Ranah integral - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:04:47Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 18.04
Baris 1:		Baris 1:
	~~Dalam~~ [[~~matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol~~\|bukan nol]] di mana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol. Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)\|~~keterbagian~~]]~~. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika , persamaan mengartikan .~~		[[File:Latex_integers.svg\|thumb\|right\|280px\|Latex integers]]

	~~"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas~~, ~~tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki~~ [[~~identitas perkalian~~]], ~~umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan~~ ranah integral ~~untuk memiliki identitas perkalian~~. ~~Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima~~. ~~Artikel ini~~, ~~menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah~~ integral" untuk ~~kasus komutatif dan menggunakan "~~[[~~ranah~~ (teori gelanggang)\|ranah]]~~" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif~~.		Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol\|bukan nol]] di mana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol.<ref>Bourbaki, p. 116.</ref><ref>Dummit dan Foote, hal. 228.</ref> Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)\|keterbagian]]. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika , persamaan mengartikan .

	Beberapa sumber, terutama [[Serge Lang\|Lang]], menggunakan istilah '''seluruh gelanggang''' untuk ranah integral.		"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki [[identitas perkalian]], umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian.<ref>B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.</ref><ref>I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.</ref> Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima.<ref>J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)</ref> Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "[[ranah (teori gelanggang)\|ranah]]" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.

			Beberapa sumber, terutama [[Serge Lang\|Lang]], menggunakan istilah '''seluruh gelanggang''' untuk ranah integral.<ref>Pages 91–92 of</ref>

	Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut [[subkelas (teori himpunan)\|inklusi kelas]]:		Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut [[subkelas (teori himpunan)\|inklusi kelas]]:


	== Definisi ==		== Definisi ==
Baris 18:		Baris 19:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	* Contoh pola dasar adalah gelanggang <math>\Z</math> dari semua [[bilangan bulat]].		* Contoh pola dasar adalah gelanggang <math>\Z</math> dari semua [[bilangan bulat]].
	* Setiap [[medan (matematika)\|medan]] adalah ranah integral. Misalnya, medan <math>\R</math> dari semua [[bilangan riil]] adalah ranah integral. Sebaliknya, setiap ranah integral [[gelanggang Artinian\|Artinian]] adalah medan. Secara khusus, semua ranah integral hingga adalah [[medan hingga]] (lebih umum, oleh [[teorema kecil Wedderburn]], [[ranah (teori gelanggang)\|ranah]] hingga adalah [[Medan hingga]]). Gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> diberikan contoh ranah integral tak hingga non-Artinian yang bukan medan, memiliki urutan ranah yang menurun tak hingga, sebagai:		* Setiap [[medan (matematika)\|medan]] adalah ranah integral. Misalnya, medan <math>\R</math> dari semua [[bilangan riil]] adalah ranah integral. Sebaliknya, setiap ranah integral [[gelanggang Artinian\|Artinian]] adalah medan. Secara khusus, semua ranah integral hingga adalah [[medan hingga]] (lebih umum, oleh [[teorema kecil Wedderburn]], [[ranah (teori gelanggang)\|ranah]] hingga adalah [[Medan hingga]]). Gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> diberikan contoh ranah integral tak hingga non-Artinian yang bukan medan, memiliki urutan ranah yang menurun tak hingga, sebagai:
Baris 29:		Baris 29:
	* Gelanggang [[bilangan p-adik\|bilangan bulat p-adik]] <math>\Z_p</math> adalah ranah integral.		* Gelanggang [[bilangan p-adik\|bilangan bulat p-adik]] <math>\Z_p</math> adalah ranah integral.
	* Jika <math>U</math> adalah [[himpunan bagian terbuka]] yang [[keterhubungan\|terhubung]] dari [[bilangan kompleks\|bidang kompleks]] <math>\Complex</math>, maka gelanggang <math>\mathcal{H}(U)</math> terdiri dari semua [[fungsi holomorfik]] adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang [[fungsi analitik]] pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari [[lipatan]] analitik yang terhubung.		* Jika <math>U</math> adalah [[himpunan bagian terbuka]] yang [[keterhubungan\|terhubung]] dari [[bilangan kompleks\|bidang kompleks]] <math>\Complex</math>, maka gelanggang <math>\mathcal{H}(U)</math> terdiri dari semua [[fungsi holomorfik]] adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang [[fungsi analitik]] pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari [[lipatan]] analitik yang terhubung.
	* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik\|RFU]].		* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik\|RFU]].<ref>Maurice Auslander. ''Unique factorization in regular local rings''. ''Proc. Natl. Acad. Sci. USA''. 1959. Vol. 45 (5). hlm. 733–734. doi:10.1073/pnas.45.5.733.</ref><ref>Masayoshi Nagata. [https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1958-04_80_2/page/382 A general theory of algebraic geometry over Dedekind domains. II]. ''Amer. J. Math''. The Johns Hopkins University Press. 1958. Vol. 80 (2). hlm. 382–420. doi:10.2307/2372791.</ref>

	== Bukan contoh ==		== Bukan contoh ==
Baris 47:		Baris 47:

	== Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi ==		== Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi ==

	Di bagian ini, ''R'' adalah ranah integral.		Di bagian ini, ''R'' adalah ranah integral.

Baris 54:		Baris 53:
	''[[Unit (teori gelanggang)\|Unit]]'' dari ''R'' adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di ''R''. Unit membagi semua elemen lainnya.		''[[Unit (teori gelanggang)\|Unit]]'' dari ''R'' adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di ''R''. Unit membagi semua elemen lainnya.

	Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''. Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)\|unit]] ''u''.		Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''.<ref>John R. Durbin. [https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3 Modern Algebra: An Introduction]. John Wiley and Sons. 1993. hlm. [https://archive.org/details/modernalgebraint0000durb_t6d3/page/224 224]. ISBN 0-471-51001-7.</ref> Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)\|unit]] ''u''.

	''[[Elemen tak tereduksi]]'' adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.		''[[Elemen tak tereduksi]]'' adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.
Baris 74:		Baris 73:
	* Ranah integral sama dengan perpotongan [[lokalisasi gelanggang\|lokalisasi]] pada ideal maksimalnya.		* Ranah integral sama dengan perpotongan [[lokalisasi gelanggang\|lokalisasi]] pada ideal maksimalnya.
	* [[Limit induktif]] dari ranah integral merupakan ranah integral.		* [[Limit induktif]] dari ranah integral merupakan ranah integral.
	* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]], dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.		* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]],<ref>Bukti: Pertama, asumsikan ''A'' yang dihasilkan secara halus sebagai aljabar-''k'' dan pilih basis- k dengan g_i dari B . Seharusnya \sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0 (hanya f_i, h_j yang bukan nol). Untuk setiap ideal maksimal \mathfrak{m} dari A , pertimbangkan homomorfisme gelanggang A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B . Maka citranya adalah \sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan dengan demikian \sum \overline{f_i} g_i = 0 atau \sum \overline{h_i} g_i = 0 dan, dengan kebebasan linear, \overline{f_i} = 0 untuk semua i atau \overline{h_i} = 0 untuk semua i . Karena \mathfrak{m} adalah arbitrari, maka (\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = persimpangan dari semua ideal maksimal = (0) dimana persamaan terakhir adalah oleh Nullstellensatz. Karena (0) adalah ideal utama, ini berarti \sum f_iA atau \sum h_iA adalah ideal nol; yaitu, baik f_i semuanya nol atau h_i semuanya nol. Terakhir, A adalah batas induktif dari ''k'' yang dihasilkan secara hingga aljabar yang merupakan ranah integral dan karenanya, menggunakan sifat sebelumnya, A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B adalah ranah integral. \square</ref> dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.

	== Medan pecahan ==		== Medan pecahan ==


	[[Medan pecahan]] ''K'' dari ranah integral ''R'' adalah himpunan pecahan ''a''/''b'' dengan ''a'' dan ''b'' dalam ''R'' dan ''b'' ≠ 0 modulo relasi ekuivalen yang sesuai, dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Ini adalah "bidang terkecil yang mengandung ''R''" dalam arti bahwa terdapat homomorfisme gelanggang injeksi sedemikian rupa, maka setiap homomorfisme gelanggang injeksi dari ''R'' ke faktor medan melalui ''K''. Medan pecahan gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> adalah medan [[bilangan rasional]] <math>\Q.</math> Medan pecahan suatu bidang adalah [[isomorfisme\|isomorfik]] ke medan itu sendiri.		[[Medan pecahan]] ''K'' dari ranah integral ''R'' adalah himpunan pecahan ''a''/''b'' dengan ''a'' dan ''b'' dalam ''R'' dan ''b'' ≠ 0 modulo relasi ekuivalen yang sesuai, dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Ini adalah "bidang terkecil yang mengandung ''R''" dalam arti bahwa terdapat homomorfisme gelanggang injeksi sedemikian rupa, maka setiap homomorfisme gelanggang injeksi dari ''R'' ke faktor medan melalui ''K''. Medan pecahan gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> adalah medan [[bilangan rasional]] <math>\Q.</math> Medan pecahan suatu bidang adalah [[isomorfisme\|isomorfik]] ke medan itu sendiri.

	== Karakteristik dan homomorfisme ==		== Karakteristik dan homomorfisme ==

	[[Karakteristik (aljabar)\|Karakteristik]] dari ranah integral adalah 0 atau [[bilangan prima]].		[[Karakteristik (aljabar)\|Karakteristik]] dari ranah integral adalah 0 atau [[bilangan prima]].

Baris 88:		Baris 84:

	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==

	* [[Norma Dedekind–Hasse]] - struktur tambahan yang diperlukan untuk ranah integral menjadi prinsipal		* [[Norma Dedekind–Hasse]] - struktur tambahan yang diperlukan untuk ranah integral menjadi prinsipal
	* [[Sifat produk nol]]		* [[Sifat produk nol]]

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	*
	* B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ranah+integral&oldid=29579139 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29579139 (2026-08-14T23:18:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ranah+integral&oldid=29579139 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29579139 (2026~~-08-~~14T23:18:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29579139; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:36:16Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29579139; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], khususnya [[aljabar abstrak]], sebuah '''ranah integral''' atau '''domain integral''' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] di mana produk dari dua elemen bukan nol yang merupakan bukan nol. Ranah integral adalah generalisasi dari [[gelanggang bilangan bulat]] dan pengaturan untuk mempelajari [[Keterbagian (teori gelanggang)|keterbagian]]. Dalam ranah integral, setiap elemen bukan nol ''a'' memiliki [[sifat pembatalan]], yaitu jika , persamaan mengartikan .

"Ranah integral" didefinisikan hampir secara universal sebagai contoh di atas, tetapi terdapat beberapa variasi. Artikel ini menggunakan konvensi bahwa gelanggang memiliki [[identitas perkalian]], umumnya dilambangkan dengan 1, tetapi beberapa penulis tidak menggunakan ini, dengan tidak mewajibkan ranah integral untuk memiliki identitas perkalian. Ranah integral nonkomutatif terkadang diterima. Artikel ini, menggunakan konvensi yang jauh lebih umum tentang penggunaan istilah "ranah integral" untuk kasus komutatif dan menggunakan "[[ranah (teori gelanggang)|ranah]]" untuk kasus umum termasuk gelanggang nonkomutatif.

Beberapa sumber, terutama [[Serge Lang|Lang]], menggunakan istilah '''seluruh gelanggang''' untuk ranah integral.

Beberapa jenis domain integral tertentu diberikan dengan rantai berikut [[subkelas (teori himpunan)|inklusi kelas]]:

== Definisi ==
''Ranah integral'' adalah [[gelanggang komutatif]] [[gelanggang nol|bukan nol]] di mana produk dari dua elemen bukan nol adalah bukan nol. Ekuivalen:
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol tanpa nol [[pembagi nol]].
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif di mana [[nol ranah]] {0} adalah [[ranah prima]].
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol untuk setiap elemen bukan nol [[sifat pembatalan|pembatalan]]nya dalam perkalian.
* Ranah integral adalah sebuah gelanggang untuk himpunan elemen bukan nol yang merupakan komutatif [[monoid]] dalam perkalian (karena sebuah monoid [[penutupan (matematika)|tertutup]] di bawah perkalian).
* Ranah integral adalah gelanggang komutatif bukan nol di mana setiap elemen bukan nol ''r'', fungsi yang memetakan setiap elemen ''x'' dari gelanggang ke produk ''xr'' adalah [[injeksi]]. Elemen ''r'' dengan sifat ini disebut ''regular'', jadi ekuivalen dengan mensyaratkan setiap elemen bukan nol dari gelanggang menjadi reguler.
* Ranah integral adalah sebuah gelanggang yang [[isomorfik]] ke [[subgelanggang]] dari [[medan (matematika)|medan]]. Diberikan domain integral, untuk menyematkan dalam [[medan pecahan]].

== Contoh ==

* Contoh pola dasar adalah gelanggang <math>\Z</math> dari semua [[bilangan bulat]].
* Setiap [[medan (matematika)|medan]] adalah ranah integral. Misalnya, medan <math>\R</math> dari semua [[bilangan riil]] adalah ranah integral. Sebaliknya, setiap ranah integral [[gelanggang Artinian|Artinian]] adalah medan. Secara khusus, semua ranah integral hingga adalah [[medan hingga]] (lebih umum, oleh [[teorema kecil Wedderburn]], [[ranah (teori gelanggang)|ranah]] hingga adalah [[Medan hingga]]). Gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> diberikan contoh ranah integral tak hingga non-Artinian yang bukan medan, memiliki urutan ranah yang menurun tak hingga, sebagai:

::<math>\Z \supset 2\Z \supset \cdots \supset 2^n\Z \supset 2^{n+1}\Z \supset \cdots</math>

* Gelanggang [[polinomial]] adalah ranah integral, jika koefisien berasal dari ranah integral. Misalnya, gelanggang <math>\Z[x]</math> dari semua polinomial dalam satu variabel dengan koefisien bilangan bulat adalah ranah integral; begitu pula dengan gelanggang <math>\Complex[x_1,\ldots,x_n]</math> dari semua polinomial dalam variabel-''n'' dengan koefisien [[Bilangan kompleks|kompleks]].
* Contoh sebelumnya dapat dieksploitasi lebih lanjut dengan mengambil hasil bagi dari ideal utama. Misalnya, gelanggang <math>\Complex[x,y]/(y^2 - x(x-1)(x-2))</math> dengan medan [[kurva elips]] adalah domain integral. Integralitas dapat ditunjukkan dengan <math>y^2 - x(x-1)(x-2)</math> yang merupakan [[polinomial tak tersederhanakan]].
* Gelanggang <math>\Z[x]/(x^2 - n) \cong \Z[\sqrt{n}]</math> adalah ranah integral untuk bilangan bulat yang bukan kuadrat <math>n</math>. Jika <math>n > 0</math> maka gelanggang ini merupakan subgelanggang dari <math>\R</math>, jika tidak, ini adalah subgelanggang dari <math>\Complex.</math>
* Gelanggang [[bilangan p-adik|bilangan bulat p-adik]] <math>\Z_p</math> adalah ranah integral.
* Jika <math>U</math> adalah [[himpunan bagian terbuka]] yang [[keterhubungan|terhubung]] dari [[bilangan kompleks|bidang kompleks]] <math>\Complex</math>, maka gelanggang <math>\mathcal{H}(U)</math> terdiri dari semua [[fungsi holomorfik]] adalah ranah integral. Hal yang sama berlaku untuk gelanggang [[fungsi analitik]] pada himpunan bagian terbuka yang terhubung dari [[lipatan]] analitik yang terhubung.
* [[Gelanggang lokal reguler]] adalah ranah integral. Faktanya, gelanggang lokal biasa adalah [[ranah faktorisasi unik|RFU]].

== Bukan contoh ==
Gelanggang berikut adalah ranah integral ''bukan'' contoh.

* [[Gelanggang nol]] yang merupakan <math>0=1</math>.
* [[Gelanggang hasil bagi]] <math>\Z/m\Z</math> ketika ''m'' adalah [[bilangan komposit]]. Memilih faktorisasi <math>m = xy</math>: artinya <math>x</math> dan <math>y</math> tidak sama dengan <math>1</math> or <math>m</math>. Maka <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> dan <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, melainkan <math>xy \equiv 0 \bmod{m}</math>.
* [[gelanggang produk|Produk]] adalah dua gelanggang komutatif bukan nol. Dalam produk <math>R \times S</math>, memiliki <math>(1,0) \cdot (0,1) = (0,0)</math>.
* [[Gelanggang hasil bagi]] <math>\Z[x]/(x^2 - n^2)</math> untuk <math>n \in \mathbb{Z}</math>. Citra dari <math>x+n</math> dan <math>x-n</math> adalah bukan nol, sedangkan produknya adalah 0 di gelanggang ini.
* [[gelanggang matriks|Gelanggang]] dari [[Matriks (matematika)|matriks]] ''n'' × ''n'' untuk setiap [[gelanggang nol|gelanggang bukan nol]] ''n'' ≥ 2. Jika <math>M</math> dan <math>N</math> adalah matriks sedemikian rupa sehingga citra <math>N</math> dimuat dalam kernel <math>M</math>, maka <math>MN = 0</math>. Misalnya, untuk <math>M = N = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix})</math>.
* Gelanggang hasil bagi <math>k[x_1,\ldots,x_n]/(fg)</math> untuk setiap medan <math>k</math> dan semua polinomial tidak konstan <math>f,g \in k[x_1,\ldots,x_n]</math>. Citra dari dan dalam gelanggang hasil bagi ini adalah elemen bukan nol yang hasil kalinya 0. Argumen ini menunjukkan, secara ekuivalen, bahwa <math>(fg)</math> bukanlah [[prima ideal]]. Interpretasi geometris dari hasil ini adalah bahwa [[nol fungsi|nol]] dari bentuk [[himpunan aljabar affin]] yang tidak direduksi (yaitu, bukan [[variasi aljabar]]) secara umum. Satu-satunya kasus di mana himpunan aljabar ini mungkin tidak direduksi adalah ketika adalah pangkat dari [[polinomial tak tereduksi]], yang mendefinisikan himpunan aljabar yang sama.
* Gelanggang [[fungsi kontinu]] pada [[interval unit]]. Pertimbangkan fungsi
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math>
:Baik <math>f</math> maupun <math>g</math> terdapat dimana-mana adalah nol, tetapi <math>fg</math> ada.

* [[Produk tensor aljabar|Produk tensor]] <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math>. Gelanggang ini memiliki dua non-trivial [[idempoten (teori gelanggang)|idempoten]], <math>e_1 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) - \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> and <math>e_2 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) + \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math>. Salah satu dari semua adalah ortogonal, artinya <math>e_1e_2 = 0</math>, dan karenanya <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math> bukan ranah. Faktanya, terdapat isomorfisme <math>\Complex \times \Complex \to \Complex \otimes_{\R} \Complex</math> didefinisikan oleh <math>(z, w) \mapsto z \cdot e_1 + w \cdot e_2</math>. Kebalikannya yang ditentukan oleh <math>z \otimes w \mapsto (zw, z\overline{w})</math>. Contoh ini menunjukkan bahwa [[produk serat skema|produk serat]] dari skema affin yang tidak direduksi tidak perlu tereduksi.

== Keterbagian, elemen utama, dan elemen yang tidak direduksi ==

Di bagian ini, ''R'' adalah ranah integral.

Diberikan elemen ''a'' dan ''b'' dari ''R'', bahwa ''a'' ''dibagi'' ''b'', atau bahwa ''a'' adalah ''[[Keterbagian (teori gelanggang)|pembagi]]'' dari ''b'', atau ''b'' adalah ''kelipatan'' dari ''a'', jika elemen ''x'' dalam ''R'' sedemikian rupa sehingga .

''[[Unit (teori gelanggang)|Unit]]'' dari ''R'' adalah elemen yang membagi 1; tepatnya elemen invers di ''R''. Unit membagi semua elemen lainnya.

Jika ''a'' membagi ''b'' dan ''b'' membagi ''a'', maka ''a'' dan ''b'' adalah '''elemen asosiasi''' atau '''asosiasi'''. Secara ekuivalen, ''a'' dan ''b'' adalah asosiatif jika untuk beberapa [[unit (teori gelanggang)|unit]] ''u''.

''[[Elemen tak tereduksi]]'' adalah bukan nol yang tidak dapat dituliskan sebagai produk dari dua bukan satuan.

Bukan nol bukan unit ''p'' adalah ''[[elemen prima]]'', jika setiap ''p'' membagi produk ''ab'', maka ''p'' membagi ''a'' atau ''p'' membagi ''b''. Secara ekuivalen, elemen ''p'' adalah bilangan prima jika dan hanya jika [[ideal utama]] (''p'') adalah ideal prima bukan nol.

Kedua gagasan tentang elemen tak tersederhanakan dan elemen prima menggeneralisasi definisi biasa dari [[bilangan prima]] di gelanggang <math>\Z,</math> jika kita menganggap bilangan prima negatif sebagai prima.

Setiap elemen utama tidak direduksi. Kebalikannya tidak benar secara umum: misalnya, dalam gelanggang [[bilangan bulat kuadrat]] <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math> elemen 3 tidak direduksi (jika difaktorkan secara nontrivial, faktor tersebut harus memiliki norma 3, tetapi tidak ada elemen norma 3 karena <math>a^2+5b^2=3</math> tidak memiliki solusi bilangan bulat), tetapi tidak prima (karena 3 membagi <math>\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)</math> tanpa membagi salah satu faktor). Dalam domain faktorisasi unik (atau lebih umum, [[ranah GCD]]), elemen yang tidak direduksi adalah elemen prima.

Sementara [[Teorema dasar aritmetika|faktorisasi unik]] tidak berlaku <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math>, terdapat faktorisasi unik dari [[Ideal (teori gelanggang)|ideal]]. Lihat [[teorema Lasker–Noether]].

== Sifat ==
* Gelanggang komutatif ''R'' adalah domain integral [[jika dan hanya jika]] ideal (0) dari ''R'' adalah ideal prima.
* Jika ''R'' adalah gelanggang komutatif dan ''P'' adalah [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] dalam ''R'', maka [[gelanggang hasil bagi]] ''R/P'' adalah ranah integral jika dan hanya jika ''P'' adalah [[prima ideal]].
* Misalkan ''R'' sebagai ranah integral. Maka [[gelanggang polinomial]] di atas ''R'' (dalam jumlah tak tentu) adalah ranah integral. Ini khususnya terjadi jika ''R'' adalah [[medan (matematika)|medan]].
* Sifat pembatalan berlaku dalam setiap ranah integral: untuk setiap ''a'', ''b'', dan ''c'' dalam ranah integral, jika ''a'' ≠ ''0'' dan ''ab'' = ''ac'' maka ''b'' = ''c''. Cara lain untuk menyatakan ini adalah fungsi ''x'' ''ax'' adalah injektif untuk sembarang ''a'' bukan nol dalam ranah.
* Sifat pembatalan berlaku untuk ideal dalam ranah integral: jika ''xI'' = ''xJ'', maka salah satu ''x'' adalah nol atau ''I'' = ''J''.
* Ranah integral sama dengan perpotongan [[lokalisasi gelanggang|lokalisasi]] pada ideal maksimalnya.
* [[Limit induktif]] dari ranah integral merupakan ranah integral.
* Jika <math>A, B</math> adalah ranah integral di atas medan tertutup aljabar ''k'', maka <math>A \otimes_k B</math> adalah ranah integral. Ini adalah konsekuensi dari [[nullstellensatz Hilbert]], dan, dalam [[geometri aljabar]], ini menyiratkan pernyataan bahwa gelanggang koordinat dari hasil kali dua varietas aljabar affin di atas medan tertutup secara aljabar merupakan ranah integral.

== Medan pecahan ==

[[Medan pecahan]] ''K'' dari ranah integral ''R'' adalah himpunan pecahan ''a''/''b'' dengan ''a'' dan ''b'' dalam ''R'' dan ''b'' ≠ 0 modulo relasi ekuivalen yang sesuai, dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa. Ini adalah "bidang terkecil yang mengandung ''R''" dalam arti bahwa terdapat homomorfisme gelanggang injeksi sedemikian rupa, maka setiap homomorfisme gelanggang injeksi dari ''R'' ke faktor medan melalui ''K''. Medan pecahan gelanggang bilangan bulat <math>\Z</math> adalah medan [[bilangan rasional]] <math>\Q.</math> Medan pecahan suatu bidang adalah [[isomorfisme|isomorfik]] ke medan itu sendiri.

== Karakteristik dan homomorfisme ==

[[Karakteristik (aljabar)|Karakteristik]] dari ranah integral adalah 0 atau [[bilangan prima]].

Jika ''R'' adalah ranah integral dari karakteristik prima ''p'', maka [[endomorfisme Frobenius]] ''f''(''x'') = ''x''<sup>''p''</sup> adalah [[injektif]].

== Lihat pula ==

* [[Norma Dedekind–Hasse]] - struktur tambahan yang diperlukan untuk ranah integral menjadi prinsipal
* [[Sifat produk nol]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ranah+integral&oldid=29579139 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29579139 (2026-08-14T23:18:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.