Rumus Euler - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-24T22:59:19Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 24 Agustus 2026 22.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Euler's_formula.svg\|thumb\|right\|280px\|Euler's formula]]

	Dalam [[matematika]], '''rumus Euler''' dinamakan untuk [[Leonhard Euler]], adalah [[rumus]] matematika dalam [[analisis kompleks]] yang menunjukkan hubungan mendalam antara [[fungsi trigonometri]] dan [[fungsi eksponensial]]. Sebagai catatan, [[identitas Euler]] adalah kasus spesial dari rumus Euler. Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap [[bilangan real]] <math>x</math>,		Dalam [[matematika]], '''rumus Euler''' dinamakan untuk [[Leonhard Euler]], adalah [[rumus]] matematika dalam [[analisis kompleks]] yang menunjukkan hubungan mendalam antara [[fungsi trigonometri]] dan [[fungsi eksponensial]]. Sebagai catatan, [[identitas Euler]] adalah kasus spesial dari rumus Euler. Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap [[bilangan real]] <math>x</math>,

	: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \!</math>		: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \!</math>

	di mana ''<math>e</math>'' adalah [[e (konstanta matematika)\|basis logaritma natural]], ''<math>i</math>'' adalah [[i (unit imajiner)\|unit imajiner]] atau [[satuan imajiner]], <math>\sin</math> dan <math>\cos</math> adalah [[fungsi trigonometri]]. [[Richard Feynman]] menyebut rumus Euler sebagai "''our jewel''" dan "rumus terhebat dalam matematika."		di mana ''<math>e</math>'' adalah [[e (konstanta matematika)\|basis logaritma natural]], ''<math>i</math>'' adalah [[i (unit imajiner)\|unit imajiner]] atau [[satuan imajiner]], <math>\sin</math> dan <math>\cos</math> adalah [[fungsi trigonometri]]. [[Richard Feynman]] menyebut rumus Euler sebagai "''our jewel''" dan "rumus terhebat dalam matematika."<ref>Feynman, hlm. 22-10</ref>

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
Baris 9:		Baris 11:

	== Aplikasi dalam teori bilangan kompleks ==		== Aplikasi dalam teori bilangan kompleks ==
			[[Gambar:Euler's formula.svg\|thumb\|right]]
			[[Gambar:Euler's Formula c.png\|thumb\|upright=1.5\|Visualisasi tiga dimensi dari rumus Euler. Lihat juga [[polarisasi melingkar]].]]
	Rumus ini dapat diartikan mengatakan bahwa fungsinya <math>e^{ix}</math> menelusuri lingkaran satuan dalam [[bilangan kompleks\|bidang bilangan kompleks]] sebagai ''x'' berkisar melalui bilangan real. Di sini, ''<math>x</math>'' adalah [[sudut]] yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik asal dengan titik pada lingkaran satuan dengan sumbu nyata positif, diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian. Rumusnya hanya valid jika fungsi sinus dan kosinus menggunakan argumennya dalam radian, bukan dalam derajat.		Rumus ini dapat diartikan mengatakan bahwa fungsinya <math>e^{ix}</math> menelusuri lingkaran satuan dalam [[bilangan kompleks\|bidang bilangan kompleks]] sebagai ''x'' berkisar melalui bilangan real. Di sini, ''<math>x</math>'' adalah [[sudut]] yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik asal dengan titik pada lingkaran satuan dengan sumbu nyata positif, diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian. Rumusnya hanya valid jika fungsi sinus dan kosinus menggunakan argumennya dalam radian, bukan dalam derajat.

Baris 29:		Baris 31:
	:<math>z=\|z\| e^{i \phi} = e^{\ln \|z\|} e^{i \phi} = e^{\ln \|z\| + i \phi}\,</math>		:<math>z=\|z\| e^{i \phi} = e^{\ln \|z\|} e^{i \phi} = e^{\ln \|z\| + i \phi}\,</math>

	untuk nilai <math>z\ne 0</math>, yang menyiratkan bahwa [[logaritma kompleks]] dari ''<math>z</math>''		untuk nilai <math>z\ne 0</math>, yang menyiratkan bahwa [[logaritma kompleks]] dari ''<math>z</math>''
	: <math>\ln z= \ln \|z\| + i \phi.\,</math>		: <math>\ln z= \ln \|z\| + i \phi.\,</math>

Baris 47:		Baris 49:

	Kedua persamaan di atas dapat diturunkan dengan menambah atau mengurangi rumus Euler:		Kedua persamaan di atas dapat diturunkan dengan menambah atau mengurangi rumus Euler:
	: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>		: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>
	: <math>e^{-ix} = \cos x - i \sin x \;</math>		: <math>e^{-ix} = \cos x - i \sin x \;</math>
	and solving for either cosine or sine.		and solving for either cosine or sine.
Baris 63:		Baris 65:

	== Bukti ==		== Bukti ==
			[[Gambar:Euler's formula proof.gif\|thumb\|upright=1.6\|Animasi pembuktian menggunakan deret Taylor.]]
	Berbagai bukti dari rumus tersebut dimungkinkan.		Berbagai bukti dari rumus tersebut dimungkinkan.

Baris 114:		Baris 116:

	:<math>C</math> adalah [[konstanta integrasi]].		:<math>C</math> adalah [[konstanta integrasi]].


	~~== Referensi ==~~


	* Feynman, Richard P., ''The Feynman Lectures on Physics'', vol. I Addison-Wesley ([[1977]]), ISBN 0-201-02010-6, ISBN 02010211161

	==Pranala luar==		==Pranala luar==
Baris 135:		Baris 131:
	* [[Trigonometri]]		* [[Trigonometri]]

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Euler&oldid=28593171 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28593171 (2025-11-21T20:06:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Euler&oldid=28593171 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28593171 (2025~~-11-~~21T20:06:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28593171; atribusi sumber disertakan.

2026-08-24T22:24:09Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28593171; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''rumus Euler''' dinamakan untuk [[Leonhard Euler]], adalah [[rumus]] matematika dalam [[analisis kompleks]] yang menunjukkan hubungan mendalam antara [[fungsi trigonometri]] dan [[fungsi eksponensial]]. Sebagai catatan, [[identitas Euler]] adalah kasus spesial dari rumus Euler. Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap [[bilangan real]] <math>x</math>,

: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \!</math>

di mana ''<math>e</math>'' adalah [[e (konstanta matematika)|basis logaritma natural]], ''<math>i</math>'' adalah [[i (unit imajiner)|unit imajiner]] atau [[satuan imajiner]], <math>\sin</math> dan <math>\cos</math> adalah [[fungsi trigonometri]]. [[Richard Feynman]] menyebut rumus Euler sebagai "''our jewel''" dan "rumus terhebat dalam matematika."

== Sejarah ==
Rumus Euler dibuktikan (dalam bentuk yang tidak jelas) untuk pertama kalinya oleh [[Roger Cotes]] pada [[1714]], kemudian ditemukan kembali dan dipopulerkan oleh Euler pada [[1748]]. Tidak satu pun dari orang orang melihat interpretasi geometri dari rumus: pandangan bilangan kompleks sebagai titik di bidang muncul hanya sekitar 50 tahun kemudian (lihat [[Caspar Wessel]]).

== Aplikasi dalam teori bilangan kompleks ==

Rumus ini dapat diartikan mengatakan bahwa fungsinya <math>e^{ix}</math> menelusuri lingkaran satuan dalam [[bilangan kompleks|bidang bilangan kompleks]] sebagai ''x'' berkisar melalui bilangan real. Di sini, ''<math>x</math>'' adalah [[sudut]] yang dibuat oleh garis yang menghubungkan titik asal dengan titik pada lingkaran satuan dengan sumbu nyata positif, diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam radian. Rumusnya hanya valid jika fungsi sinus dan kosinus menggunakan argumennya dalam radian, bukan dalam derajat.

Buktinya didasarkan pada [[deret Taylor]] perluasan dari [[fungsi eksponensial]] <math>e^z</math> (di mana <math>z</math> adalah bilangan kompleks) dan dari <math>\sin x</math> dan <math>\cos x</math> untuk bilangan real ''<math>x</math>'' (lihat di bawah). Faktanya, bukti yang sama menunjukkan bahwa rumus Euler berlaku untuk semua bilangan kompleks ''<math>x</math>''.

Rumus Euler dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks pada [[koordinat (matematika dasar)|koordinat polar]]. Bilangan kompleks apa pun ''z''=''x''+''iy'' dapat ditulis sebagai

:<math> z = x + iy = A (\cos \phi + i\sin \phi) = A e^{i \phi} \,</math>

di mana <math> x = \mathrm{Re}(z)</math>, <math> y = \mathrm{Im}(z) \,</math>, <math> A = |z| \,</math>, dan <math>\phi</math> adalah dari sudut-<math>z</math> antara sumbu ''x'' dan vektor <math>z</math> dapat diukur berlawanan arah jarum jam dan dalam [[radian]] yang ditentukan [[hingga]] penambahan 2π.

Menggunakan hukum eksponensial

: <math>e^{a + b} = e^a e^{b}\,</math>

berlaku untuk bilangan kompleks <math>a</math> dan <math>b</math> dan rumus Euler, dapat ditulis

:<math>z=|z| e^{i \phi} = e^{\ln |z|} e^{i \phi} = e^{\ln |z| + i \phi}\,</math>

untuk nilai <math>z\ne 0</math>, yang menyiratkan bahwa [[logaritma kompleks]] dari ''<math>z</math>''
: <math>\ln z= \ln |z| + i \phi.\,</math>

Jadi, logaritma bilangan kompleks adalah [[fungsi multi-nilai]], karena faktanya <math>\phi</math> multi-nilai.

Rumus

: <math>(e^a)^k = e^{a k}, \,</math>

yang dapat dilihat berlaku untuk semua bilangan bulat <math>k</math>, bersama dengan rumus Euler, menyiratkan beberapa [[identitas trigonometri]] serta [[rumus de Moivre]].

== Hubungan dengan trigonometri ==
Rumus Euler memberikan hubungan yang kuat antara [[analisis matematika|analisis]] dan [[trigonometri]], dan memberikan interpretasi dari fungsi sinus dan cosinus sebagai jumlah bobot dari fungsi eksponensial:

: <math>\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}</math>

Kedua persamaan di atas dapat diturunkan dengan menambah atau mengurangi rumus Euler:
: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \;</math>
: <math>e^{-ix} = \cos x - i \sin x \;</math>
and solving for either cosine or sine.

Rumus ini bahkan dapat berfungsi sebagai definisi fungsi trigonometri untuk argumen kompleks ''x''. Contohnya, membiarkan ''x'' = ''iy'', kita punya:

:<math> \cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh(y) </math>

:<math> \sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i \sinh(y).</math>

== Aplikasi lain ==
Dalam [[persamaan diferensial]], fungsinya ''e''''ix'' sering digunakan untuk menyederhanakan derivasi, meskipun jawaban akhirnya adalah fungsi nyata yang melibatkan sinus dan kosinus. [[Identitas Euler]] adalah konsekuensi mudah dari rumus Euler.

Dalam [[teknik kelistrikan]] dan bidang lainnya, sinyal yang berubah secara berkala dari waktu ke waktu sering kali digambarkan sebagai kombinasi fungsi sinus dan kosinus (lihat [[analisis Fourier]]), dan ini lebih mudah diekspresikan sebagai bagian nyata dari fungsi eksponensial dengan eksponen [[bilangan imajiner|imajiner]], menggunakan rumus Euler.

== Bukti ==

Berbagai bukti dari rumus tersebut dimungkinkan.

=== Menggunakan deret Taylor ===
Berikut adalah bukti rumus Euler menggunakan ekspansi [[deret Taylor]]
serta fakta dasar tentang kekuatan ''i'':

: <math>i^0=1 \,</math>
: <math>i^1=i \,</math>
: <math>i^2=-1 \,</math>
: <math>i^3=-i \,</math>
: <math>i^4=1 \,</math>
: <math>i^5=i \,</math>

dan seterusnya. Fungsinya ''e''''x'', cos(''x'') dan sin(''x'') (dengan asumsi '' x '' adalah [[bilangan riil|riil]]) dapat ditulis sebagai:

: <math> e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots </math>

: <math> \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
</math>

: <math> \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
</math>

dan untuk kompleks ''z'' kita ''mendefinisikan'' masing-masing fungsi ini dengan rangkaian di atas, menggantikan ''x'' dengan ''iz''. Kemungkinan karena [[radius konvergensi]] dari setiap deret tidak terbatas. Kami kemudian menemukan itu

: <math>e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots</math>

: <math>= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots</math>

: <math>= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) </math>

: <math>= \cos (z) + i\sin (z) \,</math>

Penataan kembali suku-suku dibenarkan karena setiap deret adalah [[konvergensi absolut|konvergensi mutlak]]. Pengambilan ''z'' = ''x'' menjadi bilangan real memberikan identitas asli saat Euler menemukannya.

[[Q.E.D.]]

=== Menggunakan kalkulus ===
Tentukan bilangan kompleks <math>z</math> seperti yang
:<math>z=\cos x + i\sin x \,</math> (mengabaikan istilah modulus, karena ini akan dibatalkan nanti)
Membedakan <math>z</math> sehubungan dengan <math>x</math>:
:<math>\frac{dz}{dx}=-\sin x + i\cos x</math>
Menggunakan fakta ''i''2 = -1:
:<math>\frac{dz}{dx}=i^2\sin x + i\cos x=i(\cos x + i\sin x)=iz</math>
Memisahkan variabel dan mengintegrasikan kedua sisi:
:<math>\int\frac{1}{z}\,dz=\int i\,dx</math>
:<math>\ln z=ix + C\,</math>
di mana

:<math>C</math> adalah [[konstanta integrasi]].

== Referensi ==

* Feynman, Richard P., ''The Feynman Lectures on Physics'', vol. I Addison-Wesley ([[1977]]), ISBN 0-201-02010-6, ISBN 02010211161

==Pranala luar==
*[http://agutie.homestead.com/files/Eulerformula.htm Euler and his beautiful and extraordinary formula] by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
*[http://agutie.homestead.com/files/Puzzle_EulerFormula.htm Euler's Formula - Puzzle: 55 pieces in a six star style of piece] by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
*[http://www.DJTricities.com/eulers Detailed Proof of Euler's Relation] by Craig Lewis.
*[http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/mdft/Proof_Euler_s_Identity.html Proof of Euler's Formula] by Julius O. Smith III
*[http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2006/02/eulers-formula.html Euler's Formula and Fermat's Last Theorem]

== Lihat pula ==
* [[Leonhard Euler]]
* [[Identitas Euler]]
* [[Bilangan kompleks]]
* [[Fungsi eksponensial]]
* [[Trigonometri]]

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Euler&oldid=28593171 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28593171 (2025-11-21T20:06:34Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.