Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T13:59:22Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 13.59
Baris 1:		Baris 1:
			[[File:Francois_Viete.jpeg\|thumb\|right\|280px\|Francois Viete]]

	Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta''' atau '''teorema Vieta''' adalah sekumpulan [[rumus]] yang menghubungkan antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai [[Akar fungsi\|akar-akarnya]]. Rumus ini dinamai dari [[François Viète]] (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").		Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta''' atau '''teorema Vieta''' adalah sekumpulan [[rumus]] yang menghubungkan antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai [[Akar fungsi\|akar-akarnya]]. Rumus ini dinamai dari [[François Viète]] (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

Baris 110:		Baris 112:
	Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh [[matematikawan]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif.		Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh [[matematikawan]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif.

	Menurut pendapat matematikawan asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]:		Menurut pendapat matematikawan asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti yang dikutip oleh Funkhouser,<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Vieta&oldid=26187406 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]:
	<blockquote>...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.</blockquote>		<blockquote>...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.</blockquote>

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Bagian primitif dan konten]]		* [[Bagian primitif dan konten]]
	* [[Aturan tanda Descartes]]		* [[Aturan tanda Descartes]]
Baris 122:		Baris 123:
	* [[Teorema akar rasional]]		* [[Teorema akar rasional]]
	* [[Polinomial simetris]] dan [[polinomial simetri elementer]]		* [[Polinomial simetris]] dan [[polinomial simetri elementer]]

	~~== Referensi ==~~

	*
	*
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	*		*

			== Referensi ==
			<references />

			== Sumber dan atribusi ==

	== ~~Sumber~~ dan ~~atribusi ==~~		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Vieta&oldid=26187406 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26187406 (2024-08-19T06:53:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

	~~Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Vieta&oldid=26187406 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26187406 (2024~~-08-~~19T06:53:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi~~-~~BerbagiSerupa (CC BY~~-~~SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.~~		<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26187406; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:22:01Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26187406; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''rumus Vieta''' atau '''teorema Vieta''' adalah sekumpulan [[rumus]] yang menghubungkan antara [[koefisien]] pada [[polinomial]] dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai [[Akar fungsi|akar-akarnya]]. Rumus ini dinamai dari [[François Viète]] (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

== Rumus dasar ==
Misalkan <math>n \in \mathbb{N}</math> dan <math>a_n \neq 0</math>. Menurut [[teorema dasar aljabar]], maka setiap polinomial yang [[Derajat polinomial|berderajat]] <math>n</math> dengan koefisien [[bilangan riil]]
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \, \ldots \, + a_1 x + a_0</math>
dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \left( x - x_3 \right) \ldots \left( x - x_n \right)</math>
dengan <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan [[bilangan kompleks|bilangan-bilangan kompleks]] yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> sebagai berikut:
<math display="block">\begin{align}
- \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= x_1 + x_2 + \ldots + x_{n - 1} + x_n \\
\dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_1 x_n \\
&\phantom{=} + x_2 x_3 + x_2 x_4 + \cdots + x_2 x_n + \cdots + x_{n - 1} x_n \\
&\phantom{=} \vdots \\
\left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= x_1 x_2 x_3 \cdot \ldots \cdot x_n
\end{align}</math>
Dengan menggunakan [[notasi Sigma]] dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai
<math display="block">\begin{align}
- \dfrac{a_{n - 1}}{a_n} &= \sum_{i \, = \, 1}^n x_i \\
\dfrac{a_{n - 2}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j \\
&= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^2 x_{i_j} \right) \\
- \dfrac{a_{n - 3}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_i x_j x_k \\
&= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < i_3 \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^3 x_{i_j} \right) \\
&\vdots \\
\left( -1 \right)^k \dfrac{a_{n - k}}{a_n} &= \sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_k \leq n} \left( \prod_{j \, = \, 1}^k x_{i_j} \right) \\
&\vdots \\
\left( -1 \right)^n \dfrac{a_0}{a_n} &= \prod_{j \, = \, 1}^n x_j
\end{align}</math>
Perhatikan bahwa <math>i_1</math> sampai dengan <math>i_k</math> diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari <math>k</math> akar digunakan tepat satu kali.

[[Ruas dari suatu persamaan|Ruas kanan]] dari rumus Vieta disebut sebagai [[polinomial simetri elementer]] dalam <math>n</math> variabel.

== Perumuman gelanggang ==
Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu [[ranah integral]] <math>R</math>. Maka, hasil bagi <math>\dfrac{a_i}{a_n}</math> akan termuat pada [[lapangan pecahan]] dari <math>R</math> (dan mungkin saja pada <math>R</math> itu sendiri, jika <math>a_n</math> merupakan [[unit (teori gelanggang)|elemen unit]] pada <math>R</math>) dan akarnya <math>x_i</math> diambil pada perluasan [[lapangan yang tertutup secara aljabar]]. Biasanya, <math>R</math> merupakan [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] [[bilangan bulat]], lapangan pecahannya merupakan [[Lapangan (matematika)|lapangan]] [[bilangan rasional]], dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan [[bilangan kompleks]].

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas [[gelanggang komutatif]] yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika <math>a_n</math> bukan merupakan [[pembagi nol]] dan <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>. Sebagai contoh, [[fungsi kuadrat]]
<math display="block">P(x) = x^2 - 1</math>
memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat [[Aritmetika modular|modulo]] 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih <math>x_1 = 1</math> dan <math>x_2 = 3</math>, sebab <math>P(x) \neq \left( x - 1 \right) \left( x - 3 \right)</math>. Akan tetapi, <math>P(x)</math> dapat difaktorkan menjadi <math>\left( x - 1 \right) \left( x - 7 \right)</math> atau <math>\left( x - 3 \right) \left( x - 5 \right)</math>, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}</math> atau <math>\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}</math>.

== Contoh ==
Rumus Vieta saat diterapkan pada [[fungsi kuadrat|polinomial kuadrat]] dan [[fungsi kubik|kubik]]:

Akar-akar <math>x_1</math> dan <math>x_2</math> dari polinomial kuadrat <math>P(x) = ax^2 + bx + c</math> akan memenuhi persamaan
<math display="block">\begin{align}
x_1 + x_2 &= - \dfrac{b}{a} \\
x_1 x_2 &= \dfrac{c}{a}
\end{align}</math>

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi <math>P</math>; lihat .

Akar-akar <math>x_1</math>, <math>x_2</math> dan <math>x_3</math> dari polinomial kubik <math>P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math> akan memenuhi persamaan
<math display="block">\begin{align}
r_1 + r_2 + r_3 &= -\frac{b}{a} \\
r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 &= \frac{c}{a} \\
r_1 r_2 r_3 &= -\frac{d}{a}
\end{align}</math>

== Bukti ==
=== Bukti langsung ===
Menurut [[teorema dasar aljabar]], jika <math>x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n</math> merupakan akar-akar dari polinomial
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0</math>
maka <math>P(x)</math> dapat dinyatakan sebagai
<math display="block">P(x) = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>
Akibatnya, diperoleh persamaan
<math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math>
Rumus Vieta dapat [[Pembuktian matematika|dibuktikan]] dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari <math>x</math>.

Secara formal, jika ekspresi <math>\left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \cdot \ldots \cdot \left( x - x_n \right)</math> dijabarkan, maka terdapat tepat <math>n</math> pilihan biner pada setiap suku (ikutkan <math>x</math> atau <math>- x_i</math>). Jika <math>k</math> pilihan digunakan untuk memilih <math>x</math> sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa <math>n - k</math> faktor lainnya haruslah <math>- x_i</math>. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum <math>\left( -1 \right)^{n - k} \left( x_1 \right)^{b_1} \left( x_2 \right)^{b_2} \cdot \ldots \cdot \left( r_n \right)^{b_n} x^k</math>, dengan <math>b_i</math> bernilai 0 atau 1, tergantung apakah <math>r_i</math> menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat <math>x</math> nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam <math>x_i</math>.

=== Induksi matematika ===
Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan [[Induksi matematika|induksi]] sebagai berikut.
==== Hipotesis ====
Misalkan
# <math>P(x)</math> adalah polinomial berderajat <math>n</math>
# <math>P(x)</math> memiliki akar-akar kompleks <math>\left\{ x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n \right\}</math>
# <math>P(x)</math> memiliki koefisien kompleks <math>\left\{ a_0, \, a_1, \, a_2, \, \ldots, \, a_n \right\}</math>, dengan <math>a_n \neq 0</math>
maka
<math display="block">P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math>
==== Kasus dasar (n = 2) ====
Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan
<math display="block">a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right)</math>
Dengan menggunakan [[sifat distributif]], diperoleh
<math display="block">\begin{align}
a_2 x^2 + a_1 x + a_0 &= a_2 \left( x - x_1 \right) \left( x - x_2 \right) \\
&= a_2 \left( x - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \right) \\
&= a_2 \left( x - \left( x_1 + x_2 \right) x + x_1 x_2 \right)
\end{align}</math>
sehingga kasus dasar terbukti.
==== Langkah induksi ====
Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai <math>n = k</math>, dengan <math>k \geq 2</math>. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk <math>n = k + 1</math>.
<math display="block">P(x) = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
Berdasarkan [[teorema faktor]], maka <math>\left( x - x_{n + 1} \right)</math> dapat difaktorkan dari <math>P(x)</math>, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan
<math display="block">\begin{align}
P(x) &= a_{n + 1} x^{n + 1} + a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 \\
&= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} + \dfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \dfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \dfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \dfrac{a_0}{a_{n + 1}} \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \cdot \dfrac{x^{n + 1} + \tfrac{a_n}{a_{n + 1}} x^n + \tfrac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \ldots + \tfrac{a_1}{a_{n + 1}} x + \tfrac{a_0}{a_{n + 1}}}{x - x_{n + 1}} \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n + c_{n - 1} x^{n - 1} + \, \ldots \, + c_1 x + c_0 \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x - x_{n + 1} \right) \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right. \\
&\phantom{= a_{n + 1}} \left. - x_{n + 1} \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right) \right) \\
&= a_{n + 1} \left( x^{n + 1} - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n + x_{n + 1} \right) x^n + \ldots + \left( -1 \right)^{n + 1} x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n x_{n + 1} \right)
\end{align}</math>
==== Kesimpulan ====
Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus <math>n = k + 1</math>, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang <math>n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 1 \right\}</math>.
<math display="block">a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 = a_n \left( x^n - \left( x_1 + x_2 + \ldots + x_n \right) x^{n - 1} + \, \ldots \, + \left( -1 \right)^n x_1 x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)</math>
Dengan membagi kedua ruas dengan <math>x_n</math>, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

== Sejarah ==
Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh [[matematikawan]] asal [[Prancis]] abad ke-16 [[François Viète]], untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal [[Inggris]] abad ke-18 [[Charles Hutton]], seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 [[Albert Girard]]:
<blockquote>...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.</blockquote>

== Lihat juga ==

* [[Bagian primitif dan konten]]
* [[Aturan tanda Descartes]]
* [[Identitas Newton]]
* [[Teorema Gauss-Lucas]]
* [[Sifat geometris dari akar polinomial]]
* [[Teorema akar rasional]]
* [[Polinomial simetris]] dan [[polinomial simetri elementer]]

== Referensi ==

*
*
*
*

== Pranala luar ==
*

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Rumus+Vieta&oldid=26187406 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 26187406 (2024-08-19T06:53:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Rumus Vieta - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 26187406; atribusi sumber disertakan.