Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:01:54Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.01
Baris 89:		Baris 89:
	== Perumuman ==		== Perumuman ==
	Proses rasionalisasi dapat diperluas untuk semua [[bilangan aljabar]] dan [[fungsi aljabar]] (sebagai bentuk penerapan dari [[bentuk norma]]). Sebagai contoh, untuk merasionalkan [[akar pangkat tiga]], diperlukan dua faktor linear yang melibatkan [[akar satuan\|akar satuan ketiga]], atau secara ekuivalen, sebuah faktor kuadrat.		Proses rasionalisasi dapat diperluas untuk semua [[bilangan aljabar]] dan [[fungsi aljabar]] (sebagai bentuk penerapan dari [[bentuk norma]]). Sebagai contoh, untuk merasionalkan [[akar pangkat tiga]], diperlukan dua faktor linear yang melibatkan [[akar satuan\|akar satuan ketiga]], atau secara ekuivalen, sebuah faktor kuadrat.

	~~== Referensi ==~~
	~~Materi ini terdapat pada buku-buku aljabar klasik. Misalnya:~~
	* [[George Chrystal]], ''Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges'' is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189–199.



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rasionalisasi+%28matematika%29&oldid=26142047 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26142047 (2024-08-07T20:38:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rasionalisasi+%28matematika%29&oldid=26142047 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26142047 (2024-08-07T20:38:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26142047; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:28:12Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26142047; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[aljabar elementer]], '''merasionalkan akar''' adalah proses menghilangkan [[Akar bilangan]] pada bagian [[pecahan|penyebut]] dari suatu [[pecahan]].

Jika bagian penyebutnya merupakan [[monomial]] dalam bentuk akar, seperti <math>a \left( \sqrt[n]{x} \right)^k</math> (dengan <math>1 \leq k \leq n</math>), maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan <math>\left( \sqrt[n]{x} \right)^{n - k}</math>.
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{p}{a \left( \sqrt[n]{x} \right)^k} &= \dfrac{p}{a \left( \sqrt[n]{x} \right)^k} \cdot 1 \\
&= \dfrac{p}{a \left( \sqrt[n]{x} \right)^k} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[n]{x} \right)^{n - k}}{\left( \sqrt[n]{x} \right)^{n - k}} \\
&= \dfrac{p \left( \sqrt[n]{x} \right)^{n - k}}{\left( \sqrt[n]{x} \right)^{n}} \\
&= \dfrac{p \left( \sqrt[n]{x} \right)^{n - k}}{x}
\end{align}</math>
Jika <math>k \geq n</math>, maka menurut [[pembagian bersisa]], <math>k</math> dapat ditulis sebagai
<math display="block">k = nh + s</math>
sehingga diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{p}{a \left( \sqrt[n]{x} \right)^k} &= \dfrac{p}{a \left( \sqrt[n]{x} \right)^{nh + s}} \\
&= \dfrac{p}{a \left( \sqrt[n]{x} \right)^{nh} \left( \sqrt[n]{x} \right)^{s}} \\
&= \dfrac{p}{a x^h \left( \sqrt[n]{x} \right)^{s}}
\end{align}</math>
yang kemudian dapat dilanjutkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan <math>\left( \sqrt[n]{x} \right)^{n - s}</math>, serupa seperti sebelumnya.

Jika bagian penyebutnya [[fungsi linear|linear]] dalam akar kuadrat, katakanlah <math>a + b \sqrt{x}</math>, maka proses merasionalkan akar dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan akar sekawan <math>a - b \sqrt{x}</math>, dan menjabarkan hasil perkalian pada bagian penyebut.

Teknik ini dapat diperluas menjadi sembarang penyebut aljabar, dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan semua [[Elemen konjugat (teori lapangan)|konjugat aljabar]] dari bagian penyebut, dan menjabarkan penyebut yang baru dengan [[norma lapangan|norma]] dari penyebut yang lama. Akan tetapi, terkecuali pada kasus khusus, hasil pecahannya mungkin memiliki bagian pembilang dan penyebut yang cukup besar, sehingga teknik ini umumnya digunakan hanya untuk kasus-kasus dasar seperti di atas.

== Merasionalkan monomial akar kuadrat dan akar kubik ==
Cara dasar untuk merasionalkan akar adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan faktor yang sama.

=== Contoh 1 ===
Untuk merasionalkan [[Ekspresi (matematika)|ekspresi]] <math>\dfrac{15}{\sqrt{5}}</math>, maka dengan mengalikan <math>\sqrt{5}</math> pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{15}{\sqrt{5}} &= \dfrac{15}{\sqrt{5}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{15}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\
&= \dfrac{15 \sqrt{5}}{\left( \sqrt{5} \right)^2}
\end{align}</math>
Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat [[akar kuadrat]], sebab <math>\left( \sqrt{5} \right)^2 = 5</math>, berdasarkan definisi akar kuadrat:
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{15}{\sqrt{5}} &= \dfrac{15 \sqrt{5}}{\left( \sqrt{5} \right)^2} \\
&= \dfrac{15 \sqrt{5}}{5} \\
&= 3 \sqrt{5}
\end{align}</math>
yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.

=== Contoh 2 ===
Untuk merasionalkan ekspresi <math>\dfrac{23}{\sqrt[3]{a}}</math>, maka dengan mengalikan <math>\left( \sqrt[5]{a} \right)^2</math> pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{23}{\sqrt[3]{a}} &= \dfrac{23}{\sqrt[3]{a}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{23}{\sqrt[3]{a}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{a} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{a} \right)^2} \\
&= \dfrac{23 \left( \sqrt[3]{a} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{5} \right)^3}
\end{align}</math>
Perhatikan bahwa bagian penyebutnya tidak lagi memuat akar kubik, sebab akar kubiknya telah dipangkatkan tiga. Akibatnya,
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{23}{\sqrt[3]{a}} &= \dfrac{23 \left( \sqrt[3]{a} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{a} \right)^3} \\
&= \dfrac{23 \left( \sqrt[3]{a} \right)^2}{a}
\end{align}</math>
yang merupakan hasil dari rasionalisasi akar.

== Akar sekawan ==
Jika bagian penyebutnya adalah
<math display="block">\sqrt{3} \pm \sqrt{2}</math>
maka proses merasionalkan akarnya dapat dilakukan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan [[Elemen konjugat (teori lapangan)|akar sekawan]]:
<math display="block">\sqrt{3} \mp \sqrt{2}</math>
dan diikuti oleh identitas [[selisih dua bilangan kuadrat]] (yang dalam kasus ini, menghasilkan bilangan <math>1</math>). Cara ini berlaku secara umum, yaitu ekspresi akar dalam bentuk <math>x \pm \sqrt{y}</math> pada bagian penyebut dapat dihilangkan dengan mengalikan bagian pembilang dan penyebut dengan <math>x \mp \sqrt{y}</math>.

=== Contoh 3 ===
Untuk merasionalkan ekspresi <math>\dfrac{1}{\sqrt{10} \pm \sqrt{3}}</math>, maka dengan mengalikan <math>\sqrt{10} \mp \sqrt{3}</math> pada bagian pembilang dan penyebut, diperoleh
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}} &= \dfrac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}} \cdot 1 \\
&= \dfrac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{10} - \sqrt{3}}{\sqrt{10} - \sqrt{3}} \\
&= \dfrac{\sqrt{10} - \sqrt{3}}{\left( \sqrt{10} \right)^2 - \left( \sqrt{3} \right)^2}
\end{align}</math>
Dari sini, akar kuadrat pada bagian penyebut berhasil dihilangkan, yang menghasilkan ekspresi
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{3}} &= \dfrac{\sqrt{10} - \sqrt{3}}{\left( \sqrt{10} \right)^2 - \left( \sqrt{3} \right)^2} \\
&= \dfrac{\sqrt{10} - \sqrt{3}}{10 - 3} \\
&= \dfrac{\sqrt{10} - \sqrt{3}}{7}
\end{align}</math>

=== Contoh 4 ===
Proses ini juga berlaku untuk [[bilangan kompleks]]. Misalnya, pecahan
<math display="block">\dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{6} i}</math>
dapat dirasionalkan menjadi
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{6} i} &= \dfrac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{6} i} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{6} i}{\sqrt{5} + \sqrt{6} i} \\
&= \dfrac{2 \left( \sqrt{5} + \sqrt{6} i \right)}{\left( \sqrt{5} \right)^2 - \left( \sqrt{6} i \right)} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6} i}{\left( \sqrt{5} \right)^2 - \left( \sqrt{6} i \right)^2} \\
&= \dfrac{2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6} i}{25 - \left( -6 \right)} &\text{sebab } i^2 = -1 \\
&= \dfrac{2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{6} i}{31}
\end{align}</math>

== Perumuman ==
Proses rasionalisasi dapat diperluas untuk semua [[bilangan aljabar]] dan [[fungsi aljabar]] (sebagai bentuk penerapan dari [[bentuk norma]]). Sebagai contoh, untuk merasionalkan [[akar pangkat tiga]], diperlukan dua faktor linear yang melibatkan [[akar satuan|akar satuan ketiga]], atau secara ekuivalen, sebuah faktor kuadrat.

== Referensi ==
Materi ini terdapat pada buku-buku aljabar klasik. Misalnya:
* [[George Chrystal]], ''Introduction to Algebra: For the Use of Secondary Schools and Technical Colleges'' is a nineteenth-century text, first edition 1889, in print (); a trinomial example with square roots is on p. 256, while a general theory of rationalising factors for surds is on pp. 189–199.

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rasionalisasi+%28matematika%29&oldid=26142047 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26142047 (2024-08-07T20:38:02Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Rasionalisasi (matematika) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26142047; atribusi sumber disertakan.