Relasi ekuivalensi - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:03:20Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.03
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Set_partitions_5;_matrices.svg\|thumb\|right\|280px\|Set partitions 5; matrices]]

	Dalam [[matematika]], '''relasi ekuivalensi''' adalah [[relasi biner]] yang bersifat [[relasi refleksif\|refleksif]], [[relasi simetris\|simetris]] dan [[relasi transitif\|transitif]]. Relasi "[[kesamaan\|sama dengan]]" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek , , dan :		Dalam [[matematika]], '''relasi ekuivalensi''' adalah [[relasi biner]] yang bersifat [[relasi refleksif\|refleksif]], [[relasi simetris\|simetris]] dan [[relasi transitif\|transitif]]. Relasi "[[kesamaan\|sama dengan]]" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek , , dan :
	* (sifat reflektif),		* (sifat reflektif),
Baris 18:		Baris 20:

	== Contoh ==		== Contoh ==

	=== Contoh sederhana ===		=== Contoh sederhana ===
	Anggap himpunan <math>\{a,\, b, \, c\}</math> memiliki relasi ekuivalensi <math>\{(a,a),\,(b,b),\,(c,c),\,(b,c),\,(c,b)\}</math>. Himpunan <math>[a]=\{a\} </math> dan <math>[b]=[c]=\{b,c\}</math> adalah [[Kelas kesetaraan\|kelas ekuivalensi]] dari relasi ini.		Anggap himpunan <math>\{a,\, b, \, c\}</math> memiliki relasi ekuivalensi <math>\{(a,a),\,(b,b),\,(c,c),\,(b,c),\,(c,b)\}</math>. Himpunan <math>[a]=\{a\} </math> dan <math>[b]=[c]=\{b,c\}</math> adalah [[Kelas kesetaraan\|kelas ekuivalensi]] dari relasi ini.
Baris 27:		Baris 28:
	Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:		Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:

	* "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, <math>\tfrac{1}{2}</math> sama dengan <math>\tfrac{4}{8}</math>.		* "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, <math>\tfrac{1}{2}</math> sama dengan <math>\tfrac{4}{8}</math>.<ref>[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes 7.3: Equivalence Classes]. ''Mathematics LibreTexts''. 2017-09-20.</ref>
	* "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.		* "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
	* "[[kongruen]] dengan" pada himpunan semua [[segitiga]].		* "[[kongruen]] dengan" pada himpunan semua [[segitiga]].
	* "[[Operasi modulus\|kongruen]] modulo ''n'' dengan" pada [[bilangan bulat]].		* "[[Operasi modulus\|kongruen]] modulo ''n'' dengan" pada [[bilangan bulat]].<ref>[https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes 7.3: Equivalence Classes]. ''Mathematics LibreTexts''. 2017-09-20.</ref>
	* "Memiliki [[Nilai absolut\|nilai mutlak]] yang sama dengan" pada himpunan [[Bilangan riil\|bilangan real]].		* "Memiliki [[Nilai absolut\|nilai mutlak]] yang sama dengan" pada himpunan [[Bilangan riil\|bilangan real]].
	* "Memiliki nilai [[kosinus]] yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.		* "Memiliki nilai [[kosinus]] yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.

	=== Relasi yang bukan ekuivalensi ===		=== Relasi yang bukan ekuivalensi ===

	* Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, tetapi tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.		* Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, tetapi tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
	* Relasi "memiliki [[Faktor persekutuan terbesar\|faktor pembagi bersama]] yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, tetapi tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.		* Relasi "memiliki [[Faktor persekutuan terbesar\|faktor pembagi bersama]] yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, tetapi tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.
Baris 43:		Baris 43:

	=== Kelas ekuivalensi ===		=== Kelas ekuivalensi ===

	Sebuah [[Himpunan bagian\|subhimpunan]] <math>Y</math> dari <math>X		Sebuah [[Himpunan bagian\|subhimpunan]] <math>Y</math> dari <math>X
	</math>, dengan <math>a \sim b</math> tetap berlaku untuk semua <math>a,\,b \in Y</math> namun tidak pernah ketika <math>a\in Y \ \ \text{dan} \ \ b\notin Y</math>, disebut sebagai sebuah '''kelas ekuivalensi ''<math>\sim		</math>, dengan <math>a \sim b</math> tetap berlaku untuk semua <math>a,\,b \in Y</math> namun tidak pernah ketika <math>a\in Y \ \ \text{dan} \ \ b\notin Y</math>, disebut sebagai sebuah '''kelas ekuivalensi ''<math>\sim
Baris 52:		Baris 51:

	=== Himpunan hasil bagi ===		=== Himpunan hasil bagi ===

	Himpunan semua kelas ekuivalensi '''''<math>\sim		Himpunan semua kelas ekuivalensi '''''<math>\sim
	</math>''''' dari <math>X		</math>''''' dari <math>X
Baris 61:		Baris 59:

	== Teorema dasar relasi ekuivalensi ==		== Teorema dasar relasi ekuivalensi ==
	Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:		Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:<ref>D. A. R. Wallace. [https://archive.org/details/groupsringsfield0000wall Groups, Rings and Fields]. Springer-Verlag. 1998. hlm. [https://archive.org/details/groupsringsfield0000wall/page/31 31].</ref><ref>D. S. Dummit. [https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm_k3c6 Abstract Algebra]. John Wiley & Sons. 2004. hlm. [https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm_k3c6/page/3 3].</ref><ref>Karell Hrbacek. ''Introduction to Set Theory''. Marcel Dekker. 1999. hlm. 29-32.</ref>

	* Relasi ekuivalensi ''<math>\sim		* Relasi ekuivalensi ''<math>\sim
Baris 88:		Baris 86:
	</math> dengan himpunan semua partisi dari <math>X		</math> dengan himpunan semua partisi dari <math>X
	</math>.		</math>.

	~~== Referensi ==~~


	==Pranala luar==		==Pranala luar==
	*		*
	* [https://web.archive.org/web/20130509233055/http://planetmath.org/equivalencerelation Equivalence relation] di PlanetMath		* [https://web.archive.org/web/20130509233055/http://planetmath.org/equivalencerelation Equivalence relation] di PlanetMath

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Relasi+ekuivalensi&oldid=29466418 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29466418 (2026-07-16T16:58:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Relasi+ekuivalensi&oldid=29466418 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29466418 (2026~~-07-~~16T16:58:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29466418; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:32:20Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29466418; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''relasi ekuivalensi''' adalah [[relasi biner]] yang bersifat [[relasi refleksif|refleksif]], [[relasi simetris|simetris]] dan [[relasi transitif|transitif]]. Relasi "[[kesamaan|sama dengan]]" merupakan contoh dasar dari relasi ekuivalensi, di mana untuk sembarang objek , , dan :
* (sifat reflektif),
* jika maka (sifat simetris), dan
* jika dan maka (sifat transitif).

Sebagai akibat dari sifat refleksif, simetris, dan transitif, semua relasi ekuivalensi dapat menghasilkan [[partisi himpunan|partisi]] dari himpunan pendasar menjadi [[kelas kesetaraan|kelas-kelas ekuivalensi]] yang saling lepas. Dua anggota dari suatu himpunan disebut ekuivalen jika dan hanya jika mereka merupakan anggota kelas ekuivalensi yang sama.

== Notasi ==
Berbagai notasi digunakan untuk menunjukkan bahwa dua anggota himpunan dan bersifat ekuivalen terhadap relasi ekuivalen ; biasanya "" dan "", yang digunakan ketika bersifat tersirat, dan variasi "", "", atau "" untuk menyebutkan secara tersurat. Sifat tidak ekuivalen bisa ditulis "" atau "<math>a \not\equiv b</math>".

== Definisi ==
Suatu [[relasi biner]] ~ pada himpunan ''X'' disebut merupakan relasi ekuivalensi [[jika dan hanya jika]] bersifat reflektif, simetris dan transitif. Artinya, untuk semua ''a'', ''b'' dan ''c'' dalam ''X'':
*''a'' ~ ''a''. ([[relasi reflektif|Reflektivitas]])
*''a'' ~ ''b'' jika dan hanya jika ''b'' ~ ''a''. ([[relasi simetris|Simetri]])
*jika ''a'' ~ ''b'' dan ''b'' ~ ''c'' maka ''a'' ~ ''c''. ([[relasi transitif|Transitivitas]])

''X'' bersama dengan relasi ~ disebut sebuah [[setoid]]. [[Kelas kesetaraan|Kelas ekuivalensi]] dari <math>a</math> di bawah ~, dilambangkan dengan <math>[a]</math>, didefinisikan sebagai <math>[a] = \{b\in X \mid a\sim b\}</math>.

== Contoh ==

=== Contoh sederhana ===
Anggap himpunan <math>\{a,\, b, \, c\}</math> memiliki relasi ekuivalensi <math>\{(a,a),\,(b,b),\,(c,c),\,(b,c),\,(c,b)\}</math>. Himpunan <math>[a]=\{a\} </math> dan <math>[b]=[c]=\{b,c\}</math> adalah [[Kelas kesetaraan|kelas ekuivalensi]] dari relasi ini.

Himpunan dari semua kelas ekuivalensi untuk relasi ini adalah <math>\{\{a\},\,\{b,\,c\}\}</math>. Himpunan ini adalah partisi dari himpunan <math>\{a,\, b, \, c\}</math>.

=== Relasi ekuivalensi ===
Relasi-relasi berikut adalah contoh lain dari relasi ekuivalensi:

* "sama dengan" pada himpunan bilangan. Sebagai contoh, <math>\tfrac{1}{2}</math> sama dengan <math>\tfrac{4}{8}</math>.
* "memiliki tanggal ulang tahun yang sama dengan" pada himpunan orang-orang.
* "[[kongruen]] dengan" pada himpunan semua [[segitiga]].
* "[[Operasi modulus|kongruen]] modulo ''n'' dengan" pada [[bilangan bulat]].
* "Memiliki [[Nilai absolut|nilai mutlak]] yang sama dengan" pada himpunan [[Bilangan riil|bilangan real]].
* "Memiliki nilai [[kosinus]] yang sama dengan" pada himpunan semua sudut.

=== Relasi yang bukan ekuivalensi ===

* Relasi "≥" antara dua bilangan real bersifat reflektif dan transitif, tetapi tidak simetris. Sebagai contoh, 7 ≥ 5 tidak mengakibatkan 5 ≥ 7.
* Relasi "memiliki [[Faktor persekutuan terbesar|faktor pembagi bersama]] yang lebih besar dari 1 dengan" antara dua bilangan bulat yang lebih besar dari 1, bersifat reflektif dan simetris, tetapi tidak transitif. Sebagai contoh, bilangan 2 dan 6 sama-sama memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 2), bilangan 6 dan 3 juga memiliki bersama yang lebih besar dari 1 (yakni angka 3), tetapi 2 dan 3 tidak memiliki faktor bersama yang lebih besar dari 1.

== Kelas ekuivalensi, himpunan hasil bagi, dan partisi ==
Anggap <math>a,\,b \in X</math>. Ada beberapa definisi

=== Kelas ekuivalensi ===

Sebuah [[Himpunan bagian|subhimpunan]] <math>Y</math> dari <math>X
</math>, dengan <math>a \sim b</math> tetap berlaku untuk semua <math>a,\,b \in Y</math> namun tidak pernah ketika <math>a\in Y \ \ \text{dan} \ \ b\notin Y</math>, disebut sebagai sebuah '''kelas ekuivalensi ''<math>\sim
</math>''''' dari <math>X
</math>. Anggap <math>[a] := \{x\in X \,|\, a\sim x\}</math> menyatakan kelas ekuivalensi yang berisi elemen <math>a
</math>. Semua elemen di <math>X
</math> yang saling ekuivalen menjadi anggota pada kelas ekuivalensi yang sama.

=== Himpunan hasil bagi ===

Himpunan semua kelas ekuivalensi '''''<math>\sim
</math>''''' dari <math>X
</math>, yang dinyatakan sebagai <math>X/\mathord{\sim} := \{[x] \mid x \in X\}</math> , adalah [[himpunan hasil bagi]] '''''<math>\sim
</math>''''' dari <math>X
</math>. Jika '''''<math>X
</math>''''' adalah [[ruang topologi]]s, ada cara mudah mengubah <math>X/\mathord{\sim}</math> menjadi ruang topologis. Lihat [[ruang hasil bagi]] untuk detailnya.

== Teorema dasar relasi ekuivalensi ==
Salah satu hasil penting yang menghubungkan relasi ekuivalensi dan partisi adalah:

* Relasi ekuivalensi ''<math>\sim
</math>'' pada himpunan <math>X
</math> mempartisi himpunan <math>X
</math> tersebut.
* Kebalikannya, untuk setiap partisi himpunan <math>X
</math>, terdapat suatu relasi ekuivalensi ''<math>\sim
</math>'' yang sesuai pada himpunan <math>X
</math>.

Anggap <math>Y
</math> sebagai partisi dari <math>X
</math>. Pada kedua kasus, sebuah himpunan di <math>Y
</math> adalah kelas ekuivalensi <math>\sim
</math> dari <math>X
</math>. Karena setiap elemen di <math>X
</math> terletak di tepat satu himpunan di <math>Y
</math>, dan karena setiap himpunan di <math>Y
</math> identik ke kelas ekuivalensi <math>\sim
</math> dari <math>X
</math>, maka setiap elemen di <math>X
</math> terletak di tepat satu kelas ekuivalensi <math>\sim
</math> dari <math>X
</math>. Dengan demikian, terdapat [[bijeksi]] antara himpunan semua relasi ekuivalensi di <math>X
</math> dengan himpunan semua partisi dari <math>X
</math>.

== Referensi ==

==Pranala luar==
*
* [https://web.archive.org/web/20130509233055/http://planetmath.org/equivalencerelation Equivalence relation] di PlanetMath

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Relasi+ekuivalensi&oldid=29466418 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29466418 (2026-07-16T16:58:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.