Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22365378; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:22:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22365378; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya [[teori himpunan]], '''produk Cartesius''' dari dua himpunan ''A'' dan ''B'', dilambangkan ''A''×''B,'' adalah himpunan semua [[pasangan terurut]] (''a'', ''b'') di mana ''a'' berada di ''A'' dan ''b'' berada di ''B''. Dalam [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]] dapat dinyatakan sebagai
: <math>A\times B = \{\,(a,b)\mid a\in A \ \mbox{ dan } \ b\in B\,\}.</math>

Suatu tabel dapat dibuat dengan mengambil produk Cartesius dari suatu himpunan baris dan suatu himpunan kolom. Jika produk Cartesius ''baris × kolom'' diambil, sel-sel tabel berisi pasangan terurut dalam bentuk (nilai baris, nilai kolom).

Dengan cara yang sama, produk Cartesius dari n himpun, juga dikenal sebagai '''produk Cartesius ''n''-lipat''', yang dapat diwakili oleh himpunan ''n''-dimensi, di mana setiap elemen adalah ''n''-tuple. Pasangan yang dipesan adalah 2-tupel atau pasangan. Lebih umum lagi, kita dapat mendefinisikan produk Cartesius dari kumpulan set yang diindeks.

Produk Cartesius dinamai dari [[René Descartes]], yang formulasi [[geometri analitik]]nya memunculkan konsep, yang selanjutnya digeneralisasikan dalam hal [[produk langsung]].

== Contoh ==

=== Setumpuk kartu ===

Contoh ilustrasinya adalah [[setumpuk 52 kartu standar]]. [[Kartu remi#Anglo-Amerika|kartu bermain standar]] peringkat {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} membentuk himpunan 13 elemen. Kartu ini cocok dengan membentuk himpunan empat elemen. Hasil kali Cartesian dari set ini mengembalikan set 52 elemen yang terdiri dari 52 [[pasangan terurut]], yang sesuai dengan semua 52 kemungkinan kartu remi.

mengembalikan satu himpunan formulir {(A, ♠), (A, ), (A, ), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ), (2, ), (2, ♣)}.

returns a set of the form {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Kedua set ini berbeda, bahkan terputus-putus.

=== Sistem koordinat dua dimensi ===

Contoh sejarah utama adalah [[bidang cartesius]] dalam [[geometri analitik]]. Untuk merepresentasikan bentuk geometris dengan cara numerik, dan mengekstrak informasi numerik dari representasi numerik bentuk, [[René Descartes]] menetapkan pasangan [[bilangan real]] pada setiap titik di bidang, yang disebut [[koordinat]]. Biasanya, komponen pasangan pertama dan kedua masing-masing disebut koordinat ''x'' dan ''y'' (lihat gambar). Himpunan dari semua pasangan seperti itu (yaitu, hasil kali Cartesius , dengan ℝ menunjukkan bilangan riil) dengan demikian ditetapkan ke himpunan semua titik di bidang.

== Implementasi paling umum (teori himpunan) ==

Definisi formal produk Cartesian dari prinsip [[teori himpunan]] mengikuti dari definisi [[pasangan terurut]]. Definisi paling umum dari pasangan terurut, [[Definisi pasangan berurutan#Kuratowski|Definisi Kuratowski]] adalah <math>(x, y) = \{\{x\},\{x, y\}\}</math>. Di bawah ini pada terdapat definisi <math>(x, y)</math> adalah elemen dari <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))</math>, dan <math>X\times Y</math> adalah bagian dari himpunan itu, di mana <math>\mathcal{P}</math> mewakili operator [[set daya]]. Oleh karena itu, keberadaan perkalian Cartesius dari dua himpunan manapun di [[ZFC]] mengikuti aksioma [[aksioma pemasangan|pemasangan]], [[aksioma serikat|serikat]], [[aksioma himpunan daya|himpunan daya]], dan [[skema aksioma spesifikasi|spesifikasi]]. Karena [[fungsi (matematika)|fungsi]] biasanya didefinisikan sebagai kasus khusus dari [[hubungan (matematika)|hubungan]], dan hubungan biasanya didefinisikan sebagai himpunan bagian dari produk Cartesius, definisi dari perkalian dua himpunan Cartesian harus sebelum sebagian besar definisi lainnya.

== Non-komutatif dan non-asosiatif ==
Karena ''A'', ''B'', ''C'', dan ''D'' menjadi himpunan produk.

Produk Cartesius bukan termasuk [[komutatif]],
: <math>A \times B \neq B \times A,</math>
karena [[pasangan terurut]] dibalik kecuali setidaknya satu dari kondisi berikut terpenuhi:
* ''A'' sama dengan '' B '', atau
* ''A'' dan '' B '' adalah [[himpunan kosong]].

Sebagai contoh:
: ''A'' = {1,2}; ''B'' = {3,4}
:: ''A'' × ''B'' = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
:: ''B'' × ''A'' = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

: ''A'' = ''B'' = {1,2}
:: ''A'' × ''B'' = ''B'' × ''A'' = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

: ''A'' = {1,2}; ''B'' = ∅
:: ''A'' × ''B'' = {1,2} × ∅ = ∅
:: ''B'' × ''A'' = ∅ × {1,2} = ∅

Sebenarnya, produk Cartesius bukanlah [[asosiatif]] (kecuali salah satu set yang terlibat kosong).
: <math>(A\times B)\times C \neq A \times (B \times C)</math>
Kalau contohnya ''A'' = {1}, maka (''A'' × ''A'') × ''A'' = { ((1,1),1) } ≠ { (1,(1,1)) } = ''A'' × (''A'' × ''A'').

== Irisan, gabungan, dan himpunan bagian ==

Produk Cartesian memenuhi properti berikut sehubungan dengan [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] (lihat gambar tengah).
: <math>(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)</math>

Dalam kebanyakan kasus, pernyataan di atas tidak benar jika kita mengganti interseksi dengan [[Gabungan (teori himpunan)|gabungan]] (lihat gambar paling kanan).
: <math>(A \cup B) \times (C \cup D) \neq (A \times C) \cup (B \times D)</math>

Faktanya, kami memiliki:
: <math>(A \times C) \cup (B \times D) = [(A \setminus B) \times C] \cup [(A \cap B) \times (C \cup D)] \cup [(B \setminus A) \times D]</math>

Untuk perbedaan set, kami juga memiliki identitas berikut:
: <math>(A \times C) \setminus (B \times D) = [A \times (C \setminus D)] \cup [(A \setminus B) \times C] </math>

Berikut adalah beberapa aturan yang menunjukkan distribusi dengan operator lain (lihat gambar paling kiri):
: <math>\begin{align}
A \times (B \cap C) &= (A \times B) \cap (A \times C), \\
A \times (B \cup C) &= (A \times B) \cup (A \times C), \\
A \times (B \setminus C) &= (A \times B) \setminus (A \times C),
\end{align}</math>
: <math>(A \times B)^\complement = \left(A^\complement \times B^\complement\right) \cup \left(A^\complement \times B\right) \cup \left(A \times B^\complement\right),</math>

dimana <math>A^\complement</math> menunjukkan [[pelengkap mutlak]] dari ''A''.

Properti lain yang terkait dengan [[himpunan bagian]] adalah:
:<math>\text{Bila } A \subseteq B \text{, maka } A \times C \subseteq B \times C;</math>
:<math>\text{bila keduanya } A,B \neq \emptyset \text{, setelah itu } A \times B \subseteq C \times D \iff A \subseteq C\text{ dan } B \subseteq D.</math>

== Kardinalitas ==

[[Kardinalitas]] dari suatu himpunan adalah jumlah elemen dari himpunan tersebut. Misalnya, mendefinisikan dua himpunan: } dan Kedua himpunan '' A '' dan himpunan '' B '' masing-masing terdiri dari dua elemen. Produk Cartesian mereka, ditulis sebagai , menghasilkan himpunan baru yang memiliki elemen berikut:
: ''A'' × ''B'' = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

di mana setiap elemen '' A '' dipasangkan dengan setiap elemen '' B '', dan di mana setiap pasangan membentuk satu elemen himpunan keluaran.
Jumlah nilai di setiap elemen dari himpunan yang dihasilkan sama dengan jumlah himpunan yang produk Kartesiannya diambil; 2 dalam kasus ini.
Kardinalitas dari himpunan keluaran sama dengan hasil perkalian dari kardinalitas dari semua himpunan masukan. Maka rumusnya adalah,
: |''A'' × ''B''| = |''A''| · |''B''|.
Pada kasus ini, |''A'' × ''B''| = 4

sama halnya
: |''A'' × ''B'' × ''C''| = |''A''| · |''B''| · |''C''|
and so on.

Himpunan adalah [[himpunan tak hingga]] dari '' A '' atau '' B '' pada bilangan tak hingga, dan himpunan lainnya yang bukan termasuk himpunan kosong.

== Lihat pula ==
* [[Relasi biner]]
* [[Gabungan (matematika)#Gabungan pita kumpulan|Penggabungan kumpulan string]]
* [[Produk gabungan]]
* [[Produk silang]]
* [[Produk langsung dari grup]]
* [[Produk kosong]]
* [[Ruang Euklides]]
* [[Objek eksponensial]]
* [[Relasi finiter]]
* [[Gabungan (SQL)#Gabungan silang|Gabungan (SQL)§Gabung silang]]
* [[Total order#Pesanan pada produk Cartesius dari himpunan order seluruhnya|Pesanan pada produk Cartesius dari himpunan yang dipesan seluruhnya]]
* [[Aksioma himpunan daya#Konsekuensi Aksioma himpunan daya]] (untuk membuktikan keberadaan produk Cartesius)
* [[Produk (teori kategori)]]
* [[Topologi produk]]
* [[Tipe produk]]
* [[Ultraproduk]]

== Referensi ==

== Pranala luar ==
* [http://www.apronus.com/provenmath/cartesian.htm Cartesian Product at ProvenMath]
*
* [http://education-portal.com/academy/lesson/how-to-find-the-cartesian-product.html How to find the Cartesian Product, Education Portal Academy]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Produk+Cartesius&oldid=22365378 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22365378 (2022-12-19T00:41:51Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Produk Cartesius - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 22365378; atribusi sumber disertakan.