Selisih dua bilangan kuadrat - Riwayat revisi

Maintenance script: Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

2026-08-25T14:09:41Z

Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi

← Revisi sebelumnya		Revisi per 25 Agustus 2026 14.09
Baris 25:		Baris 25:

	== Pendekatan geometris ==		== Pendekatan geometris ==

	Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat diilustrasikan secara geometris sebagai selisih luas dua [[persegi]] pada suatu [[Ruang dimensi 2\|bidang]]. Berdasarkan diagram di sebelah kanan, daerah yang diarsir merupakan selisih dari luas dua bangun persegi, yaitu <math>a^2 - b^2</math>. Di sisi lain, daerah yang diarsir juga dapat dicari luasnya dengan menjumlahkan luas dari dua bangun [[persegi panjang]], yaitu <math>a(a - b) + b(a - b)</math>, yang dapat difaktorkan menjadi <math>(a + b)(a - b)</math>. Akibatnya, diperoleh identitas <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.		Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat diilustrasikan secara geometris sebagai selisih luas dua [[persegi]] pada suatu [[Ruang dimensi 2\|bidang]]. Berdasarkan diagram di sebelah kanan, daerah yang diarsir merupakan selisih dari luas dua bangun persegi, yaitu <math>a^2 - b^2</math>. Di sisi lain, daerah yang diarsir juga dapat dicari luasnya dengan menjumlahkan luas dari dua bangun [[persegi panjang]], yaitu <math>a(a - b) + b(a - b)</math>, yang dapat difaktorkan menjadi <math>(a + b)(a - b)</math>. Akibatnya, diperoleh identitas <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.

	Selain bukti di atas, terdapat cara lain untuk membuktikan selisih dua bilangan kuadrat melalui pendekatan geometris, yang dapat dilihat pada gambar berikut.		Selain bukti di atas, terdapat cara lain untuk membuktikan selisih dua bilangan kuadrat melalui pendekatan geometris, yang dapat dilihat pada gambar berikut.


	# Ekspresi <math>a^2 - b^2</math> dapat diartikan sebagai selisih dari luas dua bangun persegi, dengan <math>a</math> menyatakan panjang dari persegi yang besar, dan <math>b</math> menyatakan panjang dari persegi yang kecil.		# Ekspresi <math>a^2 - b^2</math> dapat diartikan sebagai selisih dari luas dua bangun persegi, dengan <math>a</math> menyatakan panjang dari persegi yang besar, dan <math>b</math> menyatakan panjang dari persegi yang kecil.
Baris 37:		Baris 35:
	# Setelah disusun ulang, dua potongan tadi akan membentuk suatu persegi panjang dengan panjang <math>a + b</math> dan lebar <math>a - b</math>, sehingga luasnya ialah <math>(a + b)(a - b)</math>. Oleh karena persegi panjang ini diperoleh dari penyusunan ulang dari gambar di awal, maka luas keduanya haruslah sama.		# Setelah disusun ulang, dua potongan tadi akan membentuk suatu persegi panjang dengan panjang <math>a + b</math> dan lebar <math>a - b</math>, sehingga luasnya ialah <math>(a + b)(a - b)</math>. Oleh karena persegi panjang ini diperoleh dari penyusunan ulang dari gambar di awal, maka luas keduanya haruslah sama.
	Akibatnya, diperoleh identitas <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.		Akibatnya, diperoleh identitas <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.


	== Penggunaan ==		== Penggunaan ==
Baris 72:		Baris 69:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	sehingga faktor linearnya ialah <math>\left( z + 3i \right)</math> dan <math>\left( z - 3i \right)</math>.		sehingga faktor linearnya ialah <math>\left( z + 3i \right)</math> dan <math>\left( z - 3i \right)</math>.
	Oleh karena kedua faktor yang diperoleh dengan metode ini bersifat [[konjugat kompleks\|saling konjugat]], maka rumus ini dapat digunakan sebagai metode untuk mengalikan suatu bilangan kompleks agar hasilnya merupakan [[bilangan riil]]. Hal ini sering kali dilakukan untuk mendapatkan penyebut bernilai riil pada pecahan bilangan kompleks.		Oleh karena kedua faktor yang diperoleh dengan metode ini bersifat [[konjugat kompleks\|saling konjugat]], maka rumus ini dapat digunakan sebagai metode untuk mengalikan suatu bilangan kompleks agar hasilnya merupakan [[bilangan riil]]. Hal ini sering kali dilakukan untuk mendapatkan penyebut bernilai riil pada pecahan bilangan kompleks.<ref>[http://www.themathpage.com/alg/complex-numbers.htm#conjugates Bilangan kompleks] TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011</ref>

	=== Merasionalkan penyebut ===		=== Merasionalkan penyebut ===
	Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan dalam [[Rasionalisasi (matematika)\|merasionalkan]] pecahan dengan [[Pecahan\|penyebut]] [[Bilangan irasional\|irasional]]. Rumus ini adalah metode untuk menghilangkan (atau setidaknya memindahkan) [[akar bilangan]] dari operasi pembagian yang memuat [[akar kuadrat]]. Sebagai contoh, bagian penyebut dari <math>\dfrac{5}{2 + \sqrt{7}}</math> dapat dirasionalkan sebagai berikut:		Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan dalam [[Rasionalisasi (matematika)\|merasionalkan]] pecahan dengan [[Pecahan\|penyebut]] [[Bilangan irasional\|irasional]].<ref>[http://www.themathpage.com/alg/multiply-radicals.htm Mengalikan akar] TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011</ref> Rumus ini adalah metode untuk menghilangkan (atau setidaknya memindahkan) [[akar bilangan]] dari operasi pembagian yang memuat [[akar kuadrat]]. Sebagai contoh, bagian penyebut dari <math>\dfrac{5}{2 + \sqrt{7}}</math> dapat dirasionalkan sebagai berikut:
	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
	\dfrac{5}{2 + \sqrt{7}} &= \dfrac{5}{\sqrt{7} + 2} \times 1 \\		\dfrac{5}{2 + \sqrt{7}} &= \dfrac{5}{\sqrt{7} + 2} \times 1 \\
Baris 87:		Baris 84:

	=== Mental aritmetika ===		=== Mental aritmetika ===

	Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan sebagai jalan pintas aritmetika. Jika dua bilangan (yang rata-ratanya merupakan bilangan yang dapat dengan mudah dikuadratkan) dikalikan, maka selisih dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk mencari hasil perkalian dari dua bilangan tadi. Misalnya, hasil dari <math>56 \times 64</math> dapat dicari melalui cara berikut:		Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan sebagai jalan pintas aritmetika. Jika dua bilangan (yang rata-ratanya merupakan bilangan yang dapat dengan mudah dikuadratkan) dikalikan, maka selisih dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk mencari hasil perkalian dari dua bilangan tadi. Misalnya, hasil dari <math>56 \times 64</math> dapat dicari melalui cara berikut:
	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
Baris 111:		Baris 107:

	=== Hukum bilangan ganjil Galileo ===		=== Hukum bilangan ganjil Galileo ===

	Salah satu akibat dari selisih dari dua bilangan kuadrat, [[hukum bilangan ganjil Galileo]] menyatakan bahwa jika suatu benda jatuh dalam gravitasi yang seragam tanpa [[gaya gesek]] dalam selang waktu yang sama secara beruntun, maka jarak yang ditempuh oleh benda tersebut berbanding lurus dengan bilangan ganjil. Dengan kata lain, jika sebuah benda terjatuh dari posisi diam dan menempuh jarak tertentu selama selang waktu tertentu, maka benda tersebut akan menempuh jarak 3, 5, 7, (dst.) kali lipat jarak tersebut dalam selang waktu berikutnya (dengan durasi yang sama).		Salah satu akibat dari selisih dari dua bilangan kuadrat, [[hukum bilangan ganjil Galileo]] menyatakan bahwa jika suatu benda jatuh dalam gravitasi yang seragam tanpa [[gaya gesek]] dalam selang waktu yang sama secara beruntun, maka jarak yang ditempuh oleh benda tersebut berbanding lurus dengan bilangan ganjil. Dengan kata lain, jika sebuah benda terjatuh dari posisi diam dan menempuh jarak tertentu selama selang waktu tertentu, maka benda tersebut akan menempuh jarak 3, 5, 7, (dst.) kali lipat jarak tersebut dalam selang waktu berikutnya (dengan durasi yang sama).

	Menurut persamaan untuk percepatan linier seragam, jarak yang ditempuh ialah		Menurut persamaan untuk percepatan linier seragam, jarak yang ditempuh ialah
	<math display="block">s = vt + \dfrac{1}{2} at^2</math>		<math display="block">s = vt + \dfrac{1}{2} at^2</math>
	Saat kecepatan awal <math>v = 0</math>, percepatan <math>a</math> bernilai konstan (percepatan akibat gravitasi tanpa gaya gesek udara), dan durasi <math>t</math>, maka jarak tempuh <math>s</math> berbanding lurus dengan <math>t^2</math> (secara simbolis, maka <math>s \propto t^2</math>), sehingga jarak tempuh dari titik awal merupakan kuadrat sempurna beruntun saat durasinya merupakan [[bilangan bulat]]		Saat kecepatan awal <math>v = 0</math>, percepatan <math>a</math> bernilai konstan (percepatan akibat gravitasi tanpa gaya gesek udara), dan durasi <math>t</math>, maka jarak tempuh <math>s</math> berbanding lurus dengan <math>t^2</math> (secara simbolis, maka <math>s \propto t^2</math>), sehingga jarak tempuh dari titik awal merupakan kuadrat sempurna beruntun saat durasinya merupakan [[bilangan bulat]]<ref>RP Olenick et al., [https://books.google.com/books?id=xMWwTpn53KsC&pg=PA18 ''The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat'']</ref>

	=== Pemfaktoran bilangan bulat ===		=== Pemfaktoran bilangan bulat ===
Baris 124:		Baris 119:

	== Perumuman ==		== Perumuman ==

	Identitas ini juga berlaku pada [[ruang hasil-kali dalam]] atas [[Lapangan (matematika)\|lapangan]] [[bilangan riil]], seperti [[darab bintik]] pada [[vektor Euklides]], yaitu		Identitas ini juga berlaku pada [[ruang hasil-kali dalam]] atas [[Lapangan (matematika)\|lapangan]] [[bilangan riil]], seperti [[darab bintik]] pada [[vektor Euklides]], yaitu
	<math display="block">\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} - \vec{b} \right)</math>		<math display="block">\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} - \vec{b} \right)</math>
Baris 138:		Baris 132:

	=== Selisih dua bilangan pangkat ke-n ===		=== Selisih dua bilangan pangkat ke-n ===

	Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua elemen pada gelanggang komutatif <math>R</math>, maka		Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua elemen pada gelanggang komutatif <math>R</math>, maka
	<math display="block">\begin{align}		<math display="block">\begin{align}
Baris 147:		Baris 140:

	== Sejarah ==		== Sejarah ==
	Secara historis, orang-orang [[Babilonia]] menggunakan selisih dari dua bilngan kuadrat untuk menghitung perkalian.		Secara historis, orang-orang [[Babilonia]] menggunakan selisih dari dua bilngan kuadrat untuk menghitung perkalian.<ref>[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/ Babylonian mathematics].</ref>

	Sebagai contoh:		Sebagai contoh:
Baris 156:		Baris 149:

	== Lihat juga ==		== Lihat juga ==

	* [[Penjumlahan dua bilangan kubik]]		* [[Penjumlahan dua bilangan kubik]]
	* [[Bilangan binomial]]		* [[Bilangan binomial]]
Baris 164:		Baris 156:
	* [[Elemen konjugat (teori lapangan)]]		* [[Elemen konjugat (teori lapangan)]]
	* [[Faktorisasi]]		* [[Faktorisasi]]


	== Catatan ==		== Catatan ==


	~~== Referensi ==~~
	*
	*

	== Pranala luar ==		== Pranala luar ==
	* [https://web.archive.org/web/20170215183255/http://themathpage.com/alg/difference-two-squares.htm Selisih dua bilangan kuadrat] pada mathpages.com		* [https://web.archive.org/web/20170215183255/http://themathpage.com/alg/difference-two-squares.htm Selisih dua bilangan kuadrat] pada mathpages.com

			== Referensi ==
			<references />

	== Sumber dan atribusi ==		== Sumber dan atribusi ==

	Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Selisih+dua+bilangan+kuadrat&oldid=27509656 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27509656 (2025-07-07T15:57:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.		Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Selisih+dua+bilangan+kuadrat&oldid=27509656 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27509656 (2025-07-07T15:57:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

			<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script: Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27509656; atribusi sumber disertakan.

2026-08-25T13:49:19Z

Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27509656; atribusi sumber disertakan.

Halaman baru

Dalam [[matematika]], '''selisih dua bilangan kuadrat''' atau '''pengurangan dua bilangan kuadrat''' adalah sebuah [[bilangan kuadrat]] yang dikurangi dengan bilangan kuadrat lain. Dalam [[aljabar elementer]], setiap selisih dua bilangan kuadrat dapat difaktorkan berdasarkan [[Identitas (matematika)|identitas]] berikut.
<math display="block">a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>

== Bukti ==
Rumus selisih dari dua bilangan kuadrat dapat [[Pembuktian matematika|dibuktikan]] secara lugas. Dengan menerapkan [[sifat distributif]] pada ekspresi <math>(a + b)(a - b)</math> di [[ruas dari suatu persamaan|ruas kanan]], maka didapatkan
<math display="block">(a + b)(a - b) = a^2 + ba - ab - b^2</math>
Berdasarkan [[sifat komutatif]], maka diperoleh <math>ab = ba</math>. Akibatnya, dua suku yang berada di tengah-tengah ekspresi di atas (yaitu <math>ba - ab</math>) akan sama dengan <math>0</math>, sehingga ekspresi di atas dapat disederhanakan menjadi
<math display="block">\begin{align}
(a + b)(a - b) &= a^2 + \underbrace{ba - ab}_{0} - b^2 \\
&= a^2 + 0 - b^2 \\
&= a^2 - b^2
\end{align}</math>
Identitas ini merupakan salah satu indentitas yang paling sering digunakan dalam matematika. Dari sekian banyak penggunaannya, identitas ini memberikan bukti sederhana dari [[ketaksamaan AM–GM]] untuk kasus dua variabel.

Bukti ini berlaku untuk sembarang [[gelanggang komutatif]].

Sebaliknya, jika identitas ini berlaku pada suatu [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] <math>R</math> untuk sembarang <math>a, \, b \in R</math>, maka <math>R</math> merupakan gelanggang komutatif. Untuk membuktikan hal ini, maka menurut sifat distributif (pada ruas kanan), berlaku
<math display="block">\begin{align}
a^2 - b^2 &= (a + b)(a - b) \\
a^2 - b^2 &= a^2 + ba - ab - b^2 \\
0 &= ba - ab \\
ab &= ba
\end{align}</math>
untuk setiap elemen <math>a, \, b \in R</math>, sehingga terbukti bahwa <math>R</math> merupakan gelanggang komutatif.

== Pendekatan geometris ==

Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat diilustrasikan secara geometris sebagai selisih luas dua [[persegi]] pada suatu [[Ruang dimensi 2|bidang]]. Berdasarkan diagram di sebelah kanan, daerah yang diarsir merupakan selisih dari luas dua bangun persegi, yaitu <math>a^2 - b^2</math>. Di sisi lain, daerah yang diarsir juga dapat dicari luasnya dengan menjumlahkan luas dari dua bangun [[persegi panjang]], yaitu <math>a(a - b) + b(a - b)</math>, yang dapat difaktorkan menjadi <math>(a + b)(a - b)</math>. Akibatnya, diperoleh identitas <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.

Selain bukti di atas, terdapat cara lain untuk membuktikan selisih dua bilangan kuadrat melalui pendekatan geometris, yang dapat dilihat pada gambar berikut.

# Ekspresi <math>a^2 - b^2</math> dapat diartikan sebagai selisih dari luas dua bangun persegi, dengan <math>a</math> menyatakan panjang dari persegi yang besar, dan <math>b</math> menyatakan panjang dari persegi yang kecil.
# Daerah yang diarsir (yaitu <math>a^2 - b^2</math>) kemudian dipotong menjadi dua bangun persegi panjang.
# Potongan yang besar (di atas) memiliki panjang <math>a</math> dan lebar <math>a - b</math>, sedangkan potongan yang kecil (di bawah) memiliki panjang <math>a - b</math> dan lebar <math>b</math>.
# Potongan yang kecil kemudian dilepas, diputar, dan ditempatkan di bagian kanan potongan yang besar.
# Setelah disusun ulang, dua potongan tadi akan membentuk suatu persegi panjang dengan panjang <math>a + b</math> dan lebar <math>a - b</math>, sehingga luasnya ialah <math>(a + b)(a - b)</math>. Oleh karena persegi panjang ini diperoleh dari penyusunan ulang dari gambar di awal, maka luas keduanya haruslah sama.
Akibatnya, diperoleh identitas <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>.

== Penggunaan ==
=== Pemfaktoran polinomial dan penyederhanaan ekspresi ===
Rumus selisih dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk memfaktorkan [[polinomial]] yang memuat kuadrat dari suatu kuantitas dikurangi kuadrat dari kuantitas lain. Sebagai contoh, polinomial <math>x^4 - 1</math> dapat difaktorkan sebagai berikut :
<math display="block">\begin{align}
x^4 - 1 &= \left( x^2 \right)^{\! 2} - \left( 1 \right)^2 \\
&= \left( x^2 + 1 \right) \left( x^2 - 1 \right) \\
&= \left( x^2 + 1 \right) \left( x^2 - 1^2 \right) \\
&= \left( x^2 + 1 \right) \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right)
\end{align}</math>
Contoh lainnya adalah polinomial dua [[Variabel (matematika)|variabel]] <math>x^2 + x - y^2 - y</math>. Dalam kasus ini, perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
x^2 + x - y^2 - y &= x^2 - y^2 + x - y \\
&= (x + y)(x - y) + 1 \cdot (x - y) \\
&= (x + y + 1)(x - y)
\end{align}</math>
Lebih lanjut, rumus ini dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi matematis, salah satunya
<math display="block">\begin{align}
\left( {\color{blue} a + b} \right)^2 - \left( {\color{red} a - b} \right)^2 &= \left( {\color{blue} a + b} + {\color{red} a - b} \right) \left( {\color{blue} a + b} - ({\color{red} a - b}) \right) \\
&= \left( 2a \right) \left( 2b \right) \\
&= 4ab
\end{align}</math>

=== Jumlah dari dua bilangan kuadrat ===
Selisih dari dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk mencari [[fungsi linear|faktor linear]] dari hasil ''penjumlahan'' dua bilangan kuadrat, menggunakan koefisien [[bilangan kompleks]].

Misalnya, akar-akar kompleks dari <math>f(z) = z^2 + 9</math> dapat dicari dengan
<math display="block">\begin{align}
z^2 + 9 &= z^2 - \left( -9 \right) \\
&= z^2 - \left( 9i^2 \right) &\text{sebab } i^2 = -1 \\
&= z^2 - \left( 3i \right)^2 \\
&= \left( z + 3i \right) \left( z - 3i \right)
\end{align}</math>
sehingga faktor linearnya ialah <math>\left( z + 3i \right)</math> dan <math>\left( z - 3i \right)</math>.
Oleh karena kedua faktor yang diperoleh dengan metode ini bersifat [[konjugat kompleks|saling konjugat]], maka rumus ini dapat digunakan sebagai metode untuk mengalikan suatu bilangan kompleks agar hasilnya merupakan [[bilangan riil]]. Hal ini sering kali dilakukan untuk mendapatkan penyebut bernilai riil pada pecahan bilangan kompleks.

=== Merasionalkan penyebut ===
Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan dalam [[Rasionalisasi (matematika)|merasionalkan]] pecahan dengan [[Pecahan|penyebut]] [[Bilangan irasional|irasional]]. Rumus ini adalah metode untuk menghilangkan (atau setidaknya memindahkan) [[akar bilangan]] dari operasi pembagian yang memuat [[akar kuadrat]]. Sebagai contoh, bagian penyebut dari <math>\dfrac{5}{2 + \sqrt{7}}</math> dapat dirasionalkan sebagai berikut:
<math display="block">\begin{align}
\dfrac{5}{2 + \sqrt{7}} &= \dfrac{5}{\sqrt{7} + 2} \times 1 \\
&= \dfrac{5}{\sqrt{7} + 2} \times \dfrac{\sqrt{7} - 2}{\sqrt{7} - 2} \\
&= \dfrac{5 \left( \sqrt{7} - 2 \right)}{\left( \sqrt{7} + 2 \right) \! \left( \sqrt{7} - 2 \right)} \\
&= \dfrac{5 \left( \sqrt{7} - 2 \right)}{\left( \sqrt{7} \right)^{\! 2} - 2^2} \\
&= \dfrac{5 \left( \sqrt{7} - 2 \right)}{7 - 4} \\
&= \dfrac{5 \left( \sqrt{7} - 2 \right)}{3}
\end{align}</math>
Dalam contoh di atas, bagian penyebut <math>2 + \sqrt{7}</math> yang irasional telah dirasionalkan menjadi <math>3</math>

=== Mental aritmetika ===

Selisih dua bilangan kuadrat juga dapat digunakan sebagai jalan pintas aritmetika. Jika dua bilangan (yang rata-ratanya merupakan bilangan yang dapat dengan mudah dikuadratkan) dikalikan, maka selisih dua bilangan kuadrat dapat digunakan untuk mencari hasil perkalian dari dua bilangan tadi. Misalnya, hasil dari <math>56 \times 64</math> dapat dicari melalui cara berikut:
<math display="block">\begin{align}
56 \times 64 &= \left( 60 - 4 \right) \left( 60 + 4 \right) \\
&= 60^2 - 4^2 \\
&= 3600 - 16 \\
&= 3584
\end{align}</math>

=== Selisih dari dua kuadrat sempurna beruntun ===
Selisih dari dua [[Bilangan persegi|kuadrat sempurna]] beruntun adalah hasil pemjumlahan dua [[bilangan pokok|bilangan pokoknya]], yaitu <math>n</math> dan <math>n + 1</math>. Hal ini dapat terlihat sebagai berikut
<math display="block">\begin{align}
\left( {\color{blue} n + 1} \right)^2 - \left( {\color{red} n} \right)^2 &= \left( {\color{blue} n + 1} + {\color{red} n} \right) \left( {\color{blue} n + 1} - {\color{red} n} \right) \\
&= \left( {\color{blue} n + 1} + {\color{red} n} \right) \cdot 1 \\
&= {\color{blue} n + 1} + {\color{red} n}
\end{align}</math>
Akibatnya, selisih dari dua bilangan kuadrat beruntun merupakan bilangan ganjil. Dengaan cara serupa, maka selisih dari sembarang dua kuadrat sempurna ialah
<math display="block">\begin{align}
\left( {\color{blue} n + k} \right)^2 - \left( {\color{red} n} \right)^2 &= \left( {\color{blue} n + k} + {\color{red} n} \right) \left( {\color{blue} n + k} - {\color{red} n} \right) \\
&= \left( 2n + k \right) \cdot k
\end{align}</math>
yang menunjukkan bahwa selisih dua kuadrat sempurna genap merupakan kelipatan 4 dan selisih dari dua kuadrat sempurna ganjil merupakan kelipatan 8.

=== Hukum bilangan ganjil Galileo ===

Salah satu akibat dari selisih dari dua bilangan kuadrat, [[hukum bilangan ganjil Galileo]] menyatakan bahwa jika suatu benda jatuh dalam gravitasi yang seragam tanpa [[gaya gesek]] dalam selang waktu yang sama secara beruntun, maka jarak yang ditempuh oleh benda tersebut berbanding lurus dengan bilangan ganjil. Dengan kata lain, jika sebuah benda terjatuh dari posisi diam dan menempuh jarak tertentu selama selang waktu tertentu, maka benda tersebut akan menempuh jarak 3, 5, 7, (dst.) kali lipat jarak tersebut dalam selang waktu berikutnya (dengan durasi yang sama).

Menurut persamaan untuk percepatan linier seragam, jarak yang ditempuh ialah
<math display="block">s = vt + \dfrac{1}{2} at^2</math>
Saat kecepatan awal <math>v = 0</math>, percepatan <math>a</math> bernilai konstan (percepatan akibat gravitasi tanpa gaya gesek udara), dan durasi <math>t</math>, maka jarak tempuh <math>s</math> berbanding lurus dengan <math>t^2</math> (secara simbolis, maka <math>s \propto t^2</math>), sehingga jarak tempuh dari titik awal merupakan kuadrat sempurna beruntun saat durasinya merupakan [[bilangan bulat]]

=== Pemfaktoran bilangan bulat ===
Beberapa algoritma dalam [[teori bilangan]] dan [[kriptografi]] menggunakan selisih dari dua bilangan kuadrat untuk mencari faktor dari bilangan bulat dan mendeteksi [[bilangan komposit]]. Salah satu contoh sederhananya ialah [[metode pemfaktoran Fermat]]. Untuk sembarang [[bilangan asli]] <math>N</math>, maka dikonstruksikan dua [[barisan]] berikut:
<math display="block">a_i = \left\lceil \sqrt{N} \phantom{.} \right\rceil + i \qquad \text{dan} \qquad x_i = \left( a_i \right)^2 - N</math>
Jika nilai <math>x_i</math> merupakan sebuah bilangan kuadrat sempurna <math>b^2</math>, maka <math>N = \left( a_i \right)^2 - b^2 = \left( a_i + b \right) \left( a_i - b \right)</math> merupakan faktorisasi (tak trivial) dari <math>N</math>.

== Perumuman ==

Identitas ini juga berlaku pada [[ruang hasil-kali dalam]] atas [[Lapangan (matematika)|lapangan]] [[bilangan riil]], seperti [[darab bintik]] pada [[vektor Euklides]], yaitu
<math display="block">\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = \left( \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} - \vec{b} \right)</math>
Proses pembuktiannya kurang lebih serupa. Untuk kasus khusus saat <math>\vec{a}</math> dan <math>\vec{b}</math> memiliki [[Ruang vektor bernorma|norma]] yang sama (yang berarti bintik kuadrat keduanya bernilai sama), maka hal ini sejalan secara [[geometri analitis|analitik]] dengan fakta bahwa kedua diagonal dari [[Belah ketupat]] bersifat saling [[tegak lurus]]. Untuk membuktikan hal ini, maka perhatikan bahwa
<math display="block">\begin{align}
\left\| \vec{a} \right\| &= \left\| \vec{b} \right\| \\
\left\| \vec{a} \right\|^2 &= \left\| \vec{b} \right\|^2 \\
\left\| \vec{a} \right\|^2 - \left\| \vec{b} \right\|^2 &= 0 \\
\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} &= 0 \\
\left( \vec{a} + \vec{b} \right) \cdot \left( \vec{a} - \vec{b} \right) &= 0
\end{align}</math>
Oleh karena hasil-kali dalam antara penjumlahan vektor <math>\vec{a} + \vec{b}</math> (diagonal panjang dari belah ketupatnya) dan selisih vektor <math>\vec{a} - \vec{b}</math> (diagonal pendek dari belah ketupatnya) bernilai nol, maka keduanya saling [[tegak lurus]].

=== Selisih dua bilangan pangkat ke-n ===

Jika <math>a</math> dan <math>b</math> adalah dua elemen pada gelanggang komutatif <math>R</math>, maka
<math display="block">\begin{align}
a^n - b^n &= \left( a - b \right) \left( a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^2 + \, \ldots \, + ab^{n - 2} + b^{n - 1} \right) \\
&= \left( a - b \right) \left( \sum_{k \, = \, 0}^{n - 1} a^{n - 1 - k} b^k \right)
\end{align}</math>
untuk sembarang <math>n \in \mathbb{N}</math>.

== Sejarah ==
Secara historis, orang-orang [[Babilonia]] menggunakan selisih dari dua bilngan kuadrat untuk menghitung perkalian.

Sebagai contoh:
<math display="block">\begin{align}
93 \times 87 &= 90^2 - 3^2 = 8091 \\
34 \times 46 &= 40^2 - 6^2 = 1564
\end{align}</math>

== Lihat juga ==

* [[Penjumlahan dua bilangan kubik]]
* [[Bilangan binomial]]
* [[Identitas Sophie Germain]]
* [[Pemfaktoran Aurifeuille]]
* [[Kongruum]]
* [[Elemen konjugat (teori lapangan)]]
* [[Faktorisasi]]

== Catatan ==

== Referensi ==
*
*

== Pranala luar ==
* [https://web.archive.org/web/20170215183255/http://themathpage.com/alg/difference-two-squares.htm Selisih dua bilangan kuadrat] pada mathpages.com

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Selisih+dua+bilangan+kuadrat&oldid=27509656 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27509656 (2025-07-07T15:57:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.