Produk langsung - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:07:41Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 18.07
Baris 2:		Baris 2:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* Jika kita pikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai himpunan bilangan riil, maka produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> hanyalah produk Kartesius <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math>.		* Jika kita pikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai himpunan bilangan riil, maka produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> hanyalah produk Kartesius <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math>.
	* Jika kita memikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai [[grup (matematika)\|grup]] dari bilangan real di bawah penambahan, kemudian produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> masih punya <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math> sebagai himpunan yang mendasarinya. Perbedaan antara ini dan contoh sebelumnya adalah itu <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> sekarang menjadi grup, jadi kami juga harus menjelaskan cara menambahkan elemennya. Ini dilakukan dengan mendefinisikan <math>(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)</math>.		* Jika kita memikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai [[grup (matematika)\|grup]] dari bilangan real di bawah penambahan, kemudian produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> masih punya <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math> sebagai himpunan yang mendasarinya. Perbedaan antara ini dan contoh sebelumnya adalah itu <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> sekarang menjadi grup, jadi kami juga harus menjelaskan cara menambahkan elemennya. Ini dilakukan dengan mendefinisikan <math>(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)</math>.
Baris 15:		Baris 14:
	Perhatikan bahwa produk langsung untuk indeks terbatas <math>\prod_{i=1}^n X_i </math> identik dengan [[Jumlah langsung modul\|jumlah langsung]] <math>\bigoplus_{i=1}^n X_i </math>. Jumlah langsung dan produk langsung berbeda hanya untuk indeks tak hingga, di mana elemen jumlah langsung adalah nol untuk semua kecuali untuk sejumlah entri terbatas. Keduanya memiliki arti ganda dalam arti [[teori kategori]]: jumlah langsungnya adalah [[koproduk]], sedangkan produk langsung adalah produknya.		Perhatikan bahwa produk langsung untuk indeks terbatas <math>\prod_{i=1}^n X_i </math> identik dengan [[Jumlah langsung modul\|jumlah langsung]] <math>\bigoplus_{i=1}^n X_i </math>. Jumlah langsung dan produk langsung berbeda hanya untuk indeks tak hingga, di mana elemen jumlah langsung adalah nol untuk semua kecuali untuk sejumlah entri terbatas. Keduanya memiliki arti ganda dalam arti [[teori kategori]]: jumlah langsungnya adalah [[koproduk]], sedangkan produk langsung adalah produknya.

	Misalnya, pertimbangkan <math>X=\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R} </math> dan <math>Y=\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}</math>, produk langsung tak terbatas dan jumlah langsung dari bilangan real. Hanya urutan dengan jumlah elemen bukan nol yang terbatas yang ada di ''Y''. Sebagai contoh, (1,0,0,0,...) ada di ''Y'' tapi (1,1,1,1, ...) tidak. Kedua urutan ini ada di produk langsung ''X''; sebenarnya, ''Y'' adalah bagian yang tepat dari ''X'' (yaitu, ''Y'' ⊂ ''X'').		Misalnya, pertimbangkan <math>X=\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R} </math> dan <math>Y=\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}</math>, produk langsung tak terbatas dan jumlah langsung dari bilangan real. Hanya urutan dengan jumlah elemen bukan nol yang terbatas yang ada di ''Y''. Sebagai contoh, (1,0,0,0,...) ada di ''Y'' tapi (1,1,1,1, ...) tidak. Kedua urutan ini ada di produk langsung ''X''; sebenarnya, ''Y'' adalah bagian yang tepat dari ''X'' (yaitu, ''Y'' ⊂ ''X'').<ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/DirectProduct.html Direct Product]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref><ref>Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/GroupDirectProduct.html Group Direct Product]. ''mathworld.wolfram.com''.</ref>

	== Hasil kali langsung ruang topologi ==		== Hasil kali langsung ruang topologi ==
Baris 39:		Baris 38:

	== Produk langsung dari hubungan biner ==		== Produk langsung dari hubungan biner ==
	Pada produk Cartesian dari dua himpunan dengan [[relasi biner]] R dan S, definisikan (''a'', ''b'')T(''c'', ''d'') sebagai ''a''R''c'' dan ''b''S''d''. Jika R dan S keduanya [[hubungan refleksif\|refleksif]], [[hubungan tidak refleksif\|tidak refleksif]], [[hubungan transitif\|transitif]], [[hubungan simetris\|simetris]], atau [[hubungan antisimetris\|antisimetris]], maka T juga akan menjadi. Menggabungkan properti berarti ini juga berlaku untuk menjadi [[praorder]] dan menjadi [[relasi ekivalen]]. Namun jika R dan S adalah [[relasi total]], T bukan total umum.		Pada produk Cartesian dari dua himpunan dengan [[relasi biner]] R dan S, definisikan (''a'', ''b'')T(''c'', ''d'') sebagai ''a''R''c'' dan ''b''S''d''. Jika R dan S keduanya [[hubungan refleksif\|refleksif]], [[hubungan tidak refleksif\|tidak refleksif]], [[hubungan transitif\|transitif]], [[hubungan simetris\|simetris]], atau [[hubungan antisimetris\|antisimetris]], maka T juga akan menjadi.<ref>[http://cr.yp.to/2005-261/bender1/EO.pdf Equivalence and Order]</ref> Menggabungkan properti berarti ini juga berlaku untuk menjadi [[praorder]] dan menjadi [[relasi ekivalen]]. Namun jika R dan S adalah [[relasi total]], T bukan total umum.

	== Hasil kali langsung dalam aljabar universal ==		== Hasil kali langsung dalam aljabar universal ==
Baris 45:		Baris 44:
	* Himpunan semesta '' A '' dari '''A''' adalah produk Kartesius dari himpunan alam semesta ''A''<sub>''i''</sub> of '''A'''<sub>''i''</sub>, secara resmi: ''A'' = ∏<sub>''i''∈''I''</sub> ''A''<sub>''i''</sub>;		* Himpunan semesta '' A '' dari '''A''' adalah produk Kartesius dari himpunan alam semesta ''A''<sub>''i''</sub> of '''A'''<sub>''i''</sub>, secara resmi: ''A'' = ∏<sub>''i''∈''I''</sub> ''A''<sub>''i''</sub>;
	* Untuk setiap '' n '' dan setiap '' n '' simbol operasi ary , interpretasinya ''f''<sup>'''A'''</sup> dalam '''A''' didefinisikan secara komponen, secara formal: untuk semua dan pada , komponen ke ''i'' dari didefinisikan sebagai .		* Untuk setiap '' n '' dan setiap '' n '' simbol operasi ary , interpretasinya ''f''<sup>'''A'''</sup> dalam '''A''' didefinisikan secara komponen, secara formal: untuk semua dan pada , komponen ke ''i'' dari didefinisikan sebagai .
	Untuk , proyeksi ke '' i '' didefinisikan oleh . Ini adalah [[homomorfisme dugaan]] antara Σ aljabar '''A''' dan '''A'''<sub>''i''</sub>.		Untuk , proyeksi ke '' i '' didefinisikan oleh . Ini adalah [[homomorfisme dugaan]] antara Σ aljabar '''A''' dan '''A'''<sub>''i''</sub>.<ref>Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar, 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.]'' Springer-Verlag. . Here: Def.7.8, p.53 (=p. 67 in pdf file)</ref>

	Sebagai kasus khusus, jika indeks ditetapkan produk langsung dari dua aljabar '''A'''<sub>1</sub> and '''A'''<sub>2</sub> diperoleh, ditulis sebagai . Jika Σ hanya berisi satu operasi biner '' f '', definisi [[#Produk langsung grup\|atas]] dari produk langsung grup diperoleh, menggunakan notasi , , , , and . Demikian pula, definisi produk langsung modul dimasukkan di sini.		Sebagai kasus khusus, jika indeks ditetapkan produk langsung dari dua aljabar '''A'''<sub>1</sub> and '''A'''<sub>2</sub> diperoleh, ditulis sebagai . Jika Σ hanya berisi satu operasi biner '' f '', definisi [[#Produk langsung grup\|atas]] dari produk langsung grup diperoleh, menggunakan notasi , , , , and . Demikian pula, definisi produk langsung modul dimasukkan di sini.

	== Produk langsung internal dan eksternal ==		== Produk langsung internal dan eksternal ==


	Beberapa penulis membuat perbedaan antara '''produk langsung internal''' dan '''produk langsung eksternal.''' Jika <math>A, B \subset X</math> dan <math>A \times B \cong X</math>, lalu kami mengatakan bahwa '' X '' adalah '' internal '' produk langsung dari '' A '' dan '' B '', sedangkan jika '' A '' dan '' B '' bukan sub-objek maka kami katakan bahwa ini adalah produk langsung '' eksternal ''.		Beberapa penulis membuat perbedaan antara '''produk langsung internal''' dan '''produk langsung eksternal.''' Jika <math>A, B \subset X</math> dan <math>A \times B \cong X</math>, lalu kami mengatakan bahwa '' X '' adalah '' internal '' produk langsung dari '' A '' dan '' B '', sedangkan jika '' A '' dan '' B '' bukan sub-objek maka kami katakan bahwa ini adalah produk langsung '' eksternal ''.

Baris 68:		Baris 65:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
	*		<references />



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Produk+langsung&oldid=18348885 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18348885 (2021-05-09T15:39:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Produk+langsung&oldid=18348885 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18348885 (2021-05-09T15:39:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18348885; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:44:08Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 18348885; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], seseorang sering dapat mendefinisikan '''produk langsung''' dari objek yang sudah dikenal, memberikan yang baru. Ini menggeneralisasi [[produk Cartesian]] dari [[Himpunan (matematika)|himpunan]] yang mendasari, bersama dengan struktur yang ditentukan secara sesuai pada set produk. Lebih abstrak lagi, seseorang berbicara tentang [[Produk (teori kategori)|produk dalam teori kategori]], yang memformalkan gagasan ini.

== Contoh ==

* Jika kita pikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai himpunan bilangan riil, maka produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> hanyalah produk Kartesius <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math>.
* Jika kita memikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai [[grup (matematika)|grup]] dari bilangan real di bawah penambahan, kemudian produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> masih punya <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math> sebagai himpunan yang mendasarinya. Perbedaan antara ini dan contoh sebelumnya adalah itu <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> sekarang menjadi grup, jadi kami juga harus menjelaskan cara menambahkan elemennya. Ini dilakukan dengan mendefinisikan <math>(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)</math>.
* Jika kita memikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai [[gelanggang (matematika)|gelanggang]] dari bilangan real, kemudian produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> lagi memiliki <math>\{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \}</math> sebagai himpunan yang mendasarinya. Cincin struktur cincin terdiri dari penambahan yang ditentukan oleh <math>(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)</math> dan perkalian ditentukan oleh <math>(a,b) (c,d) = (ac, bd)</math>.
* Namun, jika kita pikirkan <math>\mathbb{R}</math> sebagai [[bidang (matematika)|bidang]] dari bilangan real, kemudian produk langsung <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> tidak ada secara naif mendefinisikan penjumlahan dan perkalian secara komponen seperti pada contoh di atas tidak akan menghasilkan bidang karena elemen <math>(1,0)</math> tidak memiliki [[invers perkalian]].

Dengan cara yang sama, kita dapat berbicara tentang produk langsung dari banyak struktur aljabar, mis. <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>. Hal ini bergantung pada fakta bahwa produk langsungnya adalah [[asosiatif]] [[hingga]] [[isomorfisme]]. Artinya, <math>(A \times B) \times C \cong A \times (B \times C)</math> untuk setiap struktur aljabar <math>A</math>, <math>B</math>, dan <math>C</math> dari jenis yang sama. Produk langsung juga [[komutatif]] hingga isomorfisme, yaitu <math>A \times B \cong B \times A</math> untuk setiap struktur aljabar <math> A </math> dan <math> B </math> dari jenis yang sama. Kita bahkan dapat berbicara tentang hasil kali langsung dari banyak struktur aljabar yang tak terhingga; misalnya kita dapat mengambil produk langsung dari [[terhitung tak hingga|terhitung]] banyak salinan <math>\mathbb R</math>, yang kami tulis sebagai <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dotsb</math>.

== Produk langsung dari modul ==
Produk langsung untuk [[modul (matematika)|modul]] (jangan bingung dengan [[produk tensor modul|produk tensor]]) sangat mirip dengan yang ditentukan, menggunakan perkalian kartesian dengan operasi penjumlahan menjadi komponen, dan perkalian skalar hanya mendistribusikan ke semua komponen. Mulai dari '''R''' kami mendapatkan [[ruang Euklides]] '''R'''''n'', contoh prototipe dari ruang vektor berdimensi ''n'' yang nyata. Produk langsung dari '''R'''''m'' and '''R'''''n'' is '''R'''''m''+''n''.

Perhatikan bahwa produk langsung untuk indeks terbatas <math>\prod_{i=1}^n X_i </math> identik dengan [[Jumlah langsung modul|jumlah langsung]] <math>\bigoplus_{i=1}^n X_i </math>. Jumlah langsung dan produk langsung berbeda hanya untuk indeks tak hingga, di mana elemen jumlah langsung adalah nol untuk semua kecuali untuk sejumlah entri terbatas. Keduanya memiliki arti ganda dalam arti [[teori kategori]]: jumlah langsungnya adalah [[koproduk]], sedangkan produk langsung adalah produknya.

Misalnya, pertimbangkan <math>X=\prod_{i=1}^\infty \mathbb{R} </math> dan <math>Y=\bigoplus_{i=1}^\infty \mathbb{R}</math>, produk langsung tak terbatas dan jumlah langsung dari bilangan real. Hanya urutan dengan jumlah elemen bukan nol yang terbatas yang ada di ''Y''. Sebagai contoh, (1,0,0,0,...) ada di ''Y'' tapi (1,1,1,1, ...) tidak. Kedua urutan ini ada di produk langsung ''X''; sebenarnya, ''Y'' adalah bagian yang tepat dari ''X'' (yaitu, ''Y'' ⊂ ''X'').

== Hasil kali langsung ruang topologi ==
Produk langsung untuk koleksi [[ruang topologi]] ''Xi'' untuk ''i'' pada ''I'', beberapa kumpulan indeks, sekali lagi menggunakan produk Kartesius

:<math>\prod_{i \in I} X_i. </math>

Mendefinisikan [[topologi]] agak sedikit rumit. Untuk banyak faktor, ini adalah hal yang jelas dan wajar untuk dilakukan: cukup ambil sebagai [[basis (topologi)|basis]] himpunan terbuka untuk menjadi kumpulan semua produk Kartesius dari subset terbuka dari setiap faktor:

:<math>\mathcal B = \{ U_1 \times \cdots \times U_n\ |\ U_i\ \mathrm{buka\ dalam}\ X_i \}.</math>

Topologi ini disebut [[topologi produk]]. Misalnya, langsung mendefinisikan topologi produk di '''R'''2 oleh himpunan terbuka '''R''' (persatuan terputus dari interval terbuka), dasar untuk topologi ini akan terdiri dari semua persatuan terputus-putus persegi panjang terbuka di bidang (ternyata, ini bertepatan dengan topologi [[ruang metrik|metrik]] biasa).

Topologi produk untuk produk tak terbatas memiliki twist, dan ini harus dilakukan dengan kemampuan membuat semua peta proyeksi menjadi kontinu dan membuat semua fungsi menjadi produk berkelanjutan jika dan hanya jika semua fungsi komponennya berkelanjutan (yaitu untuk memenuhi definisi kategorikal produk: morfisme di sini adalah fungsi berkelanjutan): kami mengambil basis set terbuka untuk menjadi kumpulan semua produk Kartesius dari subset terbuka dari masing-masing faktor, seperti sebelumnya, dengan syarat bahwa semua kecuali banyak himpunan bagian terbuka adalah faktor keseluruhan:

:<math>\mathcal B = \left\{ \prod_{i \in I} U_i\ \Big|\ (\exists j_1,\ldots,j_n)(U_{j_i}\ \mathrm{buka\ dalam}\ X_{j_i})\ \mathrm{dan}\ (\forall i \neq j_1,\ldots,j_n)(U_i = X_i) \right\}.</math>

Topologi yang terdengar lebih natural, dalam hal ini, mengambil produk dari subset terbuka yang tak terhingga seperti sebelumnya, dan ini menghasilkan topologi yang agak menarik, [[topologi kotak]]. Namun tidak terlalu sulit untuk menemukan contoh sekumpulan fungsi komponen kontinu yang fungsi produknya tidak kontinu (lihat topologi kotak entri terpisah untuk contoh dan lainnya). Masalah yang membuat pelintiran diperlukan pada akhirnya berakar pada fakta bahwa persimpangan set terbuka hanya dijamin akan terbuka untuk banyak himpunan yang tidak terbatas dalam definisi topologi.

Produk (dengan topologi produk) bagus dalam kaitannya dengan pelestarian sifat faktornya; sebagai contoh, produk dari ruang Hausdorff adalah Hausdorff; produk dari ruang yang terhubung terhubung, dan produk dari ruang kompak adalah kompak. Yang terakhir, disebut [[Teorema Tychonoff]], adalah padanan lain dari [[aksioma pilihan]].

Untuk lebih banyak properti dan formulasi yang setara, lihat entri terpisah [[topologi produk]].

== Produk langsung dari hubungan biner ==
Pada produk Cartesian dari dua himpunan dengan [[relasi biner]] R dan S, definisikan (''a'', ''b'')T(''c'', ''d'') sebagai ''a''R''c'' dan ''b''S''d''. Jika R dan S keduanya [[hubungan refleksif|refleksif]], [[hubungan tidak refleksif|tidak refleksif]], [[hubungan transitif|transitif]], [[hubungan simetris|simetris]], atau [[hubungan antisimetris|antisimetris]], maka T juga akan menjadi. Menggabungkan properti berarti ini juga berlaku untuk menjadi [[praorder]] dan menjadi [[relasi ekivalen]]. Namun jika R dan S adalah [[relasi total]], T bukan total umum.

== Hasil kali langsung dalam aljabar universal ==
Jika Σ adalah [[Tanda tangan (logika)|tanda tangan]] tetap, '' I '' adalah kumpulan indeks arbitrer (mungkin tak terbatas), dan ('''A'''''i'')''i''∈''I'' adalah [[keluarga indeks]] dari Σ aljabar, '''produk langsung''' '''A''' = ∏''i''∈''I'' '''A'''''i'' adalah aljabar Σ yang didefinisikan sebagai berikut:
* Himpunan semesta '' A '' dari '''A''' adalah produk Kartesius dari himpunan alam semesta ''A''''i'' of '''A'''''i'', secara resmi: ''A'' = ∏''i''∈''I'' ''A''''i'';
* Untuk setiap '' n '' dan setiap '' n '' simbol operasi ary , interpretasinya ''f'''''A''' dalam '''A''' didefinisikan secara komponen, secara formal: untuk semua dan pada , komponen ke ''i'' dari didefinisikan sebagai .
Untuk , proyeksi ke '' i '' didefinisikan oleh . Ini adalah [[homomorfisme dugaan]] antara Σ aljabar '''A''' dan '''A'''''i''.

Sebagai kasus khusus, jika indeks ditetapkan produk langsung dari dua aljabar '''A'''1 and '''A'''2 diperoleh, ditulis sebagai . Jika Σ hanya berisi satu operasi biner '' f '', definisi [[#Produk langsung grup|atas]] dari produk langsung grup diperoleh, menggunakan notasi , , , , and . Demikian pula, definisi produk langsung modul dimasukkan di sini.

== Produk langsung internal dan eksternal ==

Beberapa penulis membuat perbedaan antara '''produk langsung internal''' dan '''produk langsung eksternal.''' Jika <math>A, B \subset X</math> dan <math>A \times B \cong X</math>, lalu kami mengatakan bahwa '' X '' adalah '' internal '' produk langsung dari '' A '' dan '' B '', sedangkan jika '' A '' dan '' B '' bukan sub-objek maka kami katakan bahwa ini adalah produk langsung '' eksternal ''.

== Metrik dan norma ==
Metrik pada hasil kali Kartesius dari ruang metrik, dan norma pada produk langsung dari ruang vektor bernorma, dapat didefinisikan dengan berbagai cara, lihat misalnya [[Norma (matematika)#p-norma|p-norma]].

== Lihat juga ==
* [[Jumlah langsung]]
* [[Produk Kartesius]]
* [[Koproduk]]
*[[Produk bebas]]
* [[Produk setengah langsung]]
* [[Produk Zappa–Szep]]
* [[Tensor product of graphs]]
*[[Order total#Order pada produk Kartesius dari himpunan yang dipesan seluruhnya|Order pada produk Kartesius dari himpunan order seluruhnya]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Produk+langsung&oldid=18348885 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18348885 (2021-05-09T15:39:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.