Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:04:36Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.04
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:The_four_types_of_binary_relations.png\|thumb\|right\|280px\|The four types of binary relations]]

	'''Relasi biner''' dalam [[matematika]], singkatnya '''relasi''', adalah hubungan antara dua elemen [[Himpunan (matematika)\|himpunan .]] Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.		'''Relasi biner''' dalam [[matematika]], singkatnya '''relasi''', adalah hubungan antara dua elemen [[Himpunan (matematika)\|himpunan .]] Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.

Baris 20:		Baris 22:

	=== Relasi refleksif ===		=== Relasi refleksif ===

	Sebuah relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen ''A'' berhubungan dengan dirinya.		Sebuah relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen ''A'' berhubungan dengan dirinya.
	:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math>		:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math>
Baris 67:		Baris 68:
	== Relasi khusus ==		== Relasi khusus ==
	=== Relasi ekuivalensi ===		=== Relasi ekuivalensi ===

	Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalens jika relasi tersebut bersifat:		Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalens jika relasi tersebut bersifat:
	* Refleksif		* Refleksif
Baris 86:		Baris 86:
	* [[Kelas kesetaraan]]		* [[Kelas kesetaraan]]

			== Sumber dan atribusi ==

			Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Relasi+biner&oldid=28615458 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28615458 (2025-11-24T03:25:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~== Sumber dan atribusi ==~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Relasi+biner&oldid=28615458 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28615458 (2025~~-11-~~24T03:25:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28615458; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:32:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28615458; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Relasi biner''' dalam [[matematika]], singkatnya '''relasi''', adalah hubungan antara dua elemen [[Himpunan (matematika)|himpunan .]] Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkret maupun secara matematis.

== Definisi ==
Jika terdapat himpunan ''A'' dan himpunan ''B'' (''A'' bisa sama dengan ''B''), maka relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' adalah [[himpunan bagian]] dari ''A''×''B''.
:<math>R_{AB} \subseteq A \times B</math>

== Relasi dan fungsi proposisi ==
Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah [[fungsi proposisi]] atau [[kalimat terbuka]] yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.

Sebagai contoh, pandang himpunan ''B'' = { ''apel, jeruk, mangga, pisang'' } dengan himpunan ''W'' = { ''hijau, kuning, orange''}. Suatu relasi ''R'' dari ''A'' ke ''B'' didefinisikan sebagai ''R'' = {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''), (''mangga, hijau''), (''pisang, kuning'')}. Terdapat fungsi proposisi ''w''(''x, y'') = "''x'' berwarna ''y''", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(''apel, hijau''), (''jeruk, orange''), (''mangga, hijau''), (''pisang, kuning'')}, yang tidak lain adalah relasi ''R''.

== Relasi A×A ==
Sebuah relasi ''A''×''A'', yaitu relasi dari himpunan ''A'' kepada ''A'' sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:
* Refleksif
* Irefleksif
* Simetrik
* Anti-simetrik
* Transitif
Kita menyebut relasi ''R'' dari ''A'' kepada ''A'' sebagai relasi ''R'' dalam ''A''.

=== Relasi refleksif ===

Sebuah relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen ''A'' berhubungan dengan dirinya.
:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R </math>
atau
:<math>\forall_{a \in A}\quad a R a </math>
Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “''x'' selalu bersama ''y''.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

=== Relasi irefleksif ===
Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen ''A'' tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.
:<math>\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R </math>
atau
:<math>\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a) </math>
Contoh relasi irefleksif adalah relasi “''x'' mampu mencukur rambut ''y'' dengan rapi sempurna.”, dengan ''x'' dan ''y'' adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur ''a'' yang mampu mencukur rambutnya sendiri.

Contoh lain dalam himpunan [[bilangan bulat]] adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

=== Relasi simetrik ===
Relasi ''R'' dalam ''A'' disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota ''A'' berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika ''a'' terhubung dengan ''b'', maka ''b'' juga terhubung dengan ''a''. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R</math>
atau
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a</math>
Sebuah relasi “<math>x+y</math> genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang ''x'' dan ''y'' yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai ''y'' dan ''x'', relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

=== Relasi anti-simetrik ===
Jika setiap ''a'' dan ''b'' yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi ''a'' dan ''b'' berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)</math>
atau
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))</math>
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung [[negasi]], dan hanya mengandung satu implikasi.
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b</math>
atau
:<math>\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b</math>
Relasi <math>\leq</math> bersifat anti-simetrik, karena <math>5 \leq 6</math> mengakibatkan <math>\lnot (6 \leq 5)</math>. Demikian juga jika ada ''p'' dan ''q'' yang terhadap mereka berlaku <math>p \leq q</math> dan <math>q \leq p</math> berarti <math>p = q</math>.

=== Relasi transitif ===
Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika ''a'' berhubungan dengan ''b'', dan ''b'' berhubungan dengan ''c'', maka ''a'' berhubungan dengan ''c'' secara langsung.

:<math>(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R</math>

atau

:<math>\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}</math>

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

== Relasi khusus ==
=== Relasi ekuivalensi ===

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalens jika relasi tersebut bersifat:
* Refleksif
* Simetrik, dan
* Transitif
Relasi ekuivalens memiliki hubungan erat dengan [[partisi]], yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut [[kelas ekuivalens]] atau kelas kesetaraan.

=== Orde parsial ===
Orde parsial adalah relasi yang bersifat:
* Refleksif
* Anti-simetrik, dan
* Transitif

== Lihat pula ==
* [[Teori himpunan]]
* [[Himpunan]]
* [[Fungsi (matematika)|Fungsi]]
* [[Kelas kesetaraan]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Relasi+biner&oldid=28615458 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28615458 (2025-11-24T03:25:53Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Relasi biner - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28615458; atribusi sumber disertakan.