Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T03:56:50Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28457879; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T03:16:21Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28457879; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

'''Ruang vektor''' adalah [[struktur matematika]] yang dibentuk oleh sekumpulan [[vektor]], yaitu objek yang dapat [[penjumlahan vektor|dijumlahkan]] dan [[perkalian skalar|dikalikan]] dengan suatu bilangan, yang dinamakan ''skalar''. Skalar sering adalah [[bilangan riil]], tetapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan [[bilangan kompleks]], [[bilangan rasional]], atau bahkan [[medan (matematika)|medan]]. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor mesti memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan ''[[aksioma]]''. Contoh ruang vektor adalah [[vektor Euklides]] yang sering digunakan untuk melambangkan besaran [[fisika]] seperti [[gaya]]. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil adalah vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Ruang vektor merupakan subjek dari [[aljabar linear]], dan dipahami dengan baik dari sudut pandang ini, karena ruang vektor dicirikan oleh dimensinya, yang menspesifikasikan banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga ditingkatkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti [[norma (matematika)|norma]] atau [[hasilkali dalam]]. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam [[analisis matematika]], dalam bentuk [[ruang fungsi]] berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]].

Secara historis, gagasan awal yang berbuah pada konsep ruang vektor dapat dilacak dari [[geometri analitik]] abad ke-17, [[matriks (matematika)|matriks]], sistem [[persamaan linear]], dan vektor Euklides. Pembahasan modern yang lebih abstrak pertama kali dirumuskan oleh [[Giuseppe Peano]] pada akhir abad ke-19, yang meliput objek lebih umum daripada [[ruang Euklides]], tetapi kebanyakan teori tersebut dapat dipandang sebagai perluasan gagasan geometri klasik seperti [[garis]], [[bidang]], dan analognya yang berdimensi lebih tinggi.

Saat ini, ruang vektor diterapkan di seluruh bidang matematika, [[sains]] dan [[rekayasa]]. Ruang vektor adalah konsep aljabar linear yang sesuai untuk menghadapi sistem persamaan linear, menawarkan kerangka kerja untuk [[deret Fourier]] (yang digunakan dalam pemampatan citra), atau menyediakan lingkungan yang dapat digunakan untuk teknik solusi [[persamaan diferensial parsial]]. Lebih jauh lagi, ruang vektor memberikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk berurusan dengan objek geometris dan fisis seperti [[tensor]]. Pada gilirannya ini memungkinkan pemeriksaan sifat lokal ''manifold'' menggunakan teknik pelinearan. Ruang vektor dapat dirampatkan ke beberapa arah, dan menghasilkan konsep lebih lanjut dalam [[geometri]] dan [[aljabar abstrak]].

== Pendahuluan dan definisi ==
Konsep ruang vektor pertama-tama akan dijelaskan dengan menjelaskan dua contoh khusus:

=== Contoh pertama: panah suatu bidang ===
Contoh pertama ruang vektor terdiri dari [[panah (simbol)|panah]] dalam [[bidang (geometri)|bidang]] tetap, dimulai dari satu titik tetap. Ini digunakan dalam fisika untuk menjelaskan [[gaya]] s atau [[kecepatan]]. Diberikan dua panah seperti, dan , [[jajaran genjang]] yang direntang oleh dua panah ini berisi satu panah diagonal yang juga dimulai dari titik awal. Panah baru ini disebut '' jumlah '' dari dua panah, dan dilambangkan . Dalam kasus khusus dari dua anak panah pada garis yang sama, jumlahnya adalah panah pada garis ini yang panjangnya adalah jumlah atau perbedaan panjangnya, tergantung pada apakah panah tersebut memiliki arah yang sama. Operasi lain yang dapat dilakukan dengan panah adalah penskalaan: diberikan [[bilangan riil]] positif, panah yang searah dengan , tetapi dilatasi atau dikecilkan dengan mengalikan panjangnya dengan , disebut '' perkalian '' dari dengan . Itu dilambangkan . Jika negatif, didefinisikan sebagai panah yang menunjuk ke arah yang berlawanan.

Berikut ini adalah beberapa contoh: jika , vektor yang dihasilkan memiliki arah yang sama dengan , tetapi direntangkan menjadi dua kali lipat panjang (gambar kanan bawah). Sama halnya, adalah jumlah . Bahkan, memiliki arah berlawanan dan panjang yang sama (vektor biru menunjuk ke bawah pada gambar kanan).

=== Contoh kedua: pasangan angka yang diurutkan ===
Contoh kunci kedua dari ruang vektor disediakan oleh pasangan bilangan riil dan . (Urutan komponen dan signifikan, sehingga pasangan seperti itu juga disebut [[pasangan terurut]].) Pasangan seperti itu ditulis sebagai . Penjumlahan dari dua pasangan tersebut dan perkalian pasangan dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut:

<math> (x_1 , y_1) + (x_2 , y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)</math>

dan

<math> a(x, y)=(ax, ay)</math> .

Contoh pertama di atas berkurang menjadi yang satu ini, jika panah diwakili oleh pasangan [[koordinat Kartesius]] dari titik ujungnya.

== Definisi ==
Dalam artikel ini, vektor direpresentasikan dengan huruf tebal untuk membedakannya dari skalar.

Sebuah ruang vektor di atas [[bidang (matematika)|bidang]] adalah [[himpunan (matematika)|himpunan]] bersama dengan dua operasi yang memenuhi delapan aksioma tercantum di bawah ini. Berikut ini, menunjukkan [[produk Cartesian]] dari dengan dirinya sendiri, dan menunjukkan [[Fungsi (matematika)#Peta|pemetaan]] dari satu himpunan ke himpunan lainnya.

Elemen biasanya disebut '' vektor ''. Elemen biasanya disebut '' skalar ''. Simbol umum untuk menunjukkan ruang vektor termasuk <math> U </math>, <math> V </math> dan <math> W </math>.

Dalam dua contoh di atas, bidang adalah bidang dari bilangan real, dan himpunan vektor terdiri dari panah planar dengan titik awal tetap dan pasangan bilangan real.

Untuk memenuhi syarat sebagai ruang vektor, himpunan dan operasi penjumlahan dan perkalian harus mematuhi sejumlah persyaratan yang disebut [[aksioma]]. Ini tercantum dalam tabel di bawah ini, di mana , dan menunjukkan vektor arbitrer di , dan dan menunjukkan skalar di .

Aksioma ini menggeneralisasi properti vektor yang diperkenalkan pada contoh di atas. Memang, hasil penjumlahan dua pasangan berurutan (seperti contoh kedua di atas) tidak bergantung pada urutan penjumlahan:
:.

Demikian juga, dalam contoh geometris vektor sebagai panah, karena jajar genjang yang menentukan jumlah vektor tidak bergantung pada urutan vektor. Semua aksioma lainnya dapat diverifikasi dengan cara yang sama pada kedua contoh. Jadi, dengan mengabaikan sifat konkret dari jenis vektor tertentu, definisi menggabungkan dua dan lebih banyak contoh dalam satu pengertian ruang vektor.

Pengurangan dua vektor dan pembagian dengan skalar (bukan nol) dapat didefinisikan sebagai
: <math>\begin{align}
\mathbf{v} - \mathbf{w} &= \mathbf{v} + (-\mathbf{w}) \\
\frac{\mathbf{v}}{a} &= \frac{1}{a}\mathbf{v}
\end{align}</math>.

Ketika bidang skalar adalah [[bilangan real]] , ruang vektor disebut '' ruang vektor nyata ''. Jika bidang skalar adalah [[bilangan kompleks]] , ruang vektor disebut '' ruang vektor kompleks ''. Kedua kasus ini adalah yang paling sering digunakan dalam bidang teknik. Definisi umum ruang vektor memungkinkan skalar menjadi elemen dari setiap [[bidang (matematika)|bidang]] tetap. Gagasan tersebut kemudian dikenal sebagai -'' ruang vektor '' atau '' ruang vektor di atas ''. Bidang pada dasarnya adalah sekumpulan angka yang memiliki operasi [[penambahan]], [[pengurangan]], [[perkalian]] dan [[pembagian (matematika)|pembagian]]. Misalnya, [[bilangan rasional]] membentuk suatu bidang.

Berbeda dengan intuisi yang berasal dari vektor pada bidang dan kasus berdimensi lebih tinggi, dalam ruang vektor umum, tidak ada gagasan tentang [[lingkungan (topologi)|kedekatan]], [[sudut]] atau [[jarak]]. Untuk menangani hal-hal tersebut, jenis ruang vektor tertentu diperkenalkan; lihat [[#Ruang vektor dengan struktur tambahan|Ruang vektor dengan struktur tambahan]] di bawah untuk informasi selengkapnya.

== Rumus alternatif dan konsekuensi dasar ==
Penjumlahan vektor dan perkalian skalar adalah operasi, memenuhi sifat [[penutupan (matematika)|penutupan]]: dan berada di untuk pada , dan , ke . Beberapa sumber yang lebih tua menyebutkan sifat-sifat ini sebagai aksioma yang terpisah.

Dalam bahasa [[aljabar abstrak]], empat aksioma pertama ekivalen dengan mensyaratkan himpunan vektor menjadi [[grup Abelian]] di bawah tambahan. Aksioma yang tersisa memberi grup ini struktur -[[Modul (matematika)|modul]]. Dengan kata lain, ada [[ring homomorphism]] dari bidang ke dalam [[gelanggang endomorfisme]] dari grup vektor. Kemudian perkalian skalar didefinisikan sebagai .

== Sejarah ==

Ruang vektor berasal dari [[geometri affine]], melalui pengenalan [[koordinat]] pada bidang atau ruang tiga dimensi. Sekitar 1636, ahli matematika Prancis [[René Descartes]] dan [[Pierre de Fermat]] mendirikan [[geometri analitik]] dengan mengidentifikasi solusi persamaan dua variabel dengan titik-titik pada bidang [[kurva]]. Untuk mencapai solusi geometris tanpa menggunakan koordinat, [[Bernhard Bolzano|Bolzano]] diperkenalkan, pada tahun 1804, operasi tertentu pada titik, garis dan bidang, yang merupakan pendahulu vektor. This work was made use of in the conception of [[Barycentric coordinates (mathematics)|barycentric coordinates]] by [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] in 1827. Landasan dari definisi vektor adalah [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] 'pengertian bipoint, segmen berorientasi salah satu ujungnya adalah asal dan yang lain target. Vektor dipertimbangkan kembali dengan penyajian [[bilangan kompleks]] oleh [[Jean-Robert Argand|Argand]] dan [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] dan dimulainya [[Kuarternion]] oleh yang terakhir. Mereka adalah elemen dalam '''R'''2 dan '''R'''4; memperlakukan mereka menggunakan [[kombinasi linier]] s kembali ke [[Laguerre]] pada tahun 1867, yang juga mendefinisikan [[sistem persamaan linear]].

Pada tahun 1857, [[Arthur Cayley|Cayley]] memperkenalkan [[notasi matriks]] yang memungkinkan harmonisasi dan penyederhanaan [[peta linear]]. Sekitar waktu yang sama, [[Grassmann]] mempelajari kalkulus barycentric yang diprakarsai oleh Mbius. Dia membayangkan kumpulan objek abstrak yang diberkahi dengan operasi. Dalam karyanya, konsep [[kebebasan linear]] dan [[dimensi]], serta [[produk skalar]] hadir. Sebenarnya karya Grassmann tahun 1844 melebihi kerangka vektor ruang, karena perkaliannya yang mempertimbangkan, juga, membawanya ke apa yang sekarang disebut [[aljabar]]. Matematikawan Italia [[Guiseppe Peano|Peano]] adalah orang pertama yang memberikan definisi modern ruang vektor dan peta linier pada tahun 1888.

Perkembangan penting dari ruang vektor adalah karena pembangunan [[ruang fungsi]] oleh [[Henri Lebesgue]]. Ini kemudian diresmikan oleh [[Stefan Banach|Banach]] dan [[David Hilbert|Hilbert]], sekitar 1920. Pada saat itu, [[aljabar]] dan bidang baru [[analisis fungsional]] mulai berinteraksi, terutama dengan konsep-konsep kunci seperti [[Ruang Lp|Ruang Lp]] dan [[ruang Hilbert]]. Juga pada saat ini, studi pertama tentang ruang vektor berdimensi tak hingga telah dilakukan.

== Contoh ==

=== Ruang koordinat ===
Contoh paling sederhana dari ruang vektor di atas bidang adalah bidang itu sendiri, dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian standarnya. Lebih umum lagi, semua [[tupel|-tupel]] (urutan panjang )
:
dari elemen membentuk ruang vektor yang biasanya dilambangkan dan disebut '''ruang koordinat'''.
Kasus adalah contoh paling sederhana yang disebutkan di atas, di mana bidang juga dianggap sebagai ruang vektor di atasnya. Kasus and telah dibahas dalam pendahuluan di atas.

=== Bilangan kompleks dan ekstensi bidang lainnya ===
Himpunan [[bilangan kompleks]] , Artinya, angka yang bisa dituliskan dalam bentuk untuk [[bilangan real]] dan di mana adalah [[satuan imajiner]] , bentuk ruang vektor di atas real dengan penjumlahan dan perkalian seperti biasa: dan untuk bilangan real , , , dan . Berbagai aksioma ruang vektor mengikuti fakta bahwa aturan yang sama berlaku untuk [[aritmetika]] bilangan kompleks.

Faktanya, contoh bilangan kompleks pada dasarnya sama (yaitu '' isomorfik '') dengan ruang vektor pasangan terurut bilangan real yang disebutkan di atas: jika kita memikirkan bilangan kompleks sebagai mewakili urutan di [[bidang kompleks]] kemudian kita melihat bahwa aturan penjumlahan dan perkalian skalar sama persis dengan yang ada di contoh sebelumnya.

Secara lebih umum, [[ekstensi bidang]] menyediakan kelas lain dari contoh ruang vektor, terutama dalam aljabar dan [[teori bilangan aljabar]]: bidang berisi [[Ekstensi bidang|bidang lebih kecil]] adalah ruang vektor-, dengan operasi perkalian dan penjumlahan yang diberikan . Misalnya, bilangan kompleks adalah ruang vektor , dan ekstensi bidang <math>\mathbf{Q}(i\sqrt{5})</math> adalah vektor ruang atas .

=== Ruang fungsi ===

Fungsi dari himpunan tetap ke bidang juga membentuk ruang vektor, dengan melakukan penjumlahan dan perkalian skalar searah jarum jam. Artinya, jumlah dari dua fungsi dan adalah fungsi diberikan oleh
:,
dan juga untuk perkalian. Ruang fungsi seperti itu terjadi dalam banyak situasi geometris, ketika adalah [[garis nyata]] atau [[interval (matematika)|interval]], atau [[himpunan bagian]] lainnya dari . Banyak gagasan dalam [[topologi]] dan analisis, seperti [[fungsi kontinu|kontinuitas]], [[integral|integrabilitas]] atau [[diferensiabilitas]] berperilaku baik sehubungan dengan linearitas: penjumlahan dan kelipatan skalar dari fungsi yang memiliki sifat seperti itu masih memiliki sifat itu. Oleh karena itu, himpunan fungsi tersebut adalah ruang vektor. Mereka dipelajari secara lebih rinci menggunakan metode [[analisis fungsional]], lihat [[#label Analisis Fungsional|di bawah]]. Batasan aljabar juga menghasilkan ruang vektor: [[gelanggang polinomial|ruang vektor ]] diberikan oleh [[fungsi polinomial]]:
:, dimana [[koefisien]] berada di .

=== Persamaan linear ===

Sistem [[persamaan linear homogen]] s terkait erat dengan ruang vektor. For example, the solutions of
:
diberikan dengan tiga kali lipat dengan sembarang , , dan . Mereka membentuk ruang vektor: penjumlahan dan kelipatan skalar dari tiga kali lipat masih memenuhi rasio yang sama dari ketiga variabel; jadi mereka juga solusi. [[matriks (matematika)|Matriks]] dapat digunakan untuk memadatkan beberapa persamaan linier seperti di atas menjadi satu persamaan vektor, yaitu
:,
dimana <math>\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
4 & 2 & 2\end{bmatrix}</math> is matriks yang berisi koefisien dari persamaan yang diberikan, adalah vektor , menunjukkan [[produk matriks]], dan adalah vektor nol. Dengan nada yang sama, solusi dari '' persamaan diferensial linier '' homogen membentuk ruang vektor. Sebagai contoh,
:
hasil , dimana dan adalah konstanta arbitrer, dan adalah [[fungsi eksponensial alami]].

== Definisi formal ==
Sebuah ''ruang vektor'' (atas [[Medan (matematika)|medan]] ''F'') adalah [[himpunan]] ''V'', bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dan memenuhi [[aksioma|aksioma-aksioma]] berikut (untuk semua <math>\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V </math> dan <math>a,b\in F</math>):

== Dalam peta linear ==

Kasus khusus yang penting adalah ketika , di mana peta linearnya disebut '''[[endomorfisme]]''' (linear) dari . Terkadang istilah '''operator linear''' dipakai untuk kasus ini. Dalam kebiasaan yang lain, ''operator linear'' membolehkan dan yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor [[Bilangan real|real]]. Terkadang istilah ''[[fungsi linear]]'' memiliki arti yang sama dengan ''peta linear'', sedangkan dalam [[geometri analisis]] artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan [[subruang linear]] ke subruang linear (mungkin dengan [[Dimensi (ruang vektor)|dimension]] yang lebih rendah); contohnya pemetaan sebuah [[Bidang (geometri)|bidang]] yang melalui [[titik nol]] ke sebuah bidang, [[garis lurus]] atau [[Titik (geometri)|titik]]. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai [[matriks (matematika)|matriks]], dan contoh sederhananya adalah transformasi linear [[rotasi (matematika)|rotasi]] dan [[pencerminan (matematika)|pencerminan]].

Dalam bahasa [[aljabar abstrak]], sebuah peta linear merupakan sebuah [[homoformisme modul]]. Dalam bahasa [[teori kategori]], sebuah peta linear merupakan sebuah [[morfisme]] dalam [[kategori modul]] pada sebuah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]].

== Lihat pula ==
*[[Vektor (matematika dan fisika)]], untuk daftar berbagai macam vektor

*[[Sistem koordinat Kartesius]]
*[[Ruang vektor bertingkat]]

*[[Ruang metrik]]
*[[Vektor-P]]
*[[Teorema Riesz–Fischer]]

*[[Ruang (matematika)]]
*[[Ruang vektor urutan]]

== Catatan ==

=== Kutipan ===

== Referensi ==
=== Aljabar ===
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

=== Analisis ===
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

=== Referensi sejarah ===
*
*
*
*
*
* , reprint:
*
*
*
*
* Peano, G. (1901) [[Formulario mathematico]]: [https://archive.org/details/formulairedesmat00pean/page/194 vct axioms] via [[Internet Archive]]

=== Referensi lebih lanjut ===
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

== Pranala luar ==

*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Ruang+vektor&oldid=28457879 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28457879 (2025-11-13T10:09:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Ruang vektor - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28457879; atribusi sumber disertakan.