan menambahkan <math>n-m</math> baris nol setelah baris terbawah di matriks <math>A</math>, dan menambahkan <math>n-m</math> kolom nol setelah kolom terkanan di matriks <math>B</math>, akan didapatkan dua matriks berukuran <math>n\times n</math>, yakni <math>A'</math> dan <math>B'</math>. Kedua matriks yang baru ini memenuhi <math>B'A' = BA</math> dan <math>A'B'</math> sama dengan <math>AB</math> yang dibatasi oleh <math>n-m</math> baris dan kolom nol. Dengan demikian, hubungan dapat ditunjukkan dengan menggunakan kasus matriks persegi lalu membandingkan polinomial karakteristik <math>A'B'</math> dan <math>AB</math>.

== Polinomial karakteristik dari ''A<sup>k</sup>'' ==

Jika <math>\lambda</math> adalah nilai eigen dari matriks persegi <math>A</math> yang berkorespodensi dengan vektor eigen <math>\mathbf{v} </math>, maka <math>\lambda^k</math> adalah nilai eigen dari <math>A^k</math>, sebab <math display="block">A^k \textbf{v} = A^{k-1} A \textbf{v} = \lambda A^{k-1} \textbf{v} = \dots = \lambda^k \textbf{v}.</math> Sifat yang sama dapat ditunjukkan berlaku untuk kelipatan dari matriks, dan dapat diperumum untuk sebarang polinomial:

Teorema ini mengartikan bahwa kelipatan aljabar (''algebraic multiplicity'') dari <math>\lambda</math> dalam <math>f(A)</math> sama dengan jumlah kelipatan-kelipatan aljabar <math>\lambda'</math> dalam <math>A</math> atas <math>\lambda'</math> yang memenuhi <math>f(\lambda') = \lambda</math>. Secara khusus, <math display="inline">\operatorname{tr}(f(A)) = \sum_{i=1}^n f(\lambda_i)</math>dan <math display="inline">\operatorname{det}(f(A)) = \prod_{i=1}^n f(\lambda_i)</math>. Sebagai contoh, polinomial <math>f(t) = t^3 + 1</math> yang dievaluasi pada matriks <math>A</math>, dapat ditulis dengan sederhana sebagai <math>f(A) = A^3 + 1</math>.

Teorema tersebut berlaku untuk matriks dan polinomial atas sebarang lapangan maupun [[gelanggang komutatif]]. Akan tetapi, asumsi bahwa <math>p_A(t)</math> memiliki [[faktorisasi]] berupa faktor-faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu [[lapangan tertutup secara aljabar]] seperti [[bilangan kompleks]].

Bukti ini hanya berlaku kepada matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau sebarang lapangan tertutup secara aljabar lainnya). Dalam kasus ini, polinomial karakteristik dari sebarang matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai<math display=block> p_A(t) = (t - \lambda_1) (t - \lambda_2) \cdots (t-\lambda_n) </math>dengan <math>\lambda_1,\,\lambda_2,\,\dots,\,\lambda_n</math> adalah nilai-nilai eigen dari <math>A</math>, mungkin beberapanya kembar (''repeated''). Selain itu, [[Bentuk normal Jordan|teorema penguraian Jordan]] menjamin bahwa sebarang matriks persegi <math>A</math> dapat diuraikan sebagai <math> A = S^{-1} U S</math>, dengan <math>S</math> adalah sebuah [[matriks terbalikkan]] dan <math>U</math> adalah [[Matriks segitiga|matriks segitiga atas]] yang diagonal utamanya memiliki entri <math>\lambda_1,\,\dots,\,\lambda_n</math> (dengan setiap nilai eigen kembar menurut kelipatan aljabarnya). Bentuk normal Jordan memiliki beberapa sifat yang kuat, tetapi ini sudah cukup; [[penguraian Schur]] dapat digunakan sebagai alternatif pembuktian, yang lebih mudah tetapi kurang populer.

Misalkan <math>f(t) = \sum_i \alpha_i t^i</math>. Dengan menggunakan penguraian Jordan, <math display=block>\begin{align}f(A) &= \sum \alpha_i (S^{-1} U S)^i \\ &= \sum \alpha_i S^{-1} U S S^{-1} U S \cdots S^{-1} U S = \sum \alpha_i S^{-1} U^i S \\ &= S^{-1} (\sum \alpha_i U^i) S \\ &= S^{-1} f(U) S.\end{align}</math>Untuk matriks segitiga atas <math>U</math> dengan entri diagonal <math>\lambda_1,\dots,\lambda_n</math>, <math>U^i</math> adalah matriks segitiga atas dengan entri diagonal <math>\lambda_1^i,\dots,\lambda_n^i</math>, dan akibatnya <math>f(U)</math> adalah matriks segitiga atas dengan diagonal <math>f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)</math>. Hal ini menyebabkan nilai-nilai eigen dari <math>f(U)</math> adalah <math> f(\lambda_1),\dots,f(\lambda_n)</math>. Karena <math>f(A) = S^{-1} f(U) S</math> [[Matriks serupa|serupa]] dengan <math>f(U)</math>, kedua matriks memiliki nilai-nilai eigen dan kelipatan aljabar yang sama.

== Fungsi sekuler dan persamaan sekuler ==

=== Fungsi sekuler ===

Istilah ''fungsi sekuler'' digunakan untuk hal yang sekarang disebut ''polinomial karakteristik'' (beberapa literatur masih menggunakan istilah fungsi sekuler). Istilah tersebut muncul dari penggunaan polinomial karakteristik untuk menghitung [[Fenomena sekuler|pertubasi sekuler]] (pada suatu skala waktu sekitar dalam rentang abad, yang lebih lambat dibandingkan dengan gerakan tahunan) dari orbit-orbit planet, menurut teori [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]] mengenai ayunan.

=== Persamaan sekuler ===

''Persamaan sekuler'' memiliki beberapa arti.

* Dalam [[aljabar linear]], istilah ini terkadang digunakan untuk merujuk persamaan karakteristik.
* Dalam [[astronomi]], istilah merujuk pada [[ekspresi aljabar]] atau numerik dari besar [[pertidaksamaan]] dalam pada gerakan planet, yang tersisa setelah pertidaksamaan jangka pendek sudah disertakan.
* Dalam [[orbital molekul]], perhitungan yang mengaitkan energi dari [[elektron]] dan fungsi gelombangnya.

== Untuk aljabar asosiatif umum ==

Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik dari sebuah matriks <math>A \in M_n(K)</math> dengan entri-entri dari lapangan <math>K</math>, dapat diperumum tanpa perubahan ke kasus <math>K</math> hanya berupa [[gelanggang komutatif]]. mendefinisikan polinomial karakteristik untuk entri-entri dari sebarang aljabar dimensi-hingga ([[Aljabar asosiatif|asosiatif]], tetapi tidak perlu komutatif) atas sebuah lapangan <math>K</math> dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

== Lihat pula ==

* [[Persamaan karakteristik (disambiguasi)]]
* [[Polinomial minimal (aljabar linear)]]
* [[Invarian tensor]]
* [[Matriks pendamping]]
* [[Algoritme Faddeev–LeVerrier]]
* [[Teorema Cayley–Hamilton]]
* [[Algoritme Samuelson–Berkowitz]]

== Referensi ==

* T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) ''Basic Linear Algebra'', hlm. 149, Springer .
* John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) ''Linear Algebra'' 2nd edition, hlm. 246, [[:en:Addison-Wesley|Addison-Wesley]] .
*
* Werner Greub (1974) ''Linear Algebra'' 4th edition, pp 120–5, Springer, .
* Paul C. Shields (1980) ''Elementary Linear Algebra'' 3rd edition, hlm. 274, [[:en:Worth Publishers|Worth Publishers]] .
* [[:en:Gilbert Strang|Gilbert Strang]] (1988) ''Linear Algebra and Its Applications'' 3rd edition, hlm. 246, [[:en:Brooks/Cole|Brooks/Cole]] .

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+karakteristik&oldid=29413200 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29413200 (2026-07-03T05:33:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Polinomial karakteristik - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29413200; atribusi sumber disertakan.