Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:10:25Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.10
Baris 2:		Baris 2:

	== Definisi ==		== Definisi ==

	Polinomial simetris dasar dalam variabel , ditulis sebagai untuk , didefinisikan oleh		Polinomial simetris dasar dalam variabel , ditulis sebagai untuk , didefinisikan oleh
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
Baris 29:		Baris 28:
	:<math>e_1(X_1) = X_1.</math>		:<math>e_1(X_1) = X_1.</math>

	Untuk :		Untuk :
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	e_1(X_1,X_2) &= X_1 + X_2,\\		e_1(X_1,X_2) &= X_1 + X_2,\\
	e_2(X_1,X_2) &= X_1X_2.\,\\		e_2(X_1,X_2) &= X_1X_2.\,\\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
Baris 37:		Baris 36:
	Untuk :		Untuk :
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	e_1(X_1,X_2,X_3) &= X_1 + X_2 + X_3,\\		e_1(X_1,X_2,X_3) &= X_1 + X_2 + X_3,\\
	e_2(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3,\\		e_2(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3,\\
	e_3(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2X_3.\,\\		e_3(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2X_3.\,\\
Baris 51:		Baris 50:

	== Sifat ==		== Sifat ==
	Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas [[faktorisasi]] linear dari [[polinomial monik]]: dari identitas		Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas [[faktorisasi]] linear dari [[polinomial monik]]: dari identitas
	:<math>\prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).</math>		:<math>\prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).</math>
	Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel , monik [[polinomial univariat]] (dengan variabel ) nilai yang diganti dan koefisien [[hingga]] adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut [[rumus Vieta]].		Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel , monik [[polinomial univariat]] (dengan variabel ) nilai yang diganti dan koefisien [[hingga]] adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut [[rumus Vieta]].
Baris 60:		Baris 59:

	== Teorema dasar dari polinomial simetris ==		== Teorema dasar dari polinomial simetris ==

	Untuk sembarang komutatif [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]] , gelanggang polinomial simetris dalam variabel dengan koefisien dari . Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer '' n '' untuk . (Note that tidak termasuk polinomial ini; karena , tidak dapat menjadi anggota himpunan '' sembarang '' elemen yang secara aljabar independen.)		Untuk sembarang komutatif [[gelanggang (matematika)\|gelanggang]] , gelanggang polinomial simetris dalam variabel dengan koefisien dari . Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer '' n '' untuk . (Note that tidak termasuk polinomial ini; karena , tidak dapat menjadi anggota himpunan '' sembarang '' elemen yang secara aljabar independen.)

Baris 86:		Baris 84:
	* [[Fungsi simetris]]		* [[Fungsi simetris]]
	* [[Teori representasi]]		* [[Teori representasi]]

	~~== Referensi ==~~
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+simetri+elementer&oldid=26380829 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26380829 (2024-10-03T15:57:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+simetri+elementer&oldid=26380829 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26380829 (2024-10-03T15:57:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26380829; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:51:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26380829; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya dalam [[aljabar komutatif]], '''polinomial simetris elementer''' adalah jenis blok penyusun dasar untuk [[polinomial simetris]], dalam arti polinomial simetris dapat diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Artinya, semua polinomial simetris dari ekspresi penambahan dan perkalian konstanta dan polinomial simetris dasar. Polinomial simetris dasar derajat dalam variabel untuk [[bilangan bulat]] nonnegatif , dan dibentuk dengan menjumlahkan semua produk berbeda dari variabel berbeda .

== Definisi ==

Polinomial simetris dasar dalam variabel , ditulis sebagai untuk , didefinisikan oleh
:<math>\begin{align}
e_0 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= 1,\\[10pt]
e_1 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j \leq n} X_j,\\
e_2 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j < k \leq n} X_j X_k,\\
e_3 (X_1, X_2, \dots,X_n) &= \sum_{1 \leq j < k < l \leq n} X_j X_k X_l,\\
\end{align}</math>
dan diakhiri dengan
:<math> e_n (X_1, X_2, \dots,X_n) = X_1 X_2 \cdots X_n.</math>
Maka, untuk yaitu
: <math> e_k (X_1 , \ldots , X_n )=\sum_{1\le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n} X_{j_1} \dotsm X_{j_k},</math>
maka jika .

Maka, bilangan bulat non-negatif kurang dari atau sama dengan , satu polinomial simetris dasar dengan derajat dalam variabel . Untuk membentuk satuan derajat , kita ambil jumlah dari semua hasil kali dari [[himpunan bagian]] dari . (Sebaliknya, jika seseorang melakukan operasi yang sama menggunakan variabel ''multihimpunan'', yaitu variabel dengan pengulangan di [[polinomial simetris homogen kompleks]].)

[[Partisi bilangan bulat]] (yaitu, urutan [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] tidak hingga) , satu mendefinisikan polinomial simetris , juga disebut polinomial simetris elementer, oleh
: <math>e_\lambda (X_1, \dots,X_n) = e_{\lambda_1}(X_1, \dots, X_n) \cdot e_{\lambda_2}(X_1, \dots, X_n) \cdots e_{\lambda_m}(X_1, \dots, X_n)</math>.

Terkadang notasi digunakan sebagai pengganti .

== Contoh ==
Berikut daftar polinomial simetris dasar untuk empat nilai positif pertama dari . (Dalam, juga salah satu polinomial.)

Untuk :
:<math>e_1(X_1) = X_1.</math>

Untuk :
:<math>\begin{align}
e_1(X_1,X_2) &= X_1 + X_2,\\
e_2(X_1,X_2) &= X_1X_2.\,\\
\end{align}</math>

Untuk :
:<math>\begin{align}
e_1(X_1,X_2,X_3) &= X_1 + X_2 + X_3,\\
e_2(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_2X_3,\\
e_3(X_1,X_2,X_3) &= X_1X_2X_3.\,\\
\end{align}</math>

Untuk :
:<math>\begin{align}
e_1(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1 + X_2 + X_3 + X_4,\\
e_2(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2 + X_1X_3 + X_1X_4 + X_2X_3 + X_2X_4 + X_3X_4,\\
e_3(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3 + X_1X_2X_4 + X_1X_3X_4 + X_2X_3X_4,\\
e_4(X_1,X_2,X_3,X_4) &= X_1X_2X_3X_4.\,\\
\end{align}</math>

== Sifat ==
Polinomial simetris dasar muncul sesaat memperluas [[faktorisasi]] linear dari [[polinomial monik]]: dari identitas
:<math>\prod_{j=1}^n ( \lambda - X_j)=\lambda^n - e_1(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-1} + e_2(X_1,\ldots,X_n)\lambda^{n-2} + \cdots +(-1)^n e_n(X_1,\ldots,X_n).</math>
Artinya, mengganti nilai numerik dari variabel , monik [[polinomial univariat]] (dengan variabel ) nilai yang diganti dan koefisien [[hingga]] adalah polinomial simetris elementer. Relasi antara akar dan koefisien polinomial ini disebut [[rumus Vieta]].

[[Polinomial karakteristik]] dari [[matriks persegi]] adalah contoh rumus Vieta. Akar dari polinomial adalah [[nilai eigen]] dari matriks. Maka, mensubstitusikan nilai eigen ke polinomial simetris elementer, hingga tanda koefisien dari polinomial karakteristik, yaitu [[teori invarian|invarian]]. Secara khusus, [[jejak (aljabar linear)|jejak]] (jumlah elemen diagonal) adalah nilai dari , dan dengan jumlah nilai eigen. Maka, [[determinan]] adalah hingga tanda suku konstanta dari karakteristik polinomial; determinan adalah nilai . Jadi determinan dari matriks persegi adalah hasil kali dari nilai eigen.

Himpunan polinomial simetris dasar dalam variabel [[generator (matematika)|menghasilkan]] [[gelanggang polinomial|gelanggang]] dari [[polinomial simetris]] dalam . Lebih khusus lagi, gelanggang polinomial simetris dengan koefisien bilangan bulat sama dengan gelanggang polinomial integral . (Lihat di bawah untuk pernyataan dan bukti yang lebih umum.) Hal ini adalah salah satu dasar dari [[teori invarian]]. Untuk sistem lain dari polinomial simetris dengan properti serupa lihat [[jumlah pangkat polinomial simetris]] dan [[polinomial simetris homogen kompleks]].

== Teorema dasar dari polinomial simetris ==

Untuk sembarang komutatif [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] , gelanggang polinomial simetris dalam variabel dengan koefisien dari . Gelanggang polinomial pada polinomial simetris elementer '' n '' untuk . (Note that tidak termasuk polinomial ini; karena , tidak dapat menjadi anggota himpunan '' sembarang '' elemen yang secara aljabar independen.)

Artinya polinomial simetris representasi
:<math> P(X_1,\ldots, X_n)=Q\big(e_1(X_1 , \ldots ,X_n), \ldots, e_n(X_1 , \ldots ,X_n)\big) </math>
untuk beberapa polinomial . Cara lain untuk mengatakan hal yang sama adalah bahwa [[homomorfisme gelanggang]] dari ke for mendefinisikan [[isomorfisme]] antara and .

=== Sketsa bukti ===
Teorema dapat dibuktikan untuk [[polinomial homogen]] simetris dengan [[induksi matematika]] ganda sehubungan dengan jumlah variabel dan, untuk , sehubungan dengan [[derajat suatu polinomial|derajat]] dari polinomial homogen. Kasus umum kemudian diikuti dengan pemisahan polinomial simetris arbitrer menjadi komponen homogen (simetris).

Dalam kasus hasilnya jelas karena setiap polinom dalam satu variabel secara otomatis simetris.

Asumsikan teorema telah terbukti untuk semua polinomial untuk variabel dan semua polinomial simetris dalam variabel dengan derajat . Setiap polinomial simetris homogen dalam dapat diuraikan sebagai jumlah dari polinomial simetris homogen
:<math> P(X_1,\ldots,X_n)= P_{\text{lanari}} (X_1,\ldots,X_n) + X_1 \cdots X_n \cdot Q(X_1,\ldots,X_n). </math>
Di sini "bagian lacunary" didefinisikan sebagai jumlah dari semua monomial di himpunan bagian dari variabel ke , yaitu, di mana setidaknya satu variabel ditemukan.

Karena simetris, bagian lacunary ditentukan oleh suku-suku yang hanya berisi variabel , yaitu, tidak menggunakan . Lebih tepatnya: Jika dan adalah dua polinomial simetris homogen di memiliki derajat, dan jika koefisien dari sebelum setiap monomial yang hanya berisi variabel sama dengan koefisien yang sesuai dari , maka dan memiliki bagian lacunary yang sama. (Karenaarena setiap monomial yang dapat muncul di bagian lacunary harus kekurangan setidaknya satu variabel, dan dapat diubah dengan permutasi variabel menjadi monomial yang hanya berisi variabel .)

== Lihat pula ==
* [[Polinomial simetris]]
* [[Polinomial simetris homogen kompleks]]
* [[Polinomial Schur]]
* [[Identitas Newton]]
* [[Teorema Master MacMahon]]
* [[Fungsi simetris]]
* [[Teori representasi]]

== Referensi ==
*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Polinomial+simetri+elementer&oldid=26380829 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26380829 (2024-10-03T15:57:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Polinomial simetri elementer - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26380829; atribusi sumber disertakan.