Ruang singgung Zariski - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T23:04:43Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 23.04
Baris 1:		Baris 1:
	Pada [[geometri aljabar]], '''ruang singgung Zariski''' () didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik ''P'' di suatu [[varietas aljabar]] ''V.'' Konstruksi geometris ini tidak menggunakan [[kalkulus]] ataupun [[derivatif]], dan hanya didasarkan pada [[aljabar abstrak]]. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan [[sistem persamaan linear]].		Pada [[geometri aljabar]], '''ruang singgung Zariski''' () didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik ''P'' di suatu [[varietas aljabar]] ''V.'' Konstruksi geometris ini tidak menggunakan [[kalkulus]] ataupun [[derivatif]], dan hanya didasarkan pada [[aljabar abstrak]]. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan [[sistem persamaan linear]].

	== Motivasi ==		== Motivasi ==
Baris 12:		Baris 12:
	adalah "versi linear" dari ''F(X, Y)'' yang dideskripsikan sebelumnya.		adalah "versi linear" dari ''F(X, Y)'' yang dideskripsikan sebelumnya.

	Maka, ''L'' bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus ''L'' bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva ''C'' di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika ''L'' merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva ''C'' adalah garis ''L'' itu sendiri, dengan menganggap ''L'' sebagai ruang afin. Jika ''P'' bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di ''C,'' lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik ''P'' adalah ruang afin dan ''P'' merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor.		Maka, ''L'' bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus ''L'' bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva ''C'' di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika ''L'' merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva ''C'' adalah garis ''L'' itu sendiri, dengan menganggap ''L'' sebagai ruang afin. Jika ''P'' bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di ''C,'' lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik ''P'' adalah ruang afin dan ''P'' merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor.

	Pada [[Bilangan riil\|lapangan real]], ruang ''L'' dapat dicari dengan menggunakan [[turunan parsial]] pertama ''F''. Jika turunan parsial pertama ''F'' terhadap ''X'' dan ''Y'' di titik ''P'' bernilai 0, maka ''P'' disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik ''P'' disebut titik singular kurva ''C'' apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.		Pada [[Bilangan riil\|lapangan real]], ruang ''L'' dapat dicari dengan menggunakan [[turunan parsial]] pertama ''F''. Jika turunan parsial pertama ''F'' terhadap ''X'' dan ''Y'' di titik ''P'' bernilai 0, maka ''P'' disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik ''P'' disebut titik singular kurva ''C'' apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.
Baris 21:		Baris 21:
	: <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>		: <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>

	Modul ini dapat dipandang sebagai [[ruang vektor]]-<math>k</math> dengan <math>k</math> adalah lapangan residu ''<math>R/\mathfrak{m}</math>''. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-<math>k</math>) disebut ruang tangen dari <math>R</math>''.''		Modul ini dapat dipandang sebagai [[ruang vektor]]-<math>k</math> dengan <math>k</math> adalah lapangan residu ''<math>R/\mathfrak{m}</math>''. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-<math>k</math>) disebut ruang tangen dari <math>R</math>''.'' <ref>David Eisenbud. ''The geometry of schemes''. Springer. 2000. ISBN 978-0-387-98637-1.</ref>

	Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan <math>V</math> merupakan varietas aljabar afin dan <math>v</math> adalah titik di <math>V</math>. Secara konkret, modulo ''<math>\mathfrak{m}^2</math>'' pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan <math>V</math> dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.		Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan <math>V</math> merupakan varietas aljabar afin dan <math>v</math> adalah titik di <math>V</math>. Secara konkret, modulo ''<math>\mathfrak{m}^2</math>'' pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan <math>V</math> dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

	Ruang singgung <math>T_P(X)</math> dan ruang ko-singgung <math>T_P^*(X)</math> dari skema <math>X</math> di titik <math>P</math> adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal <math>\mathcal{O}_{X, P}</math>. Karena [[fungtor]] <math>\operatorname{Spec}</math> fungtorial, homomorfisme faktor alami <math>f:R \to R/I</math> menginduksi homomorfisme <math>g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}</math> dengan <math>X=\operatorname{Spec} R</math> dan <math>P</math> adalah suatu titik di <math>Y=\operatorname{Spec} R/I</math>. Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen <math>T_P(Y)</math> ke dalam ruang tangen <math>T_{f^{-1}P}(X)</math> . Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh <math>g</math> merupakan suatu [[isomorfisme]]. Dengan demikian, <math>g</math> menginduksi morfisme-<math>k</math> antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui		Ruang singgung <math>T_P(X)</math> dan ruang ko-singgung <math>T_P^*(X)</math> dari skema <math>X</math> di titik <math>P</math> adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal <math>\mathcal{O}_{X, P}</math>. Karena [[fungtor]] <math>\operatorname{Spec}</math> fungtorial, homomorfisme faktor alami <math>f:R \to R/I</math> menginduksi homomorfisme <math>g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}</math> dengan <math>X=\operatorname{Spec} R</math> dan <math>P</math> adalah suatu titik di <math>Y=\operatorname{Spec} R/I</math>. Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen <math>T_P(Y)</math> ke dalam ruang tangen <math>T_{f^{-1}P}(X)</math> .<ref>''Smoothness and the Zariski Tangent Space'', James McKernan, [http://math.mit.edu/~mckernan/Teaching/10-11/Spring/18.726/lectures.html 18.726 Spring 2011] Lecture 5</ref> Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh <math>g</math> merupakan suatu [[isomorfisme]]. Dengan demikian, <math>g</math> menginduksi morfisme-<math>k</math> antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui
	: <math>\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2</math>		: <math>\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2</math>
	: <math>\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)</math>		: <math>\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)</math>
Baris 54:		Baris 54:

	== Referensi ==		== Referensi ==
			<references />


	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+singgung+Zariski&oldid=29318264 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29318264 (2026-06-06T05:10:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+singgung+Zariski&oldid=29318264 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29318264 (2026-06-06T05:10:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29318264; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T22:36:14Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29318264; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Pada [[geometri aljabar]], '''ruang singgung Zariski''' () didefinisikan sebagai ruang tangen pada titik ''P'' di suatu [[varietas aljabar]] ''V.'' Konstruksi geometris ini tidak menggunakan [[kalkulus]] ataupun [[derivatif]], dan hanya didasarkan pada [[aljabar abstrak]]. Versi konkret dari ruang singgung Zariski dapat diilustrasikan dengan menggunakan [[sistem persamaan linear]].

== Motivasi ==
Definisikan kurva ''C'' pada suatu bidang berdimensi dua melalui persamaan [[polinomial]] berikut,

: ''F(X,Y)=0''

dan representasikan ''P'' sebagai titik asal (0, 0). Jika suku-suku dengan derajat total lebih daripada satu pada ''F(X, Y)'' dihilangkan, kita akan memeroleh "versi linear" dari ''F(X, Y).'' Misalkan

: ''L(X,Y)=0''

adalah "versi linear" dari ''F(X, Y)'' yang dideskripsikan sebelumnya.

Maka, ''L'' bernilai konstan 0 atau merepresentasikan suatu persamaan garis. Pada kasus ''L'' bernilai konstan 0, ruang singgung (Zariski) dari kurva ''C'' di titik (0, 0) adalah seluruh bidang, yang dapat dipandang sebagai ruang afin berdimensi dua. Jika ''L'' merupakan garis, maka ruang tangen dari kurva ''C'' adalah garis ''L'' itu sendiri, dengan menganggap ''L'' sebagai ruang afin. Jika ''P'' bukan lagi titik asal dan merupakan sembarang titik di ''C,'' lebih tepat mengatakan bahwa ruang singgung di titik ''P'' adalah ruang afin dan ''P'' merupakan kandidat titik asal yang natural untuk ruang ini daripada sebagai ruang vektor.

Pada [[Bilangan riil|lapangan real]], ruang ''L'' dapat dicari dengan menggunakan [[turunan parsial]] pertama ''F''. Jika turunan parsial pertama ''F'' terhadap ''X'' dan ''Y'' di titik ''P'' bernilai 0, maka ''P'' disebut titik singular (titik ganda, taring, atau mungkin lebih rumit). Secara umum, titik ''P'' disebut titik singular kurva ''C'' apabila dimensi ruang singgungnya adalah dua.

== Definisi ==
'''Ruang ko-singgung''' (''cotangent space'') dari gelanggang lokal <math>R</math>, dengan ideal maksimal <math>\mathfrak{m}</math> didefinisikan sebagai

: <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>

Modul ini dapat dipandang sebagai [[ruang vektor]]-<math>k</math> dengan <math>k</math> adalah lapangan residu ''<math>R/\mathfrak{m}</math>''. Dual dari ruang kotangen (sebagai ruang vektor-<math>k</math>) disebut ruang tangen dari <math>R</math>''.''

Definisi ini merupakan perumuman contoh di atas ke dimensi yang lebih tinggi: misalkan <math>V</math> merupakan varietas aljabar afin dan <math>v</math> adalah titik di <math>V</math>. Secara konkret, modulo ''<math>\mathfrak{m}^2</math>'' pada definisi ruang kotangen dapat dipandang sebagai proses menghapus suku-suku nonlinear dari persamaan yang mendefinisikan <math>V</math> dalam ruang afin. Hal ini analog dengan apa yang kita lakukan pada bagian Motivasi laman ini untuk memeroleh sistem persamaan linear yang mendefinisikan ruang singgung.

Ruang singgung <math>T_P(X)</math> dan ruang ko-singgung <math>T_P^*(X)</math> dari skema <math>X</math> di titik <math>P</math> adalah ruang (ko-)singgung dari gelanggang lokal <math>\mathcal{O}_{X, P}</math>. Karena [[fungtor]] <math>\operatorname{Spec}</math> fungtorial, homomorfisme faktor alami <math>f:R \to R/I</math> menginduksi homomorfisme <math>g:\mathcal{O}_{X,f^{-1}(P)}\rightarrow \mathcal{O}_{Y,P}</math> dengan <math>X=\operatorname{Spec} R</math> dan <math>P</math> adalah suatu titik di <math>Y=\operatorname{Spec} R/I</math>. Homomorfisme ini digunakan untuk "memasukkan" ruang tangen <math>T_P(Y)</math> ke dalam ruang tangen <math>T_{f^{-1}P}(X)</math> . Karena homomorfisme dari lapangan bersifat injektif, homomorfisme surjektif lapangan residu yang diinduksi oleh <math>g</math> merupakan suatu [[isomorfisme]]. Dengan demikian, <math>g</math> menginduksi morfisme-<math>k</math> antar ruang ko-singgung yang didefinisikan melalui
: <math>\mathfrak{m}_P/\mathfrak{m}_P^2</math>
: <math>\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/I)/((\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)/I)</math>
: <math>\cong \mathfrak{m}_{f^{-1}P}/(\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2+I)</math>
: <math>\cong (\mathfrak{m}_{f^{-1}P}/\mathfrak{m}_{f^{-1}P}^2)/\mathrm{Ker}(k).</math>

Karena pemetaan ini adalah surjektif, [[Transpos|transpose]] <math>k^*:T_P(Y) \rarr T_{f^{-1}P}(X)</math> bersifat injektif.

(Sering kali ruang singgung dan ko-singgung untuk manifold didefinisikan dengan cara yang analog.)

== Fungsi analitik ==
Misalkan <math>V</math> adalah subvarietas dari ruang vektor berdimensi <math>n</math> yang didefinisikan oleh ideal <math>I</math>, sehingga <math>R=F_n/I</math>, dengan <math>F_n</math> adalah gelanggang fungsi mulus/analitik/holomorfik pada ruang vektor tersebut. Ruang singgung Zariski di titik <math>x</math> adalah

<math>\mathfrak{m}_x/(I+\mathfrak{m}_x^2)</math>,

dengan <math>\mathfrak{m}_x</math> adalah ideal maksimal yang berisi fungsi-fungsi di <math>F_n</math> yang lenyap di <math>x</math>.

== Sifat ==
Jika <math>(R, \mathfrak{m})</math> adalah gelanggang Noether lokal, dimensi dari ruang tangen bernilai lebih besar atau sama dengan dimensi Krull dari <math>R</math>:

<math>\dim m/m^2 \geq \dim R</math>

Gelanggang <math>R</math> adalah '''gelanggang regular''' jika kesamaan terjadi. Dalam geometri aljabar, jika <math>R</math> adalah gelanggang lokal pada varietas <math>V</math> di titik <math>v</math> dan <math>R</math> merupakan gelanggang regular, maka titik <math>v</math> disebut titik regular. Jika <math>v</math> bukan merupakan titik regular, maka titik <math>v</math> disebut '''titik singular.'''

Ruang tangen Zariski juga memiliki interpretasi melalui <math>\operatorname{Spec} k[t]/(t^2)</math>. Misalkan <math>X</math> adalah skema-<math>k</math> dan <math>x</math> adalah titik rasional-<math>k</math> di <math>X</math>. Maka, morfisme-<math>k</math> dari <math>\operatorname{Spec} k[t]/(t^2)</math> ke skema <math>X</math> dengan imej <math>\{x\}</math> berkorespondensi satu-satu dengan elemen yang ada pada ruang tangen Zariski di titik <math>x</math>.

Secara umum, dimensi ruang tangen Zariski dapatmenjadi sangat besar. Sebagai contoh, misalkan <math>C^1(\mathbf{R})</math> adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di <math>\mathbf{R}</math>. Misalkan <math>R=C^1_0(\mathbf{R})</math> adalah gelanggang fungsi bernilai real yang memiliki turunan yang kontinu di titik asal. Maka, <math>R</math> adalah gelanggang lokal dengan ideal maksimal <math>\mathfrak{m}</math> terdiri atas fungsi-fungsi di <math>R</math> yang bernilai nol di titik asal. Fungsi-fungsi berbentuk <math>x^{\alpha}</math> dengan <math>\alpha \in (1, 2)</math> membentuk himpunan [[Kebebasan linear|bebas linear]] di ruang kotangen Zariski <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>, sehingga dimensi dari <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m^2}</math> memiliki dimensi minimal <math>\mathfrak{c}</math>, kardinalitas dari kontinuum. Maka, dimensi dari ruang tangen Zariski <math>(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^*</math> bernilai minimal <math>2^{\mathfrak{c}}</math>. Di sisi lain, gelanggang fungsi mulus di suatu titik pada manifold berdimensi <math>n</math> merupakan ruang kotangen Zariski berdimensi-<math>n</math>.[https://mathoverflow.net/questions/44705/cardinalities-larger-than-the-continuum-in-areas-besides-set-theory/44733#44733]

== Referensi ==

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+singgung+Zariski&oldid=29318264 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29318264 (2026-06-06T05:10:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.