Rank (aljabar linear) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T18:10:38Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 18.10
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[aljabar linear]], '''peringkat''' atau '''rank''' dari suatu [[Matriks (matematika)\|matriks]] <math>\mathbf{A}</math> adalah [[dimensi]] dari [[ruang vektor]] yang [[Span (aljabar linear)\|dibangun]] oleh kolom-kolom matriks tersebut. Hal ini berhubungan dengan banyak maksimal jumlah kolom matriks <math>\mathbf{A}</math> yang saling [[Kebebasan linear\|bebas linear]]. Terdapat beberapa definisi alternatif untuk peringkat. Peringkat adalah salah satu karakteristik hakiki dari suatu matriks.		Dalam [[aljabar linear]], '''peringkat''' atau '''rank''' dari suatu [[Matriks (matematika)\|matriks]] <math>\mathbf{A}</math> adalah [[dimensi]] dari [[ruang vektor]] yang [[Span (aljabar linear)\|dibangun]] oleh kolom-kolom matriks tersebut.<ref>pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119</ref><ref>p. 48, § 1.16</ref><ref>Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359</ref> Hal ini berhubungan dengan banyak maksimal jumlah kolom matriks <math>\mathbf{A}</math> yang saling [[Kebebasan linear\|bebas linear]]. Terdapat beberapa definisi alternatif untuk peringkat. Peringkat adalah salah satu karakteristik hakiki dari suatu matriks.

	Peringkat umumnya dinyatakan sebagai <math>\text{rank}(\mathbf A)</math> atau <math>\text{rk}(\mathbf A)</math>; terkadang tanda kurung tidak digunakan, seperti pada notasi <math>\text{rank}\, \mathbf A</math>.		Peringkat umumnya dinyatakan sebagai <math>\text{rank}(\mathbf A)</math> atau <math>\text{rk}(\mathbf A)</math>;<ref>p. 48, § 1.16</ref> terkadang tanda kurung tidak digunakan, seperti pada notasi <math>\text{rank}\, \mathbf A</math>.<ref>Notasi alternatif peringkat adalah \rho (\Phi) berdasarkan dan .</ref>

	== Definisi ==		== Definisi ==
Baris 8:		Baris 8:
	''Peringkat kolom'' (''column rank'') dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah [[dimensi]] dari [[Ruang baris dan ruang kolom\|ruang kolom]] matriks tersebut, sedangkan ''peringkat baris'' (''row rank'') dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah dimensi dari [[Ruang baris dan ruang kolom\|ruang baris]] matriks tersebut. Teorema fundamental dalam aljabar linear menyatakan besar peringkat kolom dan besar peringkat baris selalu sama; dua bukti untuk teorema ini diberikan pada bagian dibawah. Besar peringkat ini, baik peringkat kolom maupun peringkat baris, selanjutnya cukup disebut dengan ''peringkat'' dari <math>\mathbf A</math>. Sebuah matriks berukuran <math>m\times n</math> dikatakan memiliki ''peringkat penuh'' (''full rank'') bila besar peringkatnya sama dengan peringkat terbesar yang mungkin dari sembarang matriks berukuran <math>m\times n</math>; yakni sama dengan <math>\min(m,\, n)</math>.		''Peringkat kolom'' (''column rank'') dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah [[dimensi]] dari [[Ruang baris dan ruang kolom\|ruang kolom]] matriks tersebut, sedangkan ''peringkat baris'' (''row rank'') dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah dimensi dari [[Ruang baris dan ruang kolom\|ruang baris]] matriks tersebut. Teorema fundamental dalam aljabar linear menyatakan besar peringkat kolom dan besar peringkat baris selalu sama; dua bukti untuk teorema ini diberikan pada bagian dibawah. Besar peringkat ini, baik peringkat kolom maupun peringkat baris, selanjutnya cukup disebut dengan ''peringkat'' dari <math>\mathbf A</math>. Sebuah matriks berukuran <math>m\times n</math> dikatakan memiliki ''peringkat penuh'' (''full rank'') bila besar peringkatnya sama dengan peringkat terbesar yang mungkin dari sembarang matriks berukuran <math>m\times n</math>; yakni sama dengan <math>\min(m,\, n)</math>.

	''Peringkat'' dari sebuah [[peta linear]] atau sebuah operator <math>\Phi</math>, didefinisikan sebagai dimensi dari [[Citra (matematika)\|citranya]]:<math display="block">\operatorname{rank} (\Phi) := \dim (\operatorname{img} (\Phi))</math>dengan <math>\dim</math> menyatakan dimensi dari sebuah ruang vektor, dan <math>\operatorname{img}</math> adalah citra (''image'') dari sebuah pemetaan.		''Peringkat'' dari sebuah [[peta linear]] atau sebuah operator <math>\Phi</math>, didefinisikan sebagai dimensi dari [[Citra (matematika)\|citranya]]:<ref>p. 200, ch. 3, Definition 2.1</ref><ref>p. 52, § 2.5.1</ref><ref>p. 71, § 4.3</ref><ref>p. 90, § 50</ref><math display="block">\operatorname{rank} (\Phi) := \dim (\operatorname{img} (\Phi))</math>dengan <math>\dim</math> menyatakan dimensi dari sebuah ruang vektor, dan <math>\operatorname{img}</math> adalah citra (''image'') dari sebuah pemetaan.

	== Contoh ==		== Contoh ==
Baris 18:		Baris 18:

	== Menghitung peringkat dari sebuah matriks ==		== Menghitung peringkat dari sebuah matriks ==

	=== Peringkat dari bentuk eselon baris ===		=== Peringkat dari bentuk eselon baris ===

	Salah satu cara yang umum untuk menentukan peringkat adalah mengubah matriks menjadi bentuk yang lebih sederhana; umumnya bentuk eselon baris, dengan menggunakan [[Matriks dasar#Operasi baris elementer\|operasi baris elementer]]. Operasi-operasi baris tidak mengubah ruang baris (sehingga tidak mengubah peringkat baris) dan bersifat [[Matriks terbalikkan\|invertibel]] (sehingga tidak mengubah peringkat kolom karena memetakan ruang kolom ke ruang lain yang isomorfik). Setelah matriks dalam bentuk eselon baris, besar peringkatnya sama dengan banyaknya baris tak-nol.		Salah satu cara yang umum untuk menentukan peringkat adalah mengubah matriks menjadi bentuk yang lebih sederhana; umumnya bentuk eselon baris, dengan menggunakan [[Matriks dasar#Operasi baris elementer\|operasi baris elementer]]. Operasi-operasi baris tidak mengubah ruang baris (sehingga tidak mengubah peringkat baris) dan bersifat [[Matriks terbalikkan\|invertibel]] (sehingga tidak mengubah peringkat kolom karena memetakan ruang kolom ke ruang lain yang isomorfik). Setelah matriks dalam bentuk eselon baris, besar peringkatnya sama dengan banyaknya baris tak-nol.

Baris 45:		Baris 43:

	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~


	== Daftar pustaka ==		== Daftar pustaka ==
			*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*		*
	*

	== Bacaan lebih lanjut ==		== Bacaan lebih lanjut ==
			*
	*
	* Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_vectors.pdf] and System of Equations [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_system.pdf]		* Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_vectors.pdf] and System of Equations [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_system.pdf]
	* Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#rank]		* Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#rank]

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank+%28aljabar+linear%29&oldid=29459158 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29459158 (2026-07-14T20:15:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank+%28aljabar+linear%29&oldid=29459158 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29459158 (2026-07-14T20:15:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29459158; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T17:52:03Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29459158; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar linear]], '''peringkat''' atau '''rank''' dari suatu [[Matriks (matematika)|matriks]] <math>\mathbf{A}</math> adalah [[dimensi]] dari [[ruang vektor]] yang [[Span (aljabar linear)|dibangun]] oleh kolom-kolom matriks tersebut. Hal ini berhubungan dengan banyak maksimal jumlah kolom matriks <math>\mathbf{A}</math> yang saling [[Kebebasan linear|bebas linear]]. Terdapat beberapa definisi alternatif untuk peringkat. Peringkat adalah salah satu karakteristik hakiki dari suatu matriks.

Peringkat umumnya dinyatakan sebagai <math>\text{rank}(\mathbf A)</math> atau <math>\text{rk}(\mathbf A)</math>; terkadang tanda kurung tidak digunakan, seperti pada notasi <math>\text{rank}\, \mathbf A</math>.

== Definisi ==
Berikut adalah salah satu dari banyak definisi altenatif peringkat dari suatu matriks; lihat bagian "Definisi alternatif" untuk beberapa contoh lainnya/

''Peringkat kolom'' (''column rank'') dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah [[dimensi]] dari [[Ruang baris dan ruang kolom|ruang kolom]] matriks tersebut, sedangkan ''peringkat baris'' (''row rank'') dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah dimensi dari [[Ruang baris dan ruang kolom|ruang baris]] matriks tersebut. Teorema fundamental dalam aljabar linear menyatakan besar peringkat kolom dan besar peringkat baris selalu sama; dua bukti untuk teorema ini diberikan pada bagian dibawah. Besar peringkat ini, baik peringkat kolom maupun peringkat baris, selanjutnya cukup disebut dengan ''peringkat'' dari <math>\mathbf A</math>. Sebuah matriks berukuran <math>m\times n</math> dikatakan memiliki ''peringkat penuh'' (''full rank'') bila besar peringkatnya sama dengan peringkat terbesar yang mungkin dari sembarang matriks berukuran <math>m\times n</math>; yakni sama dengan <math>\min(m,\, n)</math>.

''Peringkat'' dari sebuah [[peta linear]] atau sebuah operator <math>\Phi</math>, didefinisikan sebagai dimensi dari [[Citra (matematika)|citranya]]:<math display="block">\operatorname{rank} (\Phi) := \dim (\operatorname{img} (\Phi))</math>dengan <math>\dim</math> menyatakan dimensi dari sebuah ruang vektor, dan <math>\operatorname{img}</math> adalah citra (''image'') dari sebuah pemetaan.

== Contoh ==
Matriks<math display="block">\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}</math>memiliki besar peringkat 2. Hal ini didapatkan dengan mengamati bahwa dua kolom pertama matriks tersebut saling [[Kebebasan linear|bebas linear]], sehingga besar peringkat dari matriks setidaknya sama dengan 2. Tapi karena kolom ketiga adalah [[kombinasi linear]] dari dua kolom pertama (yakni kolom kedua dikurang kolom pertama), maka ketiga kolom (dan sebagai akibatnya, matriks) saling bergantung linear, sehingga peringkat dari matriks harus kurang dari 3.

Contoh lain adalah matriks<math display="block">\mathbf A=\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}</math>yang memiliki peringkat 1. Dalam kasus ini, matriks memiliki kolom yang tak-nol, sehingga besar peringkat lebih besar dari nol. Tapi setiap pasangan kolom-kolom saling bergantung linear, mengakibatkan peringkat matriks <math>\mathbf A</math> haruslah kurang dari 2. Serupa dengan itu, [[transpos]] matriks ini,

<math display="block">A^{\mathsf T} = \begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}</math>juga memiliki peringkat 1. Karena vektor-vektor kolom dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah vektor-vektor baris dari matriks <math>\mathbf A^{\mathsf{T}}</math>, pernyataan peringkat kolom dari sebuah matriks sama dengan peringkat baris matriks tersebut, akan sama dengan pernyataan peringkat sebuah matriks sama dengan peringkat dari transpos matriks itu; dengan kata lain, <math>\text{rank}(\mathbf A) = \text{rank}(\mathbf A^{\textsf{T}})</math>.

== Menghitung peringkat dari sebuah matriks ==

=== Peringkat dari bentuk eselon baris ===

Salah satu cara yang umum untuk menentukan peringkat adalah mengubah matriks menjadi bentuk yang lebih sederhana; umumnya bentuk eselon baris, dengan menggunakan [[Matriks dasar#Operasi baris elementer|operasi baris elementer]]. Operasi-operasi baris tidak mengubah ruang baris (sehingga tidak mengubah peringkat baris) dan bersifat [[Matriks terbalikkan|invertibel]] (sehingga tidak mengubah peringkat kolom karena memetakan ruang kolom ke ruang lain yang isomorfik). Setelah matriks dalam bentuk eselon baris, besar peringkatnya sama dengan banyaknya baris tak-nol.

Sebagai contoh, matriks <math>\mathbf A</math> yang didefinisikan sebagai<math display="block">\mathbf A=\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}</math>dapat disusun menjadi bentuk eselon baris [tereduksi] dengan menerapkan operasi-operasi baris berikut:<math display="block">\begin{align}
\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}
&\xrightarrow{2R_1 + R_2 \to R_2}
\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}
\xrightarrow{-3R_1 + R_3 \to R_3}
\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix} \\
&\xrightarrow{R_2 + R_3 \to R_3}
\,\,
\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}
\xrightarrow{-2R_2 + R_1 \to R_1}
\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}~.
\end{align}</math>Matriks terakhir yang dihasilkan memiliki dua baris tak-nol, sehingga peringkat dari matriks <math>\mathbf A</math> adalah 2.

=== Komputasi ===
Hasil perhitungan peringkat dengan [[eliminasi Gauss]] ([[dekomposisi LU]]) untuk komputasi ''[[floating point]]'' pada komputer umumnya tidak dapat andalkan. Dalam kasus ini, alternatif dekomposisi yang memberikan informasi mengenai peringkat matriks lebih banyak digunakan. Salah satu alternatif yang efektif adalah dengan menggunakan [[Penguraian nilai singular|dekomposisi nilai singular]] (''singular value decomposition,'' SVD). Alternatif lain yang tidak mahal (secara komputasi) adalah [[dekomposisi QR]] dengan pivot, yang masih jauh lebih baik secara numerik ketimbang eliminasi Gauss. Penentuan besar peringkat memerlukan kriteria kapan sebuah nilai, sebagai contoh nilai singular pada SVD, dapat dianggap sama dengan 0. Kriteria ini bergantung pada jenis matriks dan tujuan yang ingin dilakukan.

== Penerapan ==
Salah satu penerapan perhitungan peringkat sebuah matriks adalah untuk menentukan banyaknya solusi [[sistem persamaan linear]]. Berdasarkan [[teorema Rouché–Capelli]], sistem tidak konsisten jika peringkat dari matriks gabungan (''augmented matrix'') lebih besar dari peringkat matriks koefisien. Di sisi lain, jika peringkat kedua matriks tersebut sama, maka sistem setidaknya memiliki satu solusi. Solusi yang unik terjadi jika dan hanya jika besar peringkat sama dengan banyaknya variabel pada sistem. Selain kasus-kasus itu, sistem akan memiliki parameter bebas, dengan adalah selisih antara banyak variabel dan besar peringkat. Dalam kasus ini (dan mengasumsikan sistem persamaan ada atas bilangan real atau [[bilangan kompleks]]) sistem persamaan akan memiliki tak hingga banyaknya solusi.

Dalam [[teori kontrol]], peringkat dari matriks dapat digunakan untuk menentukan sebuah [[sistem linear]] dapat dikontrol, atau dapat diobservasi.

== Catatan ==

== Referensi ==

== Daftar pustaka ==

*
*
*
*
*
*

== Bacaan lebih lanjut ==

*
* Kaw, Autar K. Two Chapters from the book Introduction to Matrix Algebra: 1. Vectors [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_vectors.pdf] and System of Equations [http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/che/04sle/mws_che_sle_bck_system.pdf]
* Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#rank]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank+%28aljabar+linear%29&oldid=29459158 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29459158 (2026-07-14T20:15:55Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.