Ruang metrik lengkap - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:39Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 4:		Baris 4:

	== Definisi ==		== Definisi ==
			:Suatu barisan dalam [[ruang metrik]] disebut '''Cauchy''' apabila untuk setiap positif [[bilangan riil]] ada [[bilangan bulat]] positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif ,
	:Suatu barisan dalam [[ruang metrik]] disebut '''Cauchy''' apabila untuk setiap positif [[bilangan riil]] ada [[bilangan bulat]] positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif ,
	::.		::.

	:'''Konstanta ekspansi''' dari suatu ruang metrik adalah [[infimum\|batas bawah terbesar]] dari semua konstanta <math>\textstyle \mu</math> sedemikian sehingga apabila keluarga<math>\textstyle \left\{ \overline{B}(x_\alpha,\, r_\alpha) \right\}</math> saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan <math>\bigcap_\alpha \overline{B}(x_\alpha, \mu r_\alpha)</math> tidak kosong.		:'''Konstanta ekspansi'''<ref>B. Grünbaum. [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038634 Some applications of expansion constants]. ''Pacific J. Math''. 1960. Vol. 10. hlm. 193–201.</ref> dari suatu ruang metrik adalah [[infimum\|batas bawah terbesar]] dari semua konstanta <math>\textstyle \mu</math> sedemikian sehingga apabila keluarga<math>\textstyle \left\{ \overline{B}(x_\alpha,\, r_\alpha) \right\}</math> saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan <math>\bigcap_\alpha \overline{B}(x_\alpha, \mu r_\alpha)</math> tidak kosong.

	:Ruang metrik dikatan '''lengkap''' apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:		:Ruang metrik dikatan '''lengkap''' apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:
Baris 14:		Baris 13:
	<li>Setiap [[barisan Cauchy]] dari titik-titik di memiliki [[Limit barisan\|limit]] yang juga ada di</li>		<li>Setiap [[barisan Cauchy]] dari titik-titik di memiliki [[Limit barisan\|limit]] yang juga ada di</li>
	<li>Setiap barisan Cauchy di konvergen menuju (yaitu, ke beberapa titik ).</li>		<li>Setiap barisan Cauchy di konvergen menuju (yaitu, ke beberapa titik ).</li>
	<li>Konstanta ekspansi adalah ≤ 2.</li>		<li>Konstanta ekspansi adalah ≤ 2.<ref>B. Grünbaum. [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103038634 Some applications of expansion constants]. ''Pacific J. Math''. 1960. Vol. 10. hlm. 193–201.</ref></li>
	<li>Setiap barisan menurun dari [[himpunan bagian]] tertutup [[Himpunan kosong\|tak kosong]] ditutup dari , dengan [[Diameter#Generalisasi\|diameter]] cenderung ke 0, memiliki [[Irisan (teori himpunan)\|irisan]] tak kosong: jika tertutup dan tidak kosong, untuk , dan , maka umum untuk semua himpunan .</li>		<li>Setiap barisan menurun dari [[himpunan bagian]] tertutup [[Himpunan kosong\|tak kosong]] ditutup dari , dengan [[Diameter#Generalisasi\|diameter]] cenderung ke 0, memiliki [[Irisan (teori himpunan)\|irisan]] tak kosong: jika tertutup dan tidak kosong, untuk , dan , maka umum untuk semua himpunan .</li>
	</ol>		</ol>
Baris 37:		Baris 36:

	== Beberapa teorema ==		== Beberapa teorema ==
	Setiap ruang metrik [[Ruang kompak\|kompak]] merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak [[jika dan hanya jika]] lengkap dan [[terbatas total]]. Ini adalah perumuman dari [[Teorema Heine–Borel]], yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas dari '''R'''<sup>''n''</sup> kompleks dan karena itu lengkap.		Setiap ruang metrik [[Ruang kompak\|kompak]] merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak [[jika dan hanya jika]] lengkap dan [[terbatas total]]. Ini adalah perumuman dari [[Teorema Heine–Borel]], yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas dari '''R'''<sup>''n''</sup> kompleks dan karena itu lengkap.<ref>Wilson A. Sutherland. ''Introduction to Metric and Topological Spaces''. ISBN 978-0-19-853161-6.</ref>

	Maka menjadi ruang metrik lengkap.		Maka menjadi ruang metrik lengkap.
	Jika adalah himpunan tertutup, maka .		Jika adalah himpunan tertutup, maka .<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/AClosedSubsetOfACompleteMetricSpaceIsComplete.html Archived copy].</ref>
	Maka menjadi ruang metrik.		Maka menjadi ruang metrik.
	Jika adalah subruang kompleks, maka tertutup.		Jika adalah subruang kompleks, maka tertutup.<ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/ACompleteSubspaceOfAMetricSpaceIsClosed.html Archived copy].</ref>

	Jika adalah [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] dan adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan dari semua [[fungsi terbatas]] '' f '' dari hingga adalah ruang metrik lengkap.		Jika adalah [[Himpunan (matematika)\|himpunan]] dan adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan dari semua [[fungsi terbatas]] '' f '' dari hingga adalah ruang metrik lengkap.
	Di sini kami mendefinisikan jarak dalam dalam hal jarak di dengan [[norma supremum]]		Di sini kami mendefinisikan jarak dalam dalam hal jarak di dengan [[norma supremum]]

Baris 64:		Baris 63:
	== Lihat pula ==		== Lihat pula ==
	* [[Pelengkap (aljabar)]]		* [[Pelengkap (aljabar)]]
	*		*
	*		*
	* [[Teorema Knaster–Tarski]]		* [[Teorema Knaster–Tarski]]

	== Catatan ==		== Catatan ==


	== Referensi ==		== Referensi ==
	*		<references />
	* [[Erwin Kreyszig\|Kreyszig, Erwin]], ''Introductory functional analysis with applications'' (Wiley, New York, 1978).
	* [[Serge Lang\|Lang, Serge]], "Real and Functional Analysis"
	*



	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+metrik+lengkap&oldid=29298704 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29298704 (2026-05-31T18:10:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+metrik+lengkap&oldid=29298704 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29298704 (2026-05-31T18:10:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29298704; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:22:13Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29298704; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[analisis matematika]], sebuah [[ruang metrik]] disebut '''lengkap''' (atau '''ruang Cauchy''') jika setiap [[Barisan Cauchy#Dalam ruang metrik|barisan Cauchy]] dari titik-titik di memiliki [[Limit barisan|limit]] yang juga ada di atau, sebagai alternatif, jika setiap barisan Cauchy pada dengan .

Secara intuitif, suatu ruang dikatakan "lengkap" apabila tidak ada "titik yang hilang" darinya (di dalam atau di perbatasan). Misalnya, himpunan [[bilangan rasional]] tidak lengkap, karena, sebagai contoh, [[akar kuadrat dari 2|<math>\sqrt{2}</math>]] adalah "hilang" darinya, meskipun seseorang dapat membangun suatu barisan Cauchy dari bilangan rasional yang konvergen menuju <math>\sqrt{2}</math> itu (lihat contoh lebih lanjut di bawah). "Semua lubang" pada ruang tak lengkap itu akan selalu dapat diisi, yakni dengan membangun suatu "pelengkap" dari ruang tersebut, seperti yang dijelaskan di bawah ini.

== Definisi ==

:Suatu barisan dalam [[ruang metrik]] disebut '''Cauchy''' apabila untuk setiap positif [[bilangan riil]] ada [[bilangan bulat]] positif sedemikian sehingga untuk semua bilangan bulat positif ,
::.

:'''Konstanta ekspansi''' dari suatu ruang metrik adalah [[infimum|batas bawah terbesar]] dari semua konstanta <math>\textstyle \mu</math> sedemikian sehingga apabila keluarga<math>\textstyle \left\{ \overline{B}(x_\alpha,\, r_\alpha) \right\}</math> saling berisisan pasang-demi-pasang, maka irisan <math>\bigcap_\alpha \overline{B}(x_\alpha, \mu r_\alpha)</math> tidak kosong.

:Ruang metrik dikatan '''lengkap''' apabila salah satu kondisi yang setara berikut terpenuhi:
<ol>
<li>Setiap [[barisan Cauchy]] dari titik-titik di memiliki [[Limit barisan|limit]] yang juga ada di</li>
<li>Setiap barisan Cauchy di konvergen menuju (yaitu, ke beberapa titik ).</li>
<li>Konstanta ekspansi adalah ≤ 2.</li>
<li>Setiap barisan menurun dari [[himpunan bagian]] tertutup [[Himpunan kosong|tak kosong]] ditutup dari , dengan [[Diameter#Generalisasi|diameter]] cenderung ke 0, memiliki [[Irisan (teori himpunan)|irisan]] tak kosong: jika tertutup dan tidak kosong, untuk , dan , maka umum untuk semua himpunan .</li>
</ol>

== Contoh ==
Ruang '''Q''' dari [[bilangan rasional]] dengan metrik standar yang diberikan oleh [[nilai absolut|nilai mutlak]] dari [[pengurangan|selisih]] bukanlah ruang metrik lengkap. Sebagai contoh, perhatikan barisan dengan dan <math>x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}.</math> Barisan ini adalah barisan bilangan rasional Cauchy, tetapi tidak konvergen menuju limit rasional apa pun: Jika deret itu memang memiliki limit, maka dengan menyelesaikan <math>x = \frac{x}{2} + \frac{1}{x}</math>, haruslah ''x''2 = 2, tetapi tiada bilangan rasional yang memiliki sifat ini. Namun jika barisan tersebut dianggap sebagai barisan [[bilangan riil]], maka barisan itu konvergen ke [[bilangan irasional]] <math>\sqrt{2}</math>.

[[Interval (matematika)|Interval buka]] , pun dengan metrik nilai mutlak, juga bukan ruang metrik lengkap. Barisan dengan = adalah barisan Cauchy, tetapi tidak memiliki limit dalam ruang yang diberikan. Namun pada interval [[himpunan tertutup|tertutup]] [[interval unit|interval unit]]; barisan tersebut memiliki limit dalam interval ini dan limitnya adalah nol.

Ruang '''R''' dari bilangan real dan spasi '''C''' dari [[bilangan kompleks]] (dengan metrik yang diberikan oleh nilai absolut) lengkap, dan begitu pula [[ruang Euklides]] '''R'''''n'', dengan metrik [[Jarak Euklides|jarak biasa]].
Sebaliknya, [[ruang vektor bernorma]] berdimensi tak hingga mungkin lengkap atau tidak lengkap; yang lengkap adalah [[ruang Banach]]. Ruang C dari [[fungsi kontinu pada ruang Hausdorff komplek|fungsi bernilai riil kontinu pada interval tertutup dan terbatas]] adalah ruang Banach, dan ruang metrik kompleks.
Namun norma supremum tidak memberikan norma pada ruang C fungsi kontinu , karena mungkin berisi fungsi tak terbatas.
Sebaliknya, dengan topologi [[konvergensi komplek]], C dapat diberikan struktur [[Ruang Fréchet]]: [[ruang vektor topologi cembung lokal]] yang topologinya dapat diinduksi oleh metrik invarian-translasi lengkap.

Ruang '''Q'''''p'' of [[bilangan p-adic]] selesai untuk semua [[bilangan prima]] .
Ruang ini melengkapi '''Q''' dengan '' p ''-metrik adic dengan cara yang sama seperti '''R''' melengkapi '''Q''' dengan metrik biasa.

Jika adalah himpunan arbitrer, maka himpunan tersebut dari semua [[urutan|barisan]] di menjadi ruang metrik lengkap jika kita menentukan jarak antara barisan dan menjadi , dengan adalah indeks terkecilnya adalah [[terpisah (matematika)|berbeda]] dari , atau jika tidak ada indeks seperti itu.
Spasi ini [[homeomorfik]] ke [[produk topologi|produk]] dari [[terhitung]] jumlah salinan [[ruang diskrit]] .

[[Manifold Riemannian]] kompleks disebut [[manifold geodesik]]; kelengkapan mengikuti dari [[teorema Hopf–Rinow]].

== Beberapa teorema ==
Setiap ruang metrik [[Ruang kompak|kompak]] merupakan ruang metrik lengkap, meskipun ruang lengkap belum perlu kompak. Faktanya, ruang metrik kompak [[jika dan hanya jika]] lengkap dan [[terbatas total]]. Ini adalah perumuman dari [[Teorema Heine–Borel]], yang menyatakan bahwa setiap subruang tertutup dan berbatas dari '''R'''''n'' kompleks dan karena itu lengkap.

Maka menjadi ruang metrik lengkap.
Jika adalah himpunan tertutup, maka .
Maka menjadi ruang metrik.
Jika adalah subruang kompleks, maka tertutup.

Jika adalah [[Himpunan (matematika)|himpunan]] dan adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan dari semua [[fungsi terbatas]] '' f '' dari hingga adalah ruang metrik lengkap.
Di sini kami mendefinisikan jarak dalam dalam hal jarak di dengan [[norma supremum]]

:<math>d(f, g) \equiv \sup\left\{d[f(x), g(x)]: x \in X \right\}</math>

Jika adalah [[ruang topologi]] dan adalah ruang metrik lengkap, maka himpunan terdiri dari semua [[fungsi kontinu (topologi)|kontinu]] fungsi yang dibatasi dari hingga adalah subruang tertutup dari S_i \right)</math>.</li>
<li>Jika maka <math>\operatorname{int} \left( \cap_{i \in \mathbb{N}} \operatorname{cl} S_i \right) = \operatorname{int} \operatorname{cl} \left( \cap_{i \in \mathbb{N}} S_i \right)</math>.</li>
</ul>
}}

== Pelengkap ==
Untuk setiap ruang metrik '' M '', seseorang dapat membuat ruang metrik lengkap '' M ′'' (yang juga dilambangkan sebagai ), yang berisi '' M '' sebagai [[subruang padat]]. Ini memiliki [[sifat universal]] berikut: jika '' N '' adalah spasi metrik lengkap dan '' f '' adalah [[fungsi kontinu seragam]] dari '' M '' hingga '' N '', maka ada [[Ketunggalan (matematika)|tunggal]] fungsi kontinu seragam '' f ''' dari '' M ′'' ke ''N''. Ruang '' M '' 'ditentukan [[hingga]] [[isometri]] oleh sifat ini (di antara semua ruang metrik lengkap yang secara isometrik mengandung ''M''), dan disebut ''pelengkap'' dari ''M''.

Pelengkap '' M '' dapat dibangun sebagai satu set [[kelas ekivalen]] dari barisan Cauchy di '' M ''. Untuk dua barisan Cauchy ''x'' = (''x''''n'') dan ''y'' = (''y''''n'') di '' M '', kita dapat mendefinisikan jarak mereka sebagai
: <math>d(x, y) = \lim_n d\left(x_n, y_n\right)</math>

(Batas ini ada karena bilangan real lengkap.) Ini hanya [[ruang pseudometrik|pseudometrik]], belum menjadi metrik, karena dua barisan Cauchy yang berbeda mungkin memiliki jarak 0. Tapi "memiliki jarak 0" adalah [[relasi ekuivalen]] pada himpunan semua barisan Cauchy, dan himpunan kelas kesetaraan adalah ruang metrik, pelengkap dari '' M ''. Ruang asli disematkan di ruang ini melalui identifikasi elemen '' x '' dari '' M ''' dengan kelas ekivalen barisan dalam ''M'' yang menyatu dengan ''x'' (yaitu, kelas ekivalen yang berisi barisan dengan nilai konstan '' x ''). Ini mendefinisikan [[isometri]] ke subruang padat, seperti yang diperlukan. Perhatikan, bagaimanapun, bahwa konstruksi ini menggunakan secara eksplisit kelengkapan bilangan real, jadi pelengkap bilangan rasional membutuhkan perlakuan sedikit berbeda.

== Lihat pula ==
* [[Pelengkap (aljabar)]]
*
*
* [[Teorema Knaster–Tarski]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
* [[Erwin Kreyszig|Kreyszig, Erwin]], ''Introductory functional analysis with applications'' (Wiley, New York, 1978).
* [[Serge Lang|Lang, Serge]], "Real and Functional Analysis"
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+metrik+lengkap&oldid=29298704 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29298704 (2026-05-31T18:10:14Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.