Resolusi (teori Galois) - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T04:01:34Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29580088; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:25:04Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29580088; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[teori Galois]], disiplin dalam bidang [[aljabar abstrak]], '''resolusi''' untuk [[grup permutasi]] ''G'' adalah [[polinomial]] koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu ''p'' dan akar [[bilangan rasional|rasional]] jika dan hanya jika [[grup Galois]] dari ''p'' termasuk dalam ''G''. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam ''G'', maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya jika akar rasional adalah [[akar sederhana (polinomial)|akar sederhana]].
Resolusi ditemukan oleh [[Joseph Louis Lagrange]] dan secara sistematis digunakan oleh [[Évariste Galois]]. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung [[grup Galois]]. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah
* <math>X^2-\Delta</math> di mana <math>\Delta</math> adalah [[diskriminan]], yang merupakan resolvent untuk [[grup alternatif]]. Dalam kasus [[persamaan kubik]], resolusi ini kadang disebut '''resolusi kuadrat'''; akar dari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.
* [[Resolusi kubik]] dari sebuah [[fungsi kuartik|persamaan kuartik]], yang merupakan penyekat untuk [[grup dihedral]] dari 8 elemen.
* [[Fungsi Kuintil#Kuintik solvabel|Resolusi Cayley]] adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.

Ketiga resolusi ini memiliki sifat ''seperabel'', yang berarti, jika akar polinomial ''p'' tidak dapat disederhanakan. Tidak diketahui resolusi yang dapat dipisahkan untuk grup permutasi.

Untuk persamaan, akar dapat diekspresikan dalam bentuk akar dan akar pemecah untuk grup yang dapat larut, karena gugus Galois dari persamaan di atas bidang yang dihasilkan oleh akar ini dapat diselesaikan.

== Definisi ==
Misalkan adalah [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]], derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan daftar [[tak tentu (variabel)|tak tentu]]. Hal ini mendefinisikan ''polinomial generik'' dari derajat
:<math>F(X)=X^n+\sum_{i=1}^n (-1)^i E_i X^{n-i} = \prod_{i=1}^n (X-X_i),</math>
di mana adalah ''i''<sup>ke</sup> [[polinomial simetris dasar]].

[[Grup simetris]] dari tindakan dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial . [[Pemusat (teori grup)|Pemusat]] dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup . Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa [[subgrup]] non-trivial ; sebagai ''invarian'' dari . Sebaliknya, subgrup dari , invarian dari adalah '''resolusi invarian''' untuk jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari .

Invarian untuk subgrup tertentu dari relatif mudah; menjumlahkan [[Orbit (teori grup)|orbit]] dari sebuah monomial di bawah . Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup dari dari urutan 4, terdiri dari , , dan identitas (untuk notasinya, lihat [[grup permutasi]]). Monomial tersebut memberikan invarian . Hal ini bukan invarian penyelesai untuk , sebagai invarian oleh , pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral , dan digunakan untuk mendefinisikan [[resolusi kubik]] dari [[persamaan kuartik]].

Jika adalah invarian penyelesaian untuk grup dari [[indeks (teori grup)|indeks]] , maka orbit di bawah memiliki urutan . Maka , ..., adalah elemen orbit. Maka polinomial
:<math>R_G=\prod_{i=1}^m (Y-P_i)</math>
adalah invarian di bawah . Jadi, ketika diperluas, koefisiennya adalah polinomial invarian di bawah aksi grup simetri dan dengan diekspresikan sebagai polinomial dalam polinomial simetris elementer. Dengan, adalah [[polinomial irreduksi]] koefisien polinomial . Memiliki invarian resolvent sebagai akar, ini disebut '''resolusi''' (terkadang '''persamaan resolusi''').

Pertimbangkan sekarang sebagai polinomial yang tidak dapat disederhanakan
:<math>f(X)=X^n+\sum_{i=1}^n a_i X^{n-i} = \prod_{i=1}^n (X-x_i),</math>
dengan koefisien di bidang tertentu (biasanya [[bidang rasional]]) dan akar dalam ekstensi [[bidang tertutup aljabar]]. Mengganti oleh dan koefisien oleh yang mendahului, polinomial <math>R_G^{(f)}(Y)</math>, juga disebut ''resolusi'' atau ''resolusi khusus'' dalam kasus ambiguitas). Jika [[grup Galois]] dari ke , maka spesialisasi dari resolusi invarian adalah invarian oleh dan dengan akar dari <math>R_G^{(f)}(Y)</math> yang dimiliki (rasional pada ). Sebaliknya jika <math>R_G^{(f)}(Y)</math> adalah akar rasional, yang bukan merupakan akar ganda, grup Galois dari ke .

Beberapa varian dalam istilah tersebut.
* Bergantung pada penulis atau pada konteks, ''resolusi'' merujuk ke ''resolusi invarian'' dari ''resolusi persamaan''.
* '''Resolusi Galois''' adalah pemecah sehingga invarian penentu [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research|linear]] di akarnya.
* '''''' mengacu pada polinomial linear
::<math>\sum_{i=0}^{n-1} X_i \omega^i</math>
:di mana <math>\omega</math> adalah [[akar satuan ke-n primitif]]. Hal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.
* '''Resolusi relatif''' didefinisikan sebagai resolusi, tetapi elemen dari subgrup tertentu dari , memiliki sifat, jika resolusi relatif untuk subgrup dari akar sederhana rasional dan grup Galois dari ke , maka grup Galois dari ke . Dalam konteks ini, resolusi biasa disebut '''resolusi mutlak'''.

== Metode resolusi ==
Grup Galois dari polinomial derajat <math> n </math> adalah <math> S_n </math> atau subgrup. Jika polinomial dapat dipisahkan dan tidak dapat direduksi, maka gugus Galois yang bersesuaian adalah subgrup transitif.

Subgrup transitif dari <math> S_n </math> membentuk grafik berarah: satu grup dapat menjadi subgrup dari beberapa grup. Satu resolusi dapat mengetahui apakah grup Galois dari sebuah polinomial adalah subgrup (tidak harus tepat) dari grup yang diberikan. Metode resolusi hanyalah cara sistematis untuk memeriksa grup satu per satu hingga hanya satu grup yang memungkinkan. Ini tidak berarti bahwa setiap grup harus diperiksa: setiap resolvent dapat membatalkan banyak grup yang memungkinkan. Misalnya, untuk polinomial derajat lima tidak diperlukan resolvent <math> D_5 </math>: resolusi untuk <math> A_5 </math> dan <math> M_{20} </math> memberikan informasi yang diinginkan.

Salah satu caranya adalah mulai dari subgrup maksimal (transitif) hingga subgrup ditemukan dan kemudian dilanjutkan dengan subgrup maksimalnya.

== Referensi ==

*
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Resolusi+%28teori+Galois%29&oldid=29580088 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29580088 (2026-08-15T03:20:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 04.01
Baris 1:		Baris 1:
	Dalam [[teori Galois]], disiplin dalam bidang [[aljabar abstrak]], '''resolusi''' untuk [[grup permutasi]] ''G'' adalah [[polinomial]] koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu ''p'' dan akar [[bilangan rasional\|rasional]] jika dan hanya jika [[grup Galois]] dari ''p'' termasuk dalam ''G''. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam ''G'', maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya jika akar rasional adalah [[akar sederhana (polinomial)\|akar sederhana]].		Dalam [[teori Galois]], disiplin dalam bidang [[aljabar abstrak]], '''resolusi''' untuk [[grup permutasi]] ''G'' adalah [[polinomial]] koefisien yang bergantung secara polinomial pada koefisien polinomial tertentu ''p'' dan akar [[bilangan rasional\|rasional]] jika dan hanya jika [[grup Galois]] dari ''p'' termasuk dalam ''G''. Lebih tepatnya, jika grup Galois termasuk dalam ''G'', maka resolusi memiliki akar rasional, dan sebaliknya jika akar rasional adalah [[akar sederhana (polinomial)\|akar sederhana]].
	Resolusi ditemukan oleh [[Joseph Louis Lagrange]] dan secara sistematis digunakan oleh [[Évariste Galois]]. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung [[grup Galois]]. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah		Resolusi ditemukan oleh [[Joseph Louis Lagrange]] dan secara sistematis digunakan oleh [[Évariste Galois]]. Saat ini mereka masih menggunakan alat fundamental untuk menghitung [[grup Galois]]. Contoh resolusi yang paling sederhana adalah
	* <math>X^2-\Delta</math> di mana <math>\Delta</math> adalah [[diskriminan]], yang merupakan resolvent untuk [[grup alternatif]]. Dalam kasus [[persamaan kubik]], resolusi ini kadang disebut '''resolusi kuadrat'''; akar dari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.		* <math>X^2-\Delta</math> di mana <math>\Delta</math> adalah [[diskriminan]], yang merupakan resolvent untuk [[grup alternatif]]. Dalam kasus [[persamaan kubik]], resolusi ini kadang disebut '''resolusi kuadrat'''; akar dari eksplisit dalam rumus untuk akar persamaan kubik.
	* [[Resolusi kubik]] dari sebuah [[fungsi kuartik\|persamaan kuartik]], yang merupakan penyekat untuk [[grup dihedral]] dari 8 elemen.		* [[Resolusi kubik]] dari sebuah [[fungsi kuartik\|persamaan kuartik]], yang merupakan penyekat untuk [[grup dihedral]] dari 8 elemen.
	* [[Fungsi Kuintil#Kuintik solvabel\|Resolusi Cayley]] adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.		* [[Fungsi Kuintil#Kuintik solvabel\|Resolusi Cayley]] adalah resolusi untuk grup Galois resolubel maksimal dalam derajat lima. Polinomial dengan derajat 6.
Baris 10:		Baris 10:

	== Definisi ==		== Definisi ==
	Misalkan adalah [[Bilangan asli\|bilangan bulat positif]], derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan daftar [[tak tentu (variabel)\|tak tentu]]. Hal ini mendefinisikan ''polinomial generik'' dari derajat		Misalkan adalah [[Bilangan asli\|bilangan bulat positif]], derajat dari persamaan yang dipertimbangkan, dan daftar [[tak tentu (variabel)\|tak tentu]]. Hal ini mendefinisikan ''polinomial generik'' dari derajat
	:<math>F(X)=X^n+\sum_{i=1}^n (-1)^i E_i X^{n-i} = \prod_{i=1}^n (X-X_i),</math>		:<math>F(X)=X^n+\sum_{i=1}^n (-1)^i E_i X^{n-i} = \prod_{i=1}^n (X-X_i),</math>
	di mana adalah ''i''<sup>ke</sup> [[polinomial simetris dasar]].		di mana adalah ''i''<sup>ke</sup> [[polinomial simetris dasar]].

	[[Grup simetris]] dari tindakan dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial . [[Pemusat (teori grup)\|Pemusat]] dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup . Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa [[subgrup]] non-trivial ; sebagai ''invarian'' dari . Sebaliknya, subgrup dari , invarian dari adalah '''resolusi invarian''' untuk jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari .		[[Grup simetris]] dari tindakan dengan menggunakan induksi tindakan pada polinomial . [[Pemusat (teori grup)\|Pemusat]] dari polinomial tertentu di bawah tindakan trivial, tetapi beberapa polinomial memiliki penstabil yang lebih besar. Misalnya, penstabil polinomial simetris elementer adalah grup . Jika penstabil non-trivial, polinomial ditetapkan oleh beberapa [[subgrup]] non-trivial ; sebagai ''invarian'' dari . Sebaliknya, subgrup dari , invarian dari adalah '''resolusi invarian''' untuk jika bukan merupakan invarian dari subgrup dari .<ref>http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf</ref>

	Invarian untuk subgrup tertentu dari relatif mudah; menjumlahkan [[Orbit (teori grup)\|orbit]] dari sebuah monomial di bawah . Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup dari dari urutan 4, terdiri dari , , dan identitas (untuk notasinya, lihat [[grup permutasi]]). Monomial tersebut memberikan invarian . Hal ini bukan invarian penyelesai untuk , sebagai invarian oleh , pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral , dan digunakan untuk mendefinisikan [[resolusi kubik]] dari [[persamaan kuartik]].		Invarian untuk subgrup tertentu dari relatif mudah; menjumlahkan [[Orbit (teori grup)\|orbit]] dari sebuah monomial di bawah . Namun mungkin terjadi bahwa polinomial yang dihasilkan adalah invarian untuk grup. Misalnya, pertimbangkan kasus subgrup dari dari urutan 4, terdiri dari , , dan identitas (untuk notasinya, lihat [[grup permutasi]]). Monomial tersebut memberikan invarian . Hal ini bukan invarian penyelesai untuk , sebagai invarian oleh , pada kenyataannya, ini adalah invarian resolusi untuk subgrup dihedral , dan digunakan untuk mendefinisikan [[resolusi kubik]] dari [[persamaan kuartik]].
Baris 29:		Baris 29:
	* Bergantung pada penulis atau pada konteks, ''resolusi'' merujuk ke ''resolusi invarian'' dari ''resolusi persamaan''.		* Bergantung pada penulis atau pada konteks, ''resolusi'' merujuk ke ''resolusi invarian'' dari ''resolusi persamaan''.
	* '''Resolusi Galois''' adalah pemecah sehingga invarian penentu [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research\|linear]] di akarnya.		* '''Resolusi Galois''' adalah pemecah sehingga invarian penentu [[Lincoln Near-Earth Asteroid Research\|linear]] di akarnya.
	* '''''' mengacu pada polinomial linear		* '''''' mengacu pada polinomial linear
	::<math>\sum_{i=0}^{n-1} X_i \omega^i</math>		::<math>\sum_{i=0}^{n-1} X_i \omega^i</math>
	:di mana <math>\omega</math> adalah [[akar satuan ke-n primitif]]. Hal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.		:di mana <math>\omega</math> adalah [[akar satuan ke-n primitif]]. Hal ini adalah invarian dari resolusi Galois untuk grup identitas.
Baris 42:		Baris 42:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />
	*
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Resolusi+%28teori+Galois%29&oldid=29580088 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29580088 (2026-08-15T03:20:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Resolusi+%28teori+Galois%29&oldid=29580088 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29580088 (2026-08-15T03:20:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->